Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.

Transkript

1 Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m) hvis a og b ikke er kongruente modulo m. Observasjon: Hvis a b (mod m), så er b a (mod m). Setning: La m > 0. Da er a b (mod m) hvis og bare hvis a mod m = b mod m. Dette betyr av hvis vi heltallsdividerer a og b med m så får begge samme rest som resultat! Eksempel1 Avgjør om a b (mod m). Vi kan vise dette ved enten La m = 3, a = 2, b = 17 1) Definisjonen: 2 17 (mod 3) fordi 2-17 = -15 og 3 går opp i

2 2) Setningen: 2 mod 3 = 2 og 17 mod 3 = 2. Tallene 2 og 17 får begge samme rest når de heltallsdivideres med 3 følgelig har vi at 2 17 (mod 3). Eksempel2 La m = 3, a = 8, b = (mod 3) 1) Definisjonen: 8 4 (mod 3) fordi 3 går ikke opp i 8-4 = 4 2) Setningen: 8 mod 3 = 2 mens 4 mod 3 = 1. Siden tallene ikke får samme rest når de heltallsdivideres med 3 er de ikke kongruente. Dvs. 8 4 (mod 3) Eksempel3. Vi fant at 2 17 (mod 3). Hvilke andre tall enn 17 er kongruente med 2 modulo 3? Vi ser at f.eks (mod 3) 2 11 (mod 3) 2 8 (mod 3) osv. Vi ser at alle tallene i følgen., 2, 5, 8, 11, 14, 17, er kongruente med 2 modulo 3. 2

3 Følgen kan skrives som 2 + 3k for alle k. Regel. La m > 0 og a være et heltall. Da vil alle heltall på formen a + mk der k er et vilkårlig heltall, være kongruenten med a modulo m, dvs. (a + mk) a (mod m) La m = 7 og a = 1. Finn fem forskjellige heltall b slik at a b (mod m). Svar: La b = a + mk = 1 +7k. Ved å velge fem forskjellig verdier for k får vi fem forskjellige tall b som alle er 1 b (mod 7). k = 0 gir b = 1 k = 1 gir b = 8 k = 2 gir b = 15 k = -1 gir b = -6 k = -2 gir b = -13 Regneregler for kongruenser. La m > 0 og anta at a b (mod m) og c d (mod m). 1. a + c b + d( mod m) 3

4 2. ac bd( mod m) 1 8 ( mod 7) og 15-6( mod 7) Dermed er (mod 7) dvs (mod 7) og ( 6)(mod 7) dvs (mod 7) Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = Tverrsummen til a er lik = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen til a. Da er a sum(a)(mod 9) Dvs. a er kongruent med sin tverrsum modulo 9. Bevis. Tallet a har et bestemt antall siffer. Her tenker vi oss at a har fire siffer. Beviset kan gjøres på tilsvarende måte hvis har et annet antall siffer. La de fire sifrene til a være x, y, z og u: a = xyzu. 4

5 (f.eks. hvis a = 3758 er x = 3, y = 7, z = 5 og u = 8) Tallet a kan skrives som a = 1000x + 100y + 10z + u. mens tverrsummen sum(a) = x + y + z + u I følge definisjonen er a b(mod m ) hvis m går opp i (a b), dvs. m (a b). Her blir b = sum(a) og m = 9, og vi får da a sum(a) = 1000x + 100y + 10z + u x y z u = 999x + 99y + 9z = 9(111x + 11y +z) Siden 9 er faktor betyr det at 9 går opp i (a sum(a)). Med andre ord er a kongruent med tverrsummen til a modulo 9: a sum(a)(mod 9). Gjentatt tverrsum. Den gjentatte tverrsummen til et tall a er det tallet vi får ved å ta tverrsummen til tverrsummen osv. til vi ender opp med et ensifret tall. La = Tverrsummen til a blir = 23. Tverrsummen til 23 = 5. Dette betyr at (mod 9). Stemmer det? Ja, fordi = 3753 = Vi ser at 9 er faktor og 9 går derfor opp i Følgelig er a og kongruent med den gjentatte tverrsummen til a modulo 9. 5

6 Testing av svar i et regnestykke. La a og b være hele tall, og la g(a) være den gjentatte tverrsummen til a og g(b) den gjentatte tverrsummen til b. Da har vi a g(a)(mod 9) og b g(b)(mod 9). I følge regnereglene for kongruenser får vi a b g(a) g(b)(mod 9) La f. eks. a = 3758 og b = 347. Tar vi den gjentatte tverrsummen av tallene får vi g(a) = 5 og g(b) = 5 Da blir g(a) g(b)= 5 5= 25 der tverrsummen blir = 7. Dette betyr at g(ab), dvs. den gjentatte tverrsummen g(ab) også må bli 7. Vi sjekker: = g( ) = g( ) = g(16) = = 7. Vi fikk som ventet 7 begge ganger. Hvis vi i utregningen av ab hadde fått et svar som ikke hadde 7 som gjentatt tverrsum, så må svaret være feil. Hvis vi imidlertid bytter om to siffer i et korrekt svar vil ikke denne testen avsløre det! Tallsystemer 6

7 Heltall oppgis vanligvis i det desimale tallsystemet, også kalt 10-tallssystemet. Gitt tallet Dette kan skrives slik: = Tallet 10 kalles for grunntallet i det desimale tallsystem. Alle hele tall g > 1 kan være grunntall i et tallsystem. Eksempel: La f.eks. g = 12. Da finnes det tall x, y, z og u som alle er fra 0 til 11 slik at = x y z u 12 0 = xyzu 12 Tallene x, y, z og u er gitt ved x = 2, y = 2, z = 4 og u = 2. Dermed blir = Hvordan vi finner x, y, z og u kommer vi straks til. I databehandlingen brukes stort sett grunntallene 2, 8, 10 og 16. Brukes flere tallsystemer i samme tekst er det vanlig å oppgi tallets grunntall som indeks , , 176 8, A2F3 16 7

8 I Java kan en oppgi tall på binær form ved å sette 0b foran tallet, oktal form med 0 foran tallet og heksadesimal form med 0x foran tallet: Hvis grunntallet vi velger er større enn 10, brukes bokstavene i alfabetet til å representere tallene over 10: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13 osv. Kjør programmet selv og test ut med forskjellige grunntall! Konvertering mellom tallsystemer. Fra desimal til binær, oktalt eller hexadesimalt. Vi viser teknikken ved hjelp av et eksempel. Metoden blir tilsvarende for de andre tallsystemene. La a = Vi setter opp følgende skjema: 8

9 Generell teknikk. Gitt et grunntall g > 1 og et positivt heltall a. Da kan a skrives entydig på formen: a = s n g n + s n-1 g n-1 + s n-2 g n-2 + +s 2 g 2 + s 1 g 1 + s 0 g 0 der 0 s i < g for i = 0, 1, 2, 3,., n Vi finner siste siffer ved s 0 = a mod g. Så setter vi a = a div g. Dermed neste siffer s1 = a mod g. osv. Eksempel La a = og g = 8: 9

10 Algoritmen er slik: La g være grunntallet. a mod g gir siste binære siffer. Så setter vi a lik a div g. Dermed vil a mod g neste gang gi nest siste siffer. Fortsetter på samme måte til vi har fått alle sifrene. Følgende javakode bruker denne teknikken for å konvertere et tall i 10-tallssystemet til et tall i det tallsystemet vi selv måtte ønske ut fra grunntallet vi velger: 10

11 Fra binært tall til oktalte, heksadesimale og desimale tall Gitt a = Hvis vi skal finne a som oktalt tall grupperer vi tre og tre siffer fra høyre mot venstre: Hver gruppe på tre konverteres til et oktalt siffer etter følgende regel: Dermed blir = OBS! Hvis det er færre enn 3 siffer i gruppen lengst til venstre, kan vi legge til en eller to 0-er slik at det blir tre siffer. Eksempel Heksadesimale tall. La a = Grupper fire og fire binære siffer fra høyre mot venstre: 11

12 Gruppen lengst til venstre har kun tre siffer. Da kan vi legge på en ekstra 0 forrest slik at vi får Sifrene i hver gruppe konvergeres til et heksadesimalt siffer etter følgende tabell: Dette gir tallet = 5B96 16 Fra binært til desimalt. La a = Hvert siffer representerer en potens av 2. Det kan settes opp slik: Her kan vi finne a ved å summere potensene som hører til 1- sifrene: a = a = a = En enklere metode: Vi kan først konvertere a til et heksadesimalt tall: 12

13 a = 5B96 16 a = B = = 16( ) + 6 = 16(16( ) + 9 ) + 6 = ( ) = =