Regning med tall og bokstaver

Transkript

1 Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger av f rste grad ^ l se uoppstilte likninger ^ bruke prosentregning ^ tilpasse og omforme formeluttrykk

2 10 Matematikk for fagskolen 1 REGNING MED TALL OG BOKSTAVER Innledning I vår tid snakker vi om «datarevolusjonen». Ikke minst har det skjedd en revolusjon i bruken av matematikk. Med moderne IKT-utstyr kan vi utføre beregninger som det ikke var praktisk mulig å gjøre tidligere. Matematikkens nytteverdi er større enn noen gang, og denne utviklingen vil fortsette. Særlig innenfor tekniske fag er matematikk et nødvendig hjelpemiddel. Selv om datamaskiner overtar mer og mer av det faktiske regnearbeidet, er det viktig å forstå matematikken som ligger bak beregningene, slik at vi kan tolke resultatene korrekt. Emnene vi skal gjennomgå i dette kapitlet, er grunnleggende i all tallbehandling og bruk av matematikk. Dersom du behersker dette stoffet, vil det være til stor hjelp i arbeidet med de andre kapitlene. 1.1 Tall og regneregler De positive hele tallene 1, 2, 3,... som vi bruker når vi teller, kaller vi naturlige tall. Mengden av naturlige tall: N ¼f1; 2; 3;...g

3 11 Et tall som er delelig med 2, kaller vi et partall. Det er 2, 4, 6 osv. De andre naturlige tallene, det vil si 1, 3, 5,...,eroddetall. Tallinja Det er vanlig å plassere tallene på en linje. Da starter vi med å velge et nullpunkt (origo). Avstanden fra et helt tall til det neste, enheten, er like stor langs hele tallinja origo Vi blir lettest kjent med regnereglene for addisjon og multiplikasjon dersom vi bare ser på de naturlige tallene til å begynne med. Men reglene gjelder for alle slags tall. Addisjon Når vi adderer to tall, har ikke rekkefølgen noe å si. For eksempel er både 4 þ 11 og 11 þ 4 lik 15. Regelen skriver vi slik: a þ b ¼ b þ a Ofte må vi addere tre eller flere tall. Når vi gjør utregningen, adderer vi alltid bare to tall om gangen, aldri tre eller flere. Vi kan bruke parenteser for å vise det, for eksempel ð3 þ 8Þþ5 ¼ 11 þ 5 ¼ 16 Men adderer vi 8 og 5 først, får vi samme resultat: 3 þð8 þ 5Þ ¼3 þ 13 ¼ 16 Regelen skriver vi slik: ða þ bþþc ¼ a þðb þ cþ Vi bruker alltid slike grupperinger når vi utfører addisjoner, selv om vi ikke skriver parentesene.

4 12 Matematikk for fagskolen 1 REGNING MED TALL OG BOKSTAVER Multiplikasjon Ved multiplikasjon har vi denne regelen: a b ¼ b a Når vi skal multiplisere tre eller flere tall med hverandre, bruker vi denne regelen: ða bþc ¼ a ðb cþ Fordelt multiplikasjon Til et tak trengs det seks bærebjelker som hver veier 205 kg. Hvor mye veier de seks bjelkene til sammen? Vi regner i hodet og tenker på 205 kg som summen av 200 kg og 5 kg. Deretter fordeler vi multiplikasjonen på de to leddene: 6 ð200 þ 5Þ ¼6 200 þ 6 5 ¼ 1200 þ 30 ¼ 1230 Til sammen veier bjelkene 1230 kg. Vi har brukt denne regelen: a ðb þ cþ ¼a b þ a c Vi kan ha flere ledd inne i parentesen. EKSEMPEL Multipliser, løs opp parentesene og trekk sammen: 6 þ 3 ða þ 5Þþa ð1 þ bþ Løsning: 6 þ 3 ða þ 5Þþa ð1 þ bþ ¼ 6 þ 3a þ 15 þ a þ ab ¼ 21 þ 4a þ ab Vi multipliserer inn og løser opp parentesene. Vi trekker sammen ledd av samme type.

5 13 Negative tall Dersom du tar ut mer enn du har på bankkontoen, skylder du banken penger. Et slikt beløp oppfatter vi som negativt. De negative tallene setter vi av til venstre for null på tallinja. De naturlige tallene, null og de negative hele tallene utgjør tallmengden Z, som vi kaller hele tall: Mengden av hele tall: Z ¼f...; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4...g Legg merke til at pila til et negativt tall alltid peker mot venstre, mens pila som svarer til et positivt tall, peker mot høyre. Å addere negative tall De negative tallene skal følge alle regnereglene foran. Figurene nedenfor viser hvordan vi adderer med negative tall (- 3) = (- 5) = På den øverste figuren foran ser vi at 5 þð 3Þ ¼2, altså det samme som 5 3. Derfor bruker vi vanligvis den siste skrivemåten i stedet for den første. Vi ser at å addere 3 er det samme som å subtrahere 3.

6 14 Matematikk for fagskolen 1 REGNING MED TALL OG BOKSTAVER Å multiplisere med negative tall På samme måte som at 3 4 ¼ 4 þ 4 þ 4 ¼ 12, kan vi sette 3 ð 4Þ ¼ð 4Þþð 4Þþð 4Þ ¼ (- 4) + (- 4) + (- 4) = - 12 Hva med produktet ð 4Þ3? Vi kan ikke si at det skal være «en sum av minus fire 3-tall». I stedet setter vi ð 4Þ3 ¼ 3 ð 4Þ. Det er i samsvar med multiplikasjonsregelen a b ¼ b a. Etter det vi nettopp så, får vi den første av fortegnsreglene nedenfor: To like fortegn gir pluss. To ulike fortegn gir minus. Produktet av et positivt og et negativt tall er negativt. Produktet av to negative tall er positivt. EKSEMPEL Regn ut produktene: a) ð 7Þ4 b) ð 7Þð 4Þ c) ð 7Þð 4Þð 5Þ Løsning: a) ð 7Þ4 ¼ 28 b) ð 7Þð 4Þ ¼ ^1.1.5 c) ð 7Þð 4Þð 5Þ ¼28 ð 5Þ ¼ 140 Tall pô standardform Av og til må vi regne med svært store eller svært små tall, eller med tall som er nesten lik null. Jordas gjennomsnittsavstand til sola er 149,6 milliarder meter, det vil si 149; m. Slike tall kan skrives kortere ved hjelp av potenser.

7 15 Potenser Tallet er det samme som 10 multiplisert med seg selv ni ganger. For et produkt som består av mange like faktorer, innfører vi en enklere skrivemåte: 9 faktorer zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{ ¼ 10 9 Gjennomsnittsavstanden til sola kan skrives kortere som 149; m er ikke en ny type tall, det er bare en måte å skrive et produkt på. Når et tall er skrevet på denne måten, har vi en potens. n a potens eksponent grunntall Dersom a er et fritt valgt tall og n er et naturlig tall, setter vi n faktorer zfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflffl{ a n ¼ a a... a Vi kaller a n en potens, der a er grunntallet, ogn er eksponenten. EKSEMPEL Regn ut potensene: a) 3 4 b) ð 5Þ 3 c) 3;14 5 Løsning: a) 3 4 ¼ ¼ 9 9 ¼ 81 b) ð 5Þ 3 ¼ð 5Þð 5Þð 5Þ ¼ð 5Þ25 ¼ 125 c) 3;14 5 ¼ 3;14 3;14 3;14 3;14 3;14 ¼ 305;24 Nevneren i en brøk kan være en potens. Da bruker vi en skrivemåte med negativ eksponent: 10 5 ¼ ¼ En potens med negativ eksponent kan ikke ha null som grunntall. Det skyldes at vi ikke kan dividere med null.

8 16 Matematikk for fagskolen 1 REGNING MED TALL OG BOKSTAVER EKSEMPEL Skriv potensene som brøker: a) 10 1 b) 10 2 c) 10 6 a n ¼ 1 a n Løsning: a) 10 1 ¼ ¼ 1 10 b) 10 2 ¼ ¼ c) 10 6 ¼ ¼ De positive tallene 20 og 520 kan vi skrive med tierpotenser slik: 20 ¼ ¼ 5;2 100 ¼ 5; Når det bare er ett siffer forskjellig fra null foran kommaet i den første faktoren, sier vi at tallet er skrevet på standardform. Negative tall kan skrives på tilsvarende måte. Legg merke til at eksponenten viser hvor mange plasser kommaet i tallet er flyttet mot venstre eller høyre. For små tall blir eksponenten i tierpotensen negativ: 0;5 ¼ 5 10 ¼ ;0233 ¼ 2; ¼ 2;33 ¼ 2; Når et tall a er skrevet på standardform, har vi a ¼k 10 n der k er et tall med ett siffer forskjellig fra null foran kommaet, og n er et helt tall. EKSEMPEL Skriv på standardform: a) lysfarten i tomt rom ¼ m=s b) bølgelengden til lyset fra en laser ¼ 0, m

9 17 Vi flytter kommaet åtte plasser mot venstre i a og sju plasser mot høyre i b. Løsning: a) m=s ¼ 2; m=s ¼ 2; m=s 1 b) 0; m ¼ 6; m ¼ 6; m ¼ 6; m Regning på standardform med lommeregner På lommeregneren har vi en egen tast for tierpotenser. Nedenfor viser vi et eksempel der vi bruker denne tasten. EKSEMPEL Bruk lommeregneren til å regne ut: a) 2; ; b) 6; : 2; Løsning: Vi regner ut på lommeregneren og får: Texas Tasten for tierpotenser er EE. Legg merke til at vi ikke taster inn gangetegn eller tallet 10. Husk å bruke fortegnsminus ved den negative eksponenten. Se bildet nedenfor: Casio Tasten for tierpotenser er EXP. Legg merke til at vi ikke taster inn gangetegn eller tallet 10. Husk å bruke fortegnsminus ved den negative eksponenten. Se bildet nedenfor: Svarene skriver vi slik: a) 1; b) 3;

10 18 Matematikk for fagskolen 1 R E G N I N G M E D TA L L O G B O KS TA V E R E KS E M P E L Mjøsa er Norges største innsjø. Arealet av overflata er 365 km2, og den største dybden er 449 m. a) Uttrykk arealet av Mjøsas overflate i kvadratmeter. b) Gjør et overslag over hvor mange kubikkmeter vann det er i Mjøsa. En kubikkmeter er volumet av en terning der alle sidene er 1 m lange. Amazonas, som er verdens mest vannrike elv, fører ca. 10;5 milliarder kubikkmeter, det vil si 10; m3, vann i Atlanterhavet hvert minutt. c) Hvor lang tid ville Amazonas bruke pa a tømme Mjøsa? Løsning: a) Fordi 1 km ¼ 1000 m, er 1 km2 ¼ 1 km 1 km ¼ 1000 m 1000 m ¼ m2 ¼ 10 6 m2 Derfor er 365 km2 ¼ m2 ¼ 3; m2. b) Vi fa r en tilnærmingsverdi for volumet ved a multiplisere overflatearealet med den største dybden og dividere med 2: 3; m2 449 m 8; m3 2 Volumet er ca. 8; m3. c) Tida (regnet i minutter) blir da 1.1.6^ ; m3 8 min ¼ 8 min ;05 10 m =min 1 Amazonas ville trenge om lag a tte minutter pa a tømme Mjøsa. N yaktighet Hvor mange siffer vi oppgir i en ma lt størrelse, sier noe om hvor nøyaktig størrelsen er ma lt. Na r vi oppgir en lengde til a være 2,3 m, mener vi at den kan være fra og med 2,25 m til og med 2,34 m. Vi sier at lengden er oppgitt med to gjeldende siffer.

11 19 Definisjonen er slik: De gjeldende sifrene i et tall er de sifrene vi bruker når vi skriver tallet på standardform. Etter definisjonen ovenfor har 8; tre gjeldende siffer. På samme måte har 8; to gjeldende siffer. Merk at 0; ¼ 2; ikke har seks, men to gjeldende siffer. Når vi skriver 113,5, går vi ut fra at alle sifrene gjelder, ettersom 113;5 ¼ 1; I tabellen nedenfor finner du eksempler på antall gjeldende siffer i en del målte størrelser: Størrelse Nøyaktighet Minste verdi Største verdi 10;80 V 4 gjeldende siffer 10;795 V 10;804 V 0;100 km 3 gjeldende siffer 0;0995 km 0;1004 km 1; kg 3 gjeldende siffer 1; kg 1; kg 0;010 A 2 gjeldende siffer 0;0095 A 0;0104 A Avrunding Når vi regner med målte størrelser, må vi alltid runde av svaret til et fornuftig antall gjeldende siffer. Vi skal runde av 3985,75 til tre gjeldende siffer. Da er det siffer nummer fire som avgjør om vi skal runde av oppover eller nedover. Dersom det fjerde sifferet er 5 eller større, runder vi av oppover. Her er det fjerde sifferet 5, og vi runder opp til Ønsker vi å presisere at tallet har tre gjeldende siffer og ikke fire, må vi skrive det på standardform: 3; Vi bruker disse reglene til å avgjøre hvor mange gjeldende siffer vi skal ha: Ved multiplikasjon og divisjon av tilnærmingsverdier oppgir vi svaret med like mange gjeldende siffer som det er i tallet med færrest gjeldende siffer. Svaret må likevel ha minst to gjeldende siffer.

12 20 Matematikk for fagskolen 1 REGNING MED TALL OG BOKSTAVER Ved addisjon og subtraksjon av tilnærmingsverdier oppgir vi svaret med like mange desimaler som det er i leddet med færrest desimaler. EKSEMPEL a) En rektangulær treplate har tykkelsen 2,4 cm, bredden 62,1 cm og lengden 3,579 m. Finn volumet av plata. b) Trekk sammen 40;2 m 37;45 m þ 0;768 m. 1 l ¼ 1 liter ¼ 1dm 3 ¼ 1000 cm ^ Løsning: a) Vi gjør om alt til centimeter og multipliserer sammen lengden, bredden og tykkelsen: V ¼ 357;9 cm 62;1 cm 2;4 cm¼ ;416 cm 3 Tykkelsen har bare to gjeldende siffer, så vi runder av svaret til to gjeldende siffer. Volumet blir da cm 3, det vil si 53 liter. b) Vi trekker sammen tallene og får 40;2 m 37;45 m þ 0;768 m ¼ 3;518 m Svaret skal ha én desimal, og vi runder derfor av til 3,5 m. RegnerekkefÖlge Vi kan ikke alltid utføre operasjonene i den rekkefølgen de står. Den riktige måten å regne ut 5 þ 3 7påer slik: 5 þð3 7Þ ¼5 þ 21 ¼ 26 Vi kan bruke parenteser til å bestemme hva som skal regnes ut først. Men vi ønsker å unngå parenteser dersom vi kan. Derfor gir vi regneoperasjonene ulik prioritet. Nedenfor har vi satt opp regnerekkefølgen, det vil si en liste med den riktige rekkefølgen for ulike regneoperasjoner: 1 Gjør innholdet i parentesene så enkle som mulig. 2 Regn ut potenser. 3 Utfør multiplikasjon og divisjon. 4 Utfør addisjon og subtraksjon.

13 21 EKSEMPEL Regn ut og skriv svarene så enkelt som mulig: a) 2 þ c) ð2a bþ b a ða 2b þ aþ b) ð2 þ 3Þ2 3 Løsning: a) 2 þ ¼ 2 þ 3 8 ¼ 2 þ 24 ¼ 26 b) ð2 þ 3Þ2 3 ¼ 5 8 ¼ 40 c) ð2a bþ b a ða 2b þ aþ ¼ð2a bþ b a ð2a 2bÞ ¼ð2ab b 2 Þ ð2a 2 2abÞ ¼ 2ab b 2 2a 2 þ 2ab ¼ 2a 2 b 2 þ 4ab Hvordan skal vi tolke uttrykket 100 : 10 2? Fordi multiplikasjon og divisjon har like høy prioritet, kan vi ikke avgjøre om det er ð100 : 10Þ2 ¼ 20 eller 100 : ð10 2Þ ¼5 som er riktig. I tilfeller der det oppstår tvil, må vi bruke parenteser. Regning med bokstavuttrykk Et regneuttrykk inneholder ofte bokstaver der hver bokstav står for et tall. Vi prøver å skrive slike bokstavuttrykk på enkleste måte. Da bruker vi de samme regnereglene som når vi regner med tall. Å trekke sammen ledd av samme type Et ledd i et bokstavuttrykk kan være et produkt av tall og bokstaver. Vi skiller leddene fra hverandre med pluss ðþþ eller minus ð Þ. Disse uttrykkene inneholder bare ett ledd: 2a; 16b 4 4ab ; 5 Disse uttrykkene inneholder to ledd: a 1; 3ab þ a 2 b; 1 x þ

14 22 Matematikk for fagskolen 1 REGNING MED TALL OG BOKSTAVER Ledd av samme type kan trekkes sammen til ett ledd: a þ 2a 4a ¼ a xy þ 3xy x 2 y ¼ 4xy x 2 y Å løse opp parenteser Når det står minustegn foran en parentes, gjelder minustegnet alle ledd inni parentesen. Når vi fjerner parentesen, må vi derfor skifte fortegn på alle ledd i parentesen: 3 ð2a þ b 5Þ ¼3 2a b þ 5 ¼ 8 2a b Står det plusstegn foran parentesen, kan vi bare sløyfe den: a þð2a 4Þ ¼ a þ 2a 4 ¼ a 4 Når parentesen skal multipliseres med et tall eller et uttrykk, må vi huske på å multiplisere med alle leddene i parentesen (fordelt multiplikasjon). Vi multipliserer ut og skifter fortegn i samme operasjon: 4a 2 2a ð2a b þ 1Þ ¼ 4a 2 4a 2 þ 2ab 2a ¼ 2ab 2a Når vi løser opp en parentes med minustegn foran, må vi endre fortegn på alle ledd i parentesen: ða bþ ¼ a þ b Å multiplisere sammen to parenteser Når vi multipliserer sammen to parenteser, bruker vi egentlig fordelt multiplikasjon to ganger: ða þ 2Þðb 3Þ ¼ða þ 2Þb ða þ 2Þ3 ¼ ab þ 2b ð3a þ 6Þ ¼ ab þ 2b 3a ^ Vi multipliserer sammen to parenteser ved å multiplisere alle ledd i den ene parentesen med alle ledd i den andre parentesen.

15 23 ÒVINGSOPPGAVER Hvilke av tallene nedenfor er oddetall, og hvilke er partall? a) 42 b) 71 c) Blir summen a þ b et partall eller et oddetall dersom a) a og b er partall c) a er oddetall og b er partall b) a og b er oddetall d) a er partall og b er oddetall (Du kan velge konkrete verdier for a og b i hvert tilfelle, men prøv også å vurdere hva resultatet ville blitt med andre tall enn dem du valgte.) Hvilket av de fem tallene 1;1, 1;01, 1;001, 1;0101 og 1; er minst? a) Gjør om rekkefølgen og grupper leddene i summen 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 slik at du i stedet får summen 7 þ 7 þ 7. b) Hva blir de tilsvarende omskrivingene av summene 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 og 1þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8? c) Foreslå en omskriving av summen 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8 þ 9 þ...þ 100. Bruk den endrete skrivemåten til å regne ut summen Regn ut uten å bruke lommeregner: a) ð 3Þð 2Þ4 c) 12 ð7 2Þ b) ð 1Þð 2Þð 3Þð 4Þ d) 12 ð 7 þ 2Þ Skriv produktet påen enklere måte Regn ut potensene: a) 2 3 b) ð 3Þ 4 c) ð 5Þ 3 d) 10 6

16 24 Matematikk for fagskolen 1 REGNING MED TALL OG BOKSTAVER Skriv potensene som brøker: a) 10 2 b) 10 4 c) Skriv tallene på standardform: a) b) 0,0123 c) 432,1 d) 0, a) Jordradien er m. Skriv tallet på standardform. b) Avstanden mellom de nærmeste atomene i koksalt (NaCl) er 0, m. Skriv tallet på standardform Regn ut uten å bruke lommeregner: a) 2; kg þ 3; kg b) 5; kwh 6; kwh c) 2; m þ 8; m Et jernatom har diameteren 2; m, og massen er 9; kg. En binders inneholder 0,50 g jern. Skriv alle svar på standardform: a) Gjør om 0,50 g til kilogram (kg). b) Hvor mange jernatomer er det i bindersen? c) Hvor lang blir rekka dersom vi legger alle jernatomene i en binders etter hverandre? a) Hva er forskjellen på 2; mog2; m? b) Hvilken av de to størrelsene 3024 kg og 0,0273 kg er mest nøyaktig?

17 Rund av til tre gjeldende siffer og skriv svarene på standardform: a) kwh c) ,9 J b) 0, kg d) V En stålplate er 2,1 mm tykk, 1,782 m bred og 2,84 m lang. Regn ut volumet og skriv svaret i kubikkcentimeter ðcm 3 Þ på standardform a) Regn ut b) Dersom vi setter parenteser på ulike måter i uttrykket i a, kan vi få fire andre svar. Hvilke? Trekk sammen: a) 2x þ 4xy 3 x þ 5 b) 5a 2 7ab þ 3a a 2 þ 5ab c) 2ax 2 4a 2 x þ 6ax 3a ðax þ x 2 Þ Trekk sammen: a) 2a þ 3a ð2 aþ b) b ða þ 2Þ a ðb 3Þ c) 3x ðx 2Þ 4 ðx 5Þ Løs opp parentesene og trekk sammen: a) 4a þð 6a 8bÞ b) ð 3x þ 2yÞþð4y 6xÞ c) 8a 3b þð7b 3a þ 6Þþ13 ð 3a þ 2bÞ 8a d) 3x þð 3x þ 6y þ 2Þ ð5y 12Þþð 19 8y þ 7xÞ

18 26 Matematikk for fagskolen 1 REGNING MED TALL OG BOKSTAVER Utfør multiplikasjonene og trekk sammen: a) 2 ða þ 3Þ ð3 þ 3aÞ b) 3x 2 ð4x 3Þþ10 c) 3 ð2a 5Þ ð6 2aÞþð3a þ 1Þ 2 d) 3 ð2a þ 2Þ 2 ð3a 1Þþð8a þ 3Þð 3Þ Utfør multiplikasjonene og trekk sammen: a) 8x þ 2x ðb 3Þ b) ab 2a ð3 2bÞ c) 2 ð3b 2 2Þþð2b 2 1Þ3 d) u þ u ð2u 1Þ e) u ð2 uþþu 2 2 ð2u þ 3Þ Multipliser ut og trekk sammen: a) ðt 1Þðt 2Þ d) ð2x þ yþ 2 b) ð2x 3Þð2 x 4Þ e) ðx þ y þ 1Þ 2 c) ða 2 3a þ 4Þða 1Þ 1.2 Regning med brök Når vi adderer, subtraherer eller multipliserer hele tall, blir også svaret et helt tall. For eksempel er 132 þ 19 ¼ 151; ¼ 15; 17 8 ¼ 136 Men om vi dividerer et helt tall med et annet, blir ikke svaret alltid et helt tall. Dersom vi dividerer 2 med 5, får vi 0,4. Svaret leser vi som «null komma fire» eller «fire tideler». Vi kan også skrive svaret som en brøk: : 5 ¼ 2 5 Dette svaret leser vi som «to femdeler».