R1 -Fagdag

Transkript

1 R1 -Fagdag Kommentarer Hovedfokus: Trene på å bruke GeoGebra. Fordype oss i fagstoff om logaritmer, funksjoner og grenseverdier I Logaritmer 1) Bevis at lgx ln x ln 10 og at lgx lge ln x. ln x ln 10 lg x lgx ln 10 lgx lg e ln x ln x lge ): lgx ln x ln 10 ): lgx lge ln x 2) Bevis at lge ln Vi setter de to uttrykkene vi fant i 1) sammen: lge ln x lge ln 10 1 ln x ln 10 3) Kontroller 1) og 2) i GeoGebra CAS. OBS: I GeoGebra må Eulers tall legges inn med Alt-e! (Vanlig e er ikke det samme som e!) 4) Vi kan definere logaritmer med andre grunntall, for eksempel med grunntallet 2. Da skriver vi: log 2 x og har alle de vanlige reglene: 2 log 2 x x, log 2 2 x x, log 2 ab log 2 a log 2 b osv. Bevis at: lgx log 2 x log 2 10 og log lg x 2x ln x lg 2 ln 2 log 2 x log 2 10 lg x lgx log 2 10 lgx lg 2 log 2 x log 2 x lg2 ): lgx log 2 x log 2 10 ): log 2 x lg x lg 2 Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex

2 ln x ln 2 log 2 x log 2 x ln 2 ): log 2 x ln x ln 2 5) Kontroller reglene i 4) i GeoGebra CAS. I GeoGebra skrives log 2 x som log(2,x). II Logaritmeligninger Løs disse oppgavene først med GeoGebra CAS og deretter ved regning: 1) lg 2 3x 2 lg 4x 2) ln 2 3x 4 ln 5x 3) ln e x x 1 x ln x 4) ln x 1 ln x 2 2 ln x 0 Vi ser at GeoGebra ikke klarer oppgave 3) uten litt hjelp på veien... 1) lg 2 3x 2 lg 4x, x 0 lg 2 3x lg 4x 2 2 3x 16x 2 16x 2 3x x (Forkastes) x ) ln 2 3x 4 ln 5x, x 0 ln 2 3x ln e 4 ln 5x ln 2 3x ln e 4 5x 2 3x 5e 4 x 2 5xe 4 3x x 5e x 2 5e 4 3 3) ln e x x 1 x ln x, x 0 Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex

3 ln e x x 1 ln e x ln x ln e x x 1 ln e x x e x x 1 xe x 0 xe x e x x 1 e x x 1 x 1 0 e x 1 x 1 0 e x 1 x 1 x 0 (Forkastes) x 1 ): x 1 ln x 1 4) 0, ln x ln x 2 x 0 1 e e 2 ln x o ln x ln x VS o- - - ): L 1, e e 2, III Grunntall i eksponentialfunksjoner La oss se på eksponentialfunksjonen: f x x. På denne formen sier vi at grunntallet 1.65 er vekstfaktor, og vekstfaktoren er kjekk, fordi den sier at funksjonen øker med 65% for hver enhet vi øker x med. (For eksempel 65% økning for hvert år.) 1) Matematikere fortrekker ofte formen: f x 0. 85e kx. Beregn k i dette funksjonsuttrykket, hvis det skal være lik x. Vi får ligningen: x e kx x e k x e k k ln ): f x 0. 85e 0.501x 2) I forbindelse med radioaktivitet og halveringstider foretrekker atomfysikere ofte formen: f x x H Dette skyldes at halveringstiden (hvis x er tid) vises eksplisitt i formelen. Beregn H i dette funksjonsuttrykket hvis f x x. (Bruker en ny f x her i forhold til i 1), da vi trenger en avtagende funksjon. Vekstfaktoren er da 0. 65, som betyr at funksjonen avtar med % for hver gang vi øker x med 1.) 1 x H x 1 H 1 x x 1 1 H ln 1 ln H ln H 2 ln 0.65 ): f x x ) Bruk GeoGebra graftegner og GeoGebra CAS til å vise at det du har gjort i 2) og 3) er riktig. Definer funksjonene i 1) og 2) på begge måter og sjekk at grafene ligger oppå hverandre. Hvis funksjonene er definert som f x, g x, h x og i x i CAS, Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex

4 kan man også sjekke at for eksempel f 2 g 2 0 og h 2 i 2 0. IV Grenseverdier 1) Finn grenseverdien lim n 1 1 n n med GeoGebra CAS. 2) Prøv å finne grenseverdien lim n n n med GeoGebra CAS. 3) Prøv å finne den ensidige grenseverdien lim n n n med GeoGebra CAS. (GrenseOver[...] i GeoGebra.) 4) Fremstill f n 1 1 n n grafisk i GeoGebra og forklar hvorfor du får resultatene i 2) og 3) i GeoGebra CAS. Vi ser at grenseverdien når x 0, ikke eksisterer, fordi den er i enden av funksjonen. Den ensidige grenseverdien, lim n n n derimot eksisterer og er 1. 5) Vi tar utgangspunkt i den rasjonale funksjonen f x 2x 1. x 2 Finn, både ved regning og bruk av GeoGebra CAS: a) lim x 3 f x f b) lim x f x lim 1 x x 1 2 x 2, da 1 x og 2 x går mot null. c) lim x 2 f x EI, da nevner går mot 0 og teller går mot 5. d) lim x 2 f x og lim x 2 f x x 2 f, x 2 f Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex

5 e) Se på den grafiske fremstillingen av f x og finn både horisontale og vertikale asympoteter til f x. (Kommando i GeoGebra: aymptote[f]. ) Algebrafeltet får også en liste med asympotetene: Liste1 { x 2, y 2 } 6) Fremstill funksjonen f x 1 x 1. x 2 1 x 1 x 2 Finn grenseverdien lim x 2 ut fra grafen. Kontroller med CAS. Klarer du å finne denne grenseverdien ved regning? (Hint: Konjugatsetningen!) Kan utfra grafen avlese at lim x 2 f x CAS viser at det er nøyaktig 1 2. Ved regning: 1 x 1 1 x 1 x 2 1 x 1 2 x x 2 1 x 1 12 x 1 2 x 2 1 x x 1, x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex

6 lim x 2 1 x 1 x 2 lim x x V Absoluttverdier og delt forskrift i funksjoner 1) Gitt funksjonen f x 4x. Hva blir den horisontale asymptoten? x 2 1 2) Finn nullpunkt og ekstremalpunkt i grafdelen til GeoGebra. (Kjørte kommandoene i CAS, men de er egentlig grafiske kommandoer.) 3) Bruk graftegneren til å fremstille disse funksjonene med abs -funksjonen: f x x 2 g x 2x 1 h x 1 x 1 i x x 1 x 2 2 Skriv opp definisjonene av de samme funksjonene med delt forskrift istedenfor absoluttverdi-tegn, ut fra det grafiske bildet av funksjonene. Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex

7 Vi bruker regelen a, a 0 a a, a 0 eller se ut fra det grafiske bildet at vi har: f x x 2 når x 2 0 og f x x 2 når x 2 0, altså: f x x 2, x 2 2 x, x 2 g x 2x 1, når 2x 1 0 og 2x 1 når 2x 1 0, altså: g x 2x 1, x x, x 1 2 h x 1 x 1 når x 1 0 og 1 x 1 når x 1 0, altså: g x x 1, x x 1, x i x x 1 x 2 når x 2 0, x 1 x 2 når x 1 0, og x 1 x 2 når x 1 0, altså: i x 2x 3, x 2 2, 1 x 2 2x 3, x 1 Formuler noen regler for hvordan en funksjon f x x a x b blir seende ut grafisk. -Får hjørner når x a og x b. -Får stigningstall -2 til venstre for hjørnene, stigningstall 0 mellom hjørnene og stigningstall 2 til høyre for hjørnene. Kan selvfølgelig regne ut: (Forutsetter a b.) Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex

8 f x 2x a b, a b, 2x a b, b x a x b x a 4) Løs ved regning og bruk av GeoGebra CAS ligningene: a) 2 x 1 3 x x x x 5 2 x 1 2 Vi bruker altså en regel som kan formuleres slik: a b a b a b (Som igjen er ekvivalent med: a 2 b 2, så vi kunne også ha kvadrert bort absoluttverditegnet: x x 1 3 x 1 3 osv Men, som vi ser er regelen over det raskeste.) b) x 1 x x 1 x x 1 x 1 0 (Ingen løsning) 2x 1 x 1 2 a) og b) kunne vært løst grafisk ved å legge inn VS og HS i ligningene som funksjoner, og brukt S: Skjæring[f,g] slik som vist lenger ned i oppgave 5. I CAS: 5) Gitt funksjonen f x 4 2x 1. Bruk GeoGebra til å finne ut: a) For hvilke x-verdier er funksjonen lik 2? b) Nullpunktene til funksjonen. c) Ekstremalpunktene til funksjonen. Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex

9 GeoGebra klarer ikke å finne ekstremalpunkt i et hjørne, men det er jo rimelig opplagt at x-koordinaten her er når 2x 1 0 x 1 2, så vi får ekstremalpunktet 1 2 f 1 2 6) Vi ønsker å lage en "hustak-fuksjon" som ser slik ut: Vi bruker graf-delen i GeoGebra til å prøve oss frem! a) Lag f x med delt forskrift. Ut fra utseendet ser jeg at delt forskrift må bli: f x 2x 15, 5 x 6 5, 1 x 5 2x 3, 0 x 1 (Må regne litt for å få 2x 15 ved for eksempel å bruke to-punkts-formelen på punktene 5, 5 og 6, 3 : y x 5 y 2x 15 ) 6 5 b) Prøv å lage f x med absoluttverdier. Ut fra erfaringer i oppgave 3) prøver jeg a x : x 1 x 5, men den blir stående på hodet. Derfor prøver jeg b x a x, som får riktig form, men ligger for lavt, så jeg legger derfor til 9 og får f x 9 x 1 x 5. Til slutt avgrenser jeg funksjonen til området 0, 6 med kommandoen: f(x): Funksjon[g,0,6] og får da den brune grafen i figuren under: Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex

10 Ulven av 10 r1_fd_3_051115_kom.tex