9 Potenser. Logaritmer
|
|
- Ina Rønningen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall. a n ¼ a a a a... x 2 ¼ x x b 5 ¼ b b b b b ðn a-erþ Vi møter potenser når vi skal regne med areal, volum og bankinnskudd/lån. Det kan være nyttig å kunne noen regneregler for potenser. Regel ¼ ¼ 2 2þ3 ¼ 2 5 a m a n ¼ a a a a...¼ a mþn Vi multipliserer to potenser med samme grunntall ved å opphøye det felles grunntallet i summen av eksponentene. Regel : 2 2 ¼ ¼ ¼ 2 3 ¼ a m : a n ¼ a m n 131
2 Vi deler to potenser med samme grunntall ved å opphøye det felles grunntallet i differansen mellom eksponentene. Regel : 2 3 ¼ 8 : 8 ¼ 1 ð2 3 ¼ ¼ 8Þ Men hvis vi bruker regel 2, vil vi få følgende: 2 3 : 2 3 ¼ ¼ 2 0 Vi vet at svaret skal være 1. Derfor må vi definere 2 0 til å være 1. Hvis vi ikke kan gjøre det, vil regel 2 ikke være allmenngyldig. VIKTIG! a 0 ¼ 1 per definisjon ða 6¼ 0Þ Dette gjelder uansett hvilken verdi a har, bortsett fra når a ¼ har ingen mening! Regel 4 ð2 3 Þ 2 ¼ ¼ 2 3þ3 ¼ 2 32 ¼ 2 6 ða m Þ n ¼ a mn Hvis vi har en potens som skal opphøyes i en eksponent, gjør vi dette ved å opphøye potensens grunntall i produktet av eksponentene. (Her har vi egentlig to potenser en indre (a m ) og en ytre (a m Þ n.) Regel 5 ð2 3Þ 3 ¼ð2 3Þð2 3Þð2 3Þ ¼ ¼ ðabþ m ¼ða bþ m ¼ a m b m Hvis potensens grunntall er et produkt av tall, opphøyer vi hvert av tallene i felles eksponent og multipliserer ut. Regel : 2 5 ¼ ¼ ¼ ¼ Ved å bruke regel 2, får vi følgende: 2 3 : 2 5 ¼ ¼ 2 2 for at regel 2 skal være all- Dette betyr at vi må definere 2 2 som menngyldig. 132
3 VIKTIG! a m ¼ 1 a m per definisjon Regel 7 Vi skal definere 9 0;5. Vi bruker regel 4 for å definere en potens med brøkeksponent: Vi setter 9 0;5 ¼ x ð9 0;5 Þ 2 ¼ 9 0;52 ¼ 9 1 ¼ 9 x 2 ¼ 9, x ¼ 3 ðx ¼ 3 forkastes her.þ Dette betyr at 9 0;5 ¼ 3, dvs ¼ 2p ffiffiffiffi 9 1 ¼ 3, ð0,5 ¼ 1 2 ). «Andreroten av 9 opphøyd i første» betyr det samme som kvadratroten av 9. Mer generelt kan vi si at en potens med brøkeksponent vil bli et rotuttrykk: an t np ¼ ffiffiffiffi a t (a opphøyd i tn-te-deler er lik n-te-roten av a opphøyd i t.) Oppgave 1 a) a 5 a 3 : a 4 ¼ b) a 2 þ a 1 a 3 ¼ c) ðabþ 3 a 2 b 3 1 b 2 ¼ d) a0 a 2 ða 3 Þ 2 a 4 a a 2 a 1 a) a 5þ3 4 ¼ a 4 ¼ b) a 2 þ a 1þ3 ¼ a 2 þ a 2 ¼ 2a 2 c) a 3 b 3 a 2 b 3 b 2 ¼ a 3þ2 b 3 3þ2 ¼ a 5 b 2 d) a0þ2þ6 4 a ¼ a4 a 2 ¼ a4 a 2 ¼ a 6 133
4 9.2 Standardform Som tidligere nevnt er en brøk en vanlig divisjon: 3 2 ¼ 3 : 2 ¼ 1,5 1,5 kalles for en desimalbrøk eller et desimaltall. Hvis vi har svært små og svært store tall, kan vi skrive tallene på en kortere form. Denne formen kaller vi for standardform. Ethvert tall kan skrives på formen k 10 n, der k ligger mellom 1 og n kalles for en potens. Eksempler med store tall (større enn 10): 25 ¼ 2, ¼ ¼ ¼ 8, For å finne ut hva vi må opphøye grunntallet 10 i, teller vi antall plasser vi må flytte kommaet for å få tallet til å ligge mellom 1 og 10. For tallet 25 teller vi én mot venstre, for teller vi 6 mot venstre, osv. Eksempler med små tall (mindre enn 1): 0,025 ¼ 2, og 0, ¼ 5, Som ovenfor teller vi antall plasser vi flytter kommaet for å få et tall mellom 1 og 10. Her teller vi mot høyre, og 10 opphøyes i minus ð Þ antall plasser. Hvis vi bruker regel 6 i kapittel 9 (avsnitt 9.1), finner vi ut at 10 2 ¼ ¼ og 10 8 ¼ ¼ Oppgave 2 Skriv tallene på standardform, og skriv svaret så enkelt som mulig: , , , ¼ ¼ ¼ 1, , , ,6 10 ¼ ¼ (10 milliarder) 134
5 Her er det vist «grundig» hvordan vi kan multiplisere/dividere store tall ved å skrive tallene på standardform først. Oppgave 3 ð3, Þð5, Þ : ð1, Þ ð18, Þ : 1, ¼ð18,126 : 1,05Þð10 7 : 10 8 Þ ¼ 17, ð 8Þ ¼ 17, ¼ 1, ¼ 1, ð¼172,6þ (3,18 5,7 ¼ 18,126 og 18,126 : 1,05 ¼ 17,26 og 17,26 ¼ 1, ) Her er det vist hvordan en oppgave som er gitt på standardform løses, og hvordan vi kommer fram til svaret på standardform. OBS! På lommeregneren brukes bokstaven E i stedet for 10. Tallet 25 er på lommeregneren 2,5E þ 0,1 og tallet 0,025 ¼ 2,5E 02. Tallene bak E forteller hvor mange plasser vi skal flytte kommaet (þ mot høyre og mot venstre). 9.3 Logaritmer Når vi skal løse likninger der den ukjente er en eksponent i en potens, har vi behov for en regneteknikk for å mestre slike likninger. Som vi skal se senere, vil logaritmeregning, i tillegg til grafiske løsninger, være relevant i forbindelse med eksponentialfunksjoner. Eksempelvis vil likningen 3 x ¼ 27 være av den enkle sorten. 27 kan skrives som 3 3 slik at likningen kan skrives 3 x ¼ 3 3.Påbegge sider av likhetstegnet har vi potenser med samme grunntall, og likevekten vil gjelde for samme eksponenter, dvs. x ¼ 3. Hvis vi har likningen 3 x ¼ 50, kan vi ikke løse likningen direkte som ovenfor. Det vi kan si, er at x må være et tall mellom 3 og 4 fordi 3 3 ¼ 27 og 3 4 ¼ 81. I dette tilfellet har vi behov for en ny regnemetode. Den kaller vi logaritmeregning. Briggske logaritmer Logaritmeregning går ut på å gjøre alle positive tall om til potenser med et bestemt grunntall. Det grunntallet vi skal bruke i våre oppgaver, er 10. Dette logaritmesystemet kalles for det briggske system etter den britiske matematikeren Henry Briggs ( ). 135
6 Eksempler 100 ¼ 10 2 Vi sier at 2 er logaritmen til 100 og skriver log 100 ¼ ¼ 10 3 log 1000 ¼ 3 10 ¼ 10 1 log 10 ¼ 1 1 ¼ 10 0 log 1 ¼ ¼ ¼ 10 2 log ¼ 2 Av disse eksemplene kan vi se at logaritmer er de eksponentene vi må opphøye 10 i for å få tallene. Når 100 ¼ 10 2 og log 100 ¼ 2, kan vi skrive log ¼ 10 Dette leder til den generelle definisjonen a ¼ 10 log a ða > 0Þ Ved briggske logaritmer brukes ofte skrivemåten «lg» i stedet for «log». Regneregler 1) Vi skal vise hvordan vi regner ut x ¼ 5 13 ved bruk av logaritmer. Svaret ser vi skal være ¼ 10 log 5 ¼ 10 0; ¼ 10 log 13 ¼ 10 1;1139 x ¼ 10 0; ;1139 ¼ 10 1;8129 ¼ 65 ð64,998þ Tallene for log 5 og log 13 fant vi på lommeregneren. Vi ser også at vi la sammen logaritmene (eksponentene) for å finne produktet av de to tallene. Vi kunne ha skrevet log x ¼ log 5 þ log 13 ¼ 0,6990 þ 1,1139 ¼ 1,8129 Vi vet da at eksponenten med 10 som grunntall er 1,8129. For å finne tallet (svaret) tar vi antilog på lommeregneren. På lommeregneren er det det samme som å ta «shift log 1,8129» ivårt eksempel. 136
7 Oppsummering: x ¼ 5 13 j Vi tar log på begge sider: log x ¼ logð5 13Þ log x ¼ log 5 þ log 13 De to siste høyresidene indikerer: Logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmene til tallene: logða bþ ¼log a þ log b 2) Vi skal gjøre en tilsvarende divisjon ved bruk av logaritmer: y ¼ 330 : 15 ¼ ¼ 10 2; ¼ 10 1;1761 y ¼ 10 2;5185 : 10 1;1761 ¼ 10 1;3424 ¼ 22 ð21,99885þ y ¼ 102; ;1761 ¼ 102;5185 1;1761 ¼ 10 1;3424 ¼ 22 log y ¼ log 330 log 15 ¼ 2,5185 1,1761 ¼ 1,3424 «shift log 1,3424» ¼ 22 De to høyresidene indikerer: log y ¼ logð330 : 15Þ ¼log log y ¼ log 330 log 15 Logaritmen til en brøk (divisjon) er lik differansen mellom logaritmene til tallene: log a ¼ log a log b eller logða : bþ ¼log a log b b 3) Her skal vi bruke logaritmer for å regne ut z ¼ ¼ 10 0;4771 z ¼ð10 0;4771 Þ 7 ¼ 10 3;3397 ¼ 2186;25 Det korrekte svaret skal være Vi har regnet med bare fire desimaler for logaritmene her, derfor kan det bli litt unøyaktig. 137
8 Vi ser at log z ¼ðlog 3Þ7 ¼ 7 log 3 ¼ 3,3397 «shift log 3,3397» ¼ 2186,25 ð2187þ log z ¼ log 3 7 ¼ 7 log 3 Logaritmen til en potens er lik eksponenten multiplisert med logaritmen til grunntallet: logða n Þ¼n log a Denne regelen får du mye bruk for! Før lommeregnere (kalkulatorer) ble aktuelle hjelpemidler i matematikk, var logaritmeregning arbeidssparende ved utregning av produkt, ved divisjon og ved potensregning. Da hadde man tabeller som man kunne finne logaritmene i (på videregående skole var logaritmene oppgitt med fire desimaler). Når vi har lært de tre regnereglene for logaritmer, kan vi løse likningen 3 x ¼ 50, som vi nevnte innledningsvis. Ifølge regel 3 får vi: 3 x ¼ 50 j Vi tar «log» på begge sider: logð3 x Þ¼log 50 x log 3 ¼ log 50 j : log 3 log 50 x ¼ log 3 x ¼ 3, ð3 3; ¼ 50Þ Oppgave 4 Ole setter kr i banken til 5,5 % rente p.a. (pro anno = per år). Hvor mange år tar det før det står kr på kontoen? Vekstfaktor: Antall år: x 1 þ p 100 ¼ 1 þ 5,5 100 ¼ 1,
9 ,055 x ¼ j : ,055 x ¼ 1,5347 j Vi tar log på begge sider: x log 1,055 ¼ log 1,5347 x ¼ log 1,5347 log 1,055 x ¼ 8, Det tar åtte år før innskuddet har økt til kr Oppgave 5 En bedrift har som mål åredusere utslippet av farlige gasser med 10 % per år. Hvor mange år tar det før utslippet er halvert? Vekstfaktor: 1 p 100 ¼ 1 10 ¼ 0,90 ð0,9þ 100 Antall år: x. Når vi ikke vet utslippet i dag, kan vi sette inn et hvilket som helst tall, for eksempel 100: 100 0,90 x ¼ 50 j : 100 0,90 x ¼ 0,5 j Vi tar log på begge sider: x log 0,90 ¼ log 0,5 log 0,5 x ¼ log 0,90 x ¼ 6,5788 Det tar litt over 6,5 år før utslippet er halvert. Løsning av likning på formen x n ¼ a Denne type likninger kan vi løse på to måter ved regning. La oss vise dette ved et eksempel: Oppgave 6 Et innskudd på kr 1200 vokser til kr 1585 etter seks år. Finn vekstfaktoren og den årlige rentefoten. 139
10 Vi setter vekstfaktoren lik x. Da får vi følgende likning: 1200 x 6 ¼ 1585 j Vi deler på 1200 x 6 ¼ 1, p ffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 6 ¼ 6p 1, x ¼ 1,0475 j Vi tar 6. roten på begge sider: Vekstfaktoren 1 þ p 100 er lik 1,0475. Det betyr at rentefoten p er 4,75 % p.a. løst med logaritmer: x 6 ¼ 1, log x ¼ log 1, j : 6 log x ¼ 0,02014 ðx ¼ 10 0;02014 ¼ 1,0475Þ På kalkulatoren trykker vi «shift log 0,02014» EXE, og får 1,0475. x ¼ 1,0475 Oppgave 7 Løs disse likningene: a) 7x 4 ¼ 112 b) 10x 0;2 ¼ 4,17 c) 12,5x 3 ¼ 100 aþ 7x 4 ¼ 112 x 4 ¼ 16 x ¼ 2 j Vi deler på 7 og tar 4. roten bþ cþ 10x 0;2 ¼ 4,17 x 0;2 ¼ 0,417 x ¼ 0,01 12,5x 3 ¼ 100 x 3 ¼ 8 x ¼ 2 j Vi deler på 10 og tar 0,2. roten j Vi tar 3. roten. j (Lommeregneren viser dette!) Dette er feil løsning. Vi kan ikke ta «minusroten» av et tall på lommeregneren. Derfor må oppgaven løses på en annen måte. Det enkleste er å skrive om x 3 til 1 x
11 Dette gir 1 x 3 ¼ 8 jx3 1 ¼ 8x 3 j : 8 0,125 ¼ x 3 j Vi tar 3. roten på begge sider 0,5 ¼ x Kontroller svarene ved å bruke logaritmer! 141
Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform
1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller
DetaljerKapittel 8. Potensregning og tall på standardform
Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive
Detaljer1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser
MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.
DetaljerPotenser og røtter. Lærerveiledning
Potenser og røtter De følgende oppgavene er øvinger i regning med potenser og røtter. Gjennom oppgavene får elevene øving i å bruke regneregler for potensregning og omgjøring mellom tall skrevet som røtter
DetaljerRegning med tall og bokstaver
Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger
Detaljer8 Likninger med to ukjente rette linjer
8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.
Detaljer2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent
MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel
DetaljerTempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra
Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette
DetaljerPotenser og tallsystemer
1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger gjøre rede
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator
Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet
DetaljerPotenser og tallsystemer
8 1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammen henger gjøre rede
DetaljerFormelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh
Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerKAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at :
KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a)
DetaljerFormelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh
Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =
Detaljer( ) ( ) Vekstfaktor. Vekstfaktor
Vekstfaktor Fagstoff Listen [1] Hvis folketallet i en by vokser med 5 % hvert år i perioden 1995 til 2015, så sier vi at folketallet har en eksponentiell vekst i disse årene. Eva setter 10 000 kroner på
Detaljer1 Tall og algebra i praksis
1 Tall og algebra i praksis Innhold Kompetansemål Tall og algebra i praksis, VgP... 1 Modul 1: Potenser... Modul : Tall på standardform... 6 Modul : Prosentregning... 10 Modul 4: Vekstfaktor... 15 Modul
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerTema. Beskrivelse. Husk!
Dette er ment som en hjelpeoversikt når du bruker boka til å repetisjon. Bruk Sammendrag etter hvert kapittel som hjelp. Verktøykassen fra side 272 i boka er og til stor hjelp for repetisjon til terminprøve.
DetaljerRegning med variabler
Regning med variabler???? (x y) (x y) Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene først. Hvis det står et tall eller et
DetaljerPotenser og prosenter
Potenser og prosenter 1.9 Læreplanmål 1 1.1 Potenser 2 1.2 Potensene a 0 og a n 2 1.3 Flere regneregler for potenser 3 1.4 Tall på standardform 5 1.5 Regning med tid 7 1.6 Prosentfaktorer 9 1.7 Vekstfaktorer
DetaljerKapittel 2. Tall på standardform
Kapittel 2. Tall på standardform Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive tall som er mye større enn 1 eller mye mindre enn 1. Du må kunne potensregning for å forstå regning med
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
Detaljer3 Prosentregning vekstfaktor og eksponentiell vekst
3 Prosentregning vekstfaktor og eksponentiell vekst Prosent (pro cent) betyr «av hundre» eller «hundredeler». I mange sammenhenger står prosentregning svært sentralt. Prisstigning (inflasjon) måles i prosent.
DetaljerOrdliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å "legge sammen" tall.
Ordliste matematikk Addere (addisjon) Addere er å "legge sammen" tall. Regnetegnet for addisjon er +. 3+4 er en addisjon. Summen er 7. Tallene som adderes kalles ledd. Areal Areal er et mål for hvor stor
Detaljer10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t
10 Funksjoner En funksjon er i matematisk forstand en (entydig) sammenheng mellom to eller flere variabler. Hvis Mari, som er en skoleelev på 16 år, har en lørdagsjobb og tjener kr 70 per time, vil hennes
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING
SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING INNHOLD TALL OG TALLREGNING... 2 PLASSVERDISYSTEMET... 2 PLASSERING PÅ TALLINJE... 2 UTVIDET FORM... 3 REGNESTRATEGIER... 3 DELELIGHETSREGLER... 3 SKRIFTLIG REGNING... 4
DetaljerKapittel 2. Tall på standardform
Kapittel. Tall på standardform Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive tall som er mye større enn eller mye mindre enn. Du må kunne potensregning for å forstå regning med standardform.
DetaljerKapittel 1. Tallregning
Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser
DetaljerDette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10.
SAMMENDRAG Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. Hvis du trenger mer trening utover oppgavene i Nummer 10, finner du ekstra oppgaver
DetaljerEnkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
DetaljerRegning med tall og algebra
Regning med tall og algebra Dette er en variert samling av oppgaver. De kan alle løses ved algebraisk, men det fins også andre måter å løse dem på. Man kan bruke kvadratsetningene, potensregning, prosentregning
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator for elever
Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator
Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator... 1 Enkel kalkulator... 2 Regneuttrykk uten parenteser... 2 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 2 Negative tall... 3 Regneuttrykk
DetaljerKapittel 1. Tallregning
Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser
DetaljerKapittel 1. Tallregning
Kapittel 1. Tallregning Mål for Kapittel 1, Tallregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere
DetaljerCAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet
CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...
DetaljerEnkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
DetaljerR1 -Fagdag
R1 -Fagdag 3-05.11.2015 Kommentarer Hovedfokus: Trene på å bruke GeoGebra. Fordype oss i fagstoff om logaritmer, funksjoner og grenseverdier I Logaritmer 1) Bevis at lgx ln x ln 10 og at lgx lge ln x.
DetaljerInnføring av potenser og standardform
side 1 Innføring av potenser og standardform Dette er et forslag til et undervisningsopplegg der elevene skal komme fram til skrivemåter for potenser og tall på standardform. Tanken med opplegget er at
DetaljerKapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29
Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling
DetaljerRasjonale potenser. For å finne side av kvadrat med gitt areal A løser vi likning x 2 = A.
Rasjonale potenser Vi har tidligere sett hvordan man definierer potenser med heltall. Vi skal nå se hvordan man naturlig definierer potenser også for rasjonale tall, dvs brøk hvor teller og nevner er heltall.
Detaljer1 Potenser og tallsystemer
Oppgaver Potenser og tallsystemer KATEGORI. Potenser Oppgave.0 a) b) c) d) Oppgave. a) 0 b) ( ) c) ( ) d) ( ) Oppgave. Skriv uttrykkene som én potens. a) b) 7 c) d). Potensene a 0 og a n Oppgave.0 a) 7
DetaljerKapittel 1. Potensregning
Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent
DetaljerUttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4
9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere
Detaljer6 Sannsynlighetsregning
MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,
DetaljerEspen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Grunnbok. Bokmål
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor 9 Grunnbok Bokmål Hei til deg som skal bruke Faktor! Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene
DetaljerForberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
Detaljer1 Potenser og tallsystemer
Oppgaver 1 Potenser og tallsystemer KATEGORI 1 1.1 Potenser Oppgave 1.110 3 b) 3 c) 4 d) 4 Oppgave 1.111 10 3 b) ( 5) c) ( ) 3 d) ( ) 4 Oppgave 1.11 Skriv uttrykkene som én potens. 3 4 b) 5 3 c) 5 3 5
DetaljerLikninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?
side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerKarakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p
30.09.016 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser / Prosent / Mønster / Tid DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 45 minutter DEL (MED HJELPEMIDLER) 45 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 45 minutter og før hjelpemidlene
DetaljerHer er C en funksjon av F
Kapittel 9 FUNKSJONER C F 50 58 40 40 0 0 4 0 4 0 0 50 0 68 0 86 40 04 50 9 F C + 5 Her er F en funksjon av C Dette er like ra C 5 9 F 60 9 Her er C en funksjon av F Kapittel 9 FUNKSJONER Det norske oljeeventyret
DetaljerBrøk-, desimalog prosentplater 1 = 1:7 = 0,143 0,143 100 = 14,3% = 1:24 = 0,042 0,042 100 = 4,2%
Brøk-, desimalog prosentplater = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0,0 0,0 00 =,% = : = 0,0 0,0 00
DetaljerTall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,
Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området
DetaljerVi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler.
196 FAKTA De naturlige tallene bestôr av ett eller ere sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...Alle de hele positive tallene kaller vi naturlige tall, og tallmengden kaller vi N. NÔr vi tar med 0 og
Detaljer5 Geometri. Trigonometri
MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri Ordet geometri kan deles opp i geo, som betyr jord eller land, og metri, som betyr å måle. Geometri kan oversettes med jordmåling eller landmåling.
Detaljer6.2 Eksponentiell modell
Oppgave 6.14 Du arbeider i 7. 8. klasse og du vil bruke oppgave 6.13 til å arbeide med formalisering. Lag en oppgavetekst der du først lar eleven regne ut lønn etterhvert som du varierer antall brosjyrer.
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER
SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen
DetaljerAlle hele tall g > 1 kan være grunntall i et tallsystem.
Tallsystemer Heltall oppgis vanligvis i det desimale tallsystemet, også kalt 10-tallssystemet. Eksempel. Gitt tallet 3794. Dette kan skrives slik: 3 1000 + 7 100 + 9 10 + 4 = 3 10 3 + 7 10 2 + 9 10 1 +
DetaljerForkurshefte i matematikk variant 1
Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette
DetaljerDiskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen
DetaljerModulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.
Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)
DetaljerLøsningsforslag 1T Eksamen. Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 24.11.2014 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerAlgebra Vi på vindusrekka
Algebra Vi på vindusrekka Utsagn... 2 Åpne utsagn... 3 Den ukjente... 4 Likhetstegnet... 5 Likninger... 6 Løs likninger... 7 Matematiske uttrykk... 8 Formel... 9 Tilordning... 10 Funksjon... 11 Koordinatsystem...
DetaljerObs. Læreren må være klar over at det er mulig å få riktig svar ved å regne feil her,
Oppgave 1 b 3b Hva er 3a 8a b hvis a 2? A 5 B 7 C 8 D 24 E 70 Er det nødvendig å finne tall for a og b? Hvor i uttrykket finnes a b? b Hva blir verdien av første ledd når a 2? Skriv om potensen i andre
Detaljer2 Algebra. Innhold. Algebra R1
Algebra Innhold Kompetansemål Algebra, R1... Innledning... 3.1 Faktorisering... 4 Faktorisering av tall og enkle bokstavuttrykk... 4 Faktorisering av uttrykk som inneholder flere ledd... 5 Faktorisering
Detaljerwxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue
wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si
DetaljerFull fart med funksjoner, prosent og potens Vg1T, TY, P, PY og Vg2P 75 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Full fart med funksjoner, prosent og potens Vg1T, TY, P, PY og Vg2P 75 minutter Full fart med funksjoner, prosent og potens er et skoleprogram hvor elevene går fra
DetaljerTest, 1 Tall og algebra
Test, 1 Tall og algebra Innhold 1.1 Tallregning... 1. Potenser... 5 1.3 Algebraiske uttrykk... 8 1.4 Likninger... 10 1.5 Faktorisering... 14 1.6 Andregradslikninger... 17 1.7 Faktorisering av andregradsuttrykk
DetaljerKapittel 2. Algebra. Mål for Kapittel 2, Algebra. Kompetansemål. Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
Kapittel. Algebra Mål for Kapittel, Algebra. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene
DetaljerPosisjonsystemet FRA A TIL Å
Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet
DetaljerNAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18
NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV
DetaljerOppgavesett med fasit
TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................
DetaljerEn konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.
Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles
Detaljerwxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue
wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, så regner symbolsk. Det vil si at
DetaljerTall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerEksamen REA3028 S2, Høsten 2011
Eksamen REA08 S, Høsten 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene ) f f 4 ) g e g e 6e ) h
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Fagoppgave MET 804 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 28.02.209 Kl. 09:00 Innlevering: 07.03.209 Kl. 2:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Microsoft Excel
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 1.1 Utvide området kopiere celler....................... 4 1.2 Vise formler i regnearket...........................
DetaljerMatematikk for økonomi og samfunnsfag
Harald Bjørnestad Ulf Henning Olsson Svein Søyland Frank Tolcsiner Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave Innhold Forord... 11 Kapittel 1 Grunnleggende emner 1.1 Tall og tallsystemer... 13 1.2
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
DetaljerOppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Oppgave 4
Kontrollprøve 1 i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 9.-16. oktober 2018 LØSNINGSFORSLG Oppgave 1 (a) Vi setter u = x 20 og får andregradslikningen u 2 20u = 21. Vi fullfører kvadratet: (u 10) 2
DetaljerMatematikk 2P-Y. Hellerud videregående skole
Matematikk 2P-Y Hellerud videregående skole Forord til 1. utgave Denne boka dekker læreplanen i Matematikk 2P-Y. Stoffet og oppgavene er valgt ut med tanke på den type oppgaver som har vist seg å være
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
DetaljerBrukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup
Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4
Detaljer