1 Tall og algebra i praksis

Transkript

1 1 Tall og algebra i praksis Innhold Kompetansemål Tall og algebra i praksis, VgP... 1 Modul 1: Potenser... Modul : Tall på standardform... 6 Modul : Prosentregning Modul 4: Vekstfaktor Modul 5: Eksponentiell vekst Bildeliste... 4 Kompetansemål Tall og algebra i praksis, VgP Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter, og bruke dette i praktiske sammenhenger regne med prosent og vekstfaktor, gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst 1

2 Modul 1: Potenser Datamaskinene våre får stadig større kapasitet. Antall bytes som kan lagres på en harddisk øker. Mens det for få år siden var vanlig med en lagringskapasitet på noen millioner bytes, Megabytes, har det nå blitt vanlig å kunne lagre milliarder av bytes, Gigabytes. Vi får etter hvert svært store tall å forholde oss til. Store tall skrevet på vanlig måte gir lange rekker med tallsifre. Dette er tungvint, og det er derfor behov for å skrive svært store tall på en mer kortfattet måte. Det å skrive tall på potensform er her et hjelpemiddel. Vi kan som eksempel skrive tallet 81 som en potens. Vi har at siden 81, så skriver vi 81 som potens slik 4 81 Denne skrivemåten betyr at vi skal multiplisere tallet med seg selv 4 ganger ganger Å skrive 4 er altså bare en annen måte å skrive tallet 81 på. Tallet kalles for grunntallet, og tallet 4 kalles for eksponenten. Eksponenten forteller hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. Definisjon La a være et vilkårlig tall og n et naturlig tall. Da er a a a a... a n def n ganger Ved å skrive «def» over likhetstegnet forteller vi at dette er noe som er bestemt, definert, at skal gjelde.

3 Regneregler for potenser Vi kan regne med potenser ganger 5 ganger 9 Vi ser at Regneregel 1 for potenser m n m n a a a Tilsvarende gjelder når vi dividerer potenser på hverandre: 6 4 Vi ser at Regneregel for potenser La a være et tall forskjellig fra null og la m og n være naturlige tall, og foreløpig må vi ha at m n. a a m n a m n Hvordan blir utregningen hvis potensen i nevnere har større eksponent enn potensen i telleren? Vi bytter om på potensene i eksemplet ovenfor. Ved vanlig brøkregning får vi 6 1 4

4 Ved å bruke regneregel, får vi Vi ønsker at regnereglene for potenser også skal gjelde i slike tilfeller. Det betyr at 4 og 4 må være samme tallet. Definisjon For alle tall a 0 og naturlige tall n gjelder at a n def 1 n a Hva så hvis potensene i teller og nevner har like eksponenter? Vi ser på et eksempel. Ved vanlig brøkregning får vi 1 Ved å bruke regneregel, får vi 0 Vi ønsker også her at regnereglene for potenser skal gjelde. Det betyr at 0 må være lik tallet 1. Definisjon For alle tall a 0 gjelder at def 0 a 1 Med disse to nye definisjonene gjelder regneregel 1 og for alle heltallige eksponenter, også når m ikke er større enn n. 4

5 Studer følgende regnestykker hvor definisjonen på potenser er brukt gjentatte ganger sammen med vanlige regneregler Vi kan sette opp tilsvarende regnestykker hvor vi bytter ut tallene, og 4 med hvilke som helst andre reelle tall, og vi får tre nye regneregler for potenser. Vi kan da summere opp de definisjoner og regneregler vi har for potenser. Disse gjelder under de forutsetninger som er gitt ovenfor. Vi forutsetter også at vi ikke får null i nevner! Definisjoner og regnereglene for potenser Oppsummering Definisjoner a a a a... a n def n ganger a def n 1 n a def 0 a 1 Regneregler n n n a b a b m n m n a a a n a a b b n n a a m n a m n a n m m n a 5

6 Modul : Tall på standardform Tierpotenser Som nevnt ovenfor, regner vi mange ganger med svært store tall. Andre ganger regner vi med svært små tall. Vi bruker da ofte potenser med grunntallet 10. Tabellen nedenfor viser tierpotenser av ulik størrelse. Disse har egne navn (prefikser). En del av disse bør du kunne. Prefikser Kilo er opprinnelig et gresk ord som betyr tusen. Vi bruker ordet ved å sette det foran for eksempel meter og får da en større lengde, nemlig kilometer. Vi bruker også symbolet k for kilo, og skriver da kilometer kortfattet som km. Et ord som på denne måten settes foran et annet ord kalles for et prefiks. En oversikt over noen prefikser til tierpotenser 10 n Prefiks Symbol Navn peta P billiard tera T billion giga G milliard mega M million kilo k tusen hekto h hundre 1 10 deka da ti desi d tidel 0,1 10 centi c hundredel 0,01 10 milli m tusendel 0, mikro μ milliondel 0, nano n milliarddel 0,

7 Store tall på standardform Oversikten ovenfor viser hvordan noen tall kan skrives som tierpotenser. Vi ønsker å kunne skrive alle tall på en tilsvarende enkel måte. Dette er spesielt nyttig når vi arbeider med svært store eller svært små tall. Vi ser på tallet 57. Vårt tallsystem er et posisjonssystem. Det vil si at det er det enkelte siffers plassering som bestemmer verdien til sifferet. Det første sifferet,, har verdien 000. Det neste,, har verdien 00. Sifferet 5 har verdien 50, mens det siste sifferet, 7, forteller at vi har 7 enere. Det første sifferet angir altså antall 0, det neste antall, det tredje antall 10-ere og det siste antall enere. Vi setter et kommategn etter sifferet 7. Da vil eventuelle siffer etter 7 angi antall tideler, hundredeler osv. avhengig av sifferets posisjon. Kommategnet forteller altså hvor vi begynner å telle enere. Vi kan flytte komma en plass til venstre og skrive 5,7. Da har verdien av alle siffer blitt dividert med 10. Sifferet har ikke lenger verdien 00, det har nå verdien 0. Tallet 5,7 kan få tilbake sin verdi som 57 ved at vi multipliserer det med 10. Vi kan fortsette slik , , , I den siste linjen har vi skrevet tallet 57 som et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens. Vi sier da at vi har skrevet tallet på standardform. 7

8 I begynnelsen av 011 var folketallet i verden ca Dette tallet kan vi skrive på standardform som , ,9 10 Ovenfor har vi avrundet til én desimal i desimaldelen av tallet. Vi må da huske på de reglene som gjelder for avrunding. Når vi avrunder et desimaltall, må vi se på den desimalen som kommer nærmest etter den siste vi beholder. Hvis denne desimalen er 5 eller høyere, må vi øke den siste desimalen vi beholder, med 1. Tall på standardform i GeoGebra I GeoGebra bruker vi kommandoen «Standardform[ <Tall> ]» eller «Standardform[ <Tall>, <Gjeldende siffer> ]» for å skrive et tall eller regneuttrykk på standardform. I GeoGebra benyttes også bokstaven «E» for tierpotens 8

9 Små tall på standardform Vi ser på tallet 0,0. Husk igjen at vårt tallsystem er et posisjonssystem. Kommategnet forteller hvor vi begynner å telle enere. Første plass etter komma er tidelsplassen som forteller hvor mange tideler vi har. Vi har i vårt eksempel 0 tideler. Andre plassen angir hundredeler. Vi har hundredeler og siste siffer forteller at vi har tusendeler. Vi kan flytte komma en plass til høyre, og skrive 0,. Da har verdien av alle sifre blitt multiplisert med 10. Sifferet har ikke lenger verdien hundredeler, men har nå verdien tideler. For at tallet skal få tilbake sin opprinnelige verdi, må vi dividere hele tallet med Det er det samme som å multiplisere det med 10. Tallet, kan få tilbake sin verdi som 0,0 ved at vi dividerer det med. 0,0 0,0 10 0,0 0, 10 0,0, I den siste linjen har vi skrevet tallet 0,0 som et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens. Vi har skrevet tallet på standardform. Vann er bygd opp av vannmolekyler. Massen til ett vannmolekyl er m 6 0, kg,99 10 kg. Her ser du at det er hensiktsmessig å bruke standardform! Massen til et vannmolekyl er, kg. 9

10 Modul : Prosentregning Prosent betyr hundredel 1 1 % 0,01 Alle tall kan skrives som «prosent». Dette er fordi alle tall kan skrives som en brøk med 1 i nevneren. Vi kan så utvide brøken slik at vi får i nevner. Prisene er satt ned med 0. Å skrive tall som «prosent». Noen eksempler: % 1 0,4 4 0,4 4 % 1 1,6 16 1,6 16 % 1 Å skrive «prosent» som tall. Noen eksempler: % 0,44 1, 1, % 0, % 10

11 Hva utgjør prosentandelen Eksempel 1 Å beregne skattetrekk Linda har sommerjobb og tjener så mye at arbeidsgiveren må trekke 15 % av lønna i skatt. Hvor mye må Linda betale i skatt når hun tjener 000 kroner? Vi går «veien om 1». % av lønna utgjør 000 kr 1% av lønna blir da 000 kr 0 kr 15% blir da 0kr kr Vi regner gjerne slik: 0 00 kr kr Linda må betale 450 kroner i skatt. I GeoGebra Eksempel Å finne salgspris Et par sko koster 540 kroner. Skoene settes ned med 40%. Hva blir salgsprisen på skoene? Vi går «veien om 1». 1% av prisen blir 540 kr 5,40 kr 40% blir da 5,40 kr kr Ofte regner vi slik: 54 0 kr kr 11

12 Salgsprisen blir da 540 kr 16 kr 4 kr. Ved GeoGebra Eksempel I en klasse er det 15 elever. 40 % av elevene kan regne med å bli trukket ut til eksamen i matematikk. Hvor mange elever kan regne med å bli trukket ut? Antall elever som kan regne med å bli trukket ut er elever kan regne med å bli trukket ut. 6 Å finne opprinnelig verdi Eksempel 1 En dongerijakke selges med 0% rabatt. Prisen etter at rabatten er trukket fra, er 40 kroner. Hva var den opprinnelige prisen? 0% rabatt betyr at 40 kroner svarer til % 0% 70% av den opprinnelige prisen. Vi går «veien om 1». 1% av prisen blir 40kr 6 kr 70 % blir da 6 kr 600 kr Den opprinnelige prisen var 600 kroner. 1

13 Eksempel I en matematikklasse ble seks elever trukket ut til eksamen. Disse seks elevene utgjorde 40 % av elevene i klassen. Hvor mange elever var det i klassen? Siden 40 % av elevene utgjør 6 elever, så må 1 % utgjøre 6 elever 0,15 elever. 40 % blir da 0,15 15 elever. Det var 15 elever i klassen. Hvor mange prosent? Når vi skal finne hvor mange prosent én størrelse utgjør av en annen størrelse, er det ofte enklest å sette opp forholdet mellom størrelsene som en brøk. Da kan vi videre skrive brøken som et desimaltall og omgjøre desimaltallet til et prosenttall som vi viste innledningsvis. Eksempel 1 Niels Henrik og Mary Ann skal dele en pizza. Pizzaen er delt i fem like store stykker. Niels Henrik spiser tre pizzastykker og Mary Ann spiser to. Hvor mange prosent av pizzaen spiser Niels Henrik? Niels Henrik sin andel er 60 0,6 60 % 5 Vi regner altså brøken om til desimaltall og finner prosenttallet Eksempel Pettersen selger moreller. Et år øker han prisen på en kurv moreller fra 5 kroner til 40 kroner. Hvor mange prosent øker prisen med? Vi finner forholdet mellom prisøkning og gammel pris. Dette forholdstallet gjør vi om til prosent ,14 14, % 5 1

14 Prosentpoeng På en meningsmåling økte et politisk parti sin oppslutning fra 0 % i oktober til % i november. Men dette betyr ikke at oppslutningen om partiet har økt med %, selv om % 0% %! Hvis for eksempel antall elever i en skoleklasse økes på samme måte, fra 0 elever til elever, så er ikke økningen på %. Vi kan regne ut økningen i prosent slik 10 0,1 10 %. 0 Økningen er altså på 10 %. Det samme må gjelde for den økte prosentvise oppslutningen for det politiske partiet. Vi sier at partiet har gått fram prosentpoeng på meningsmålingen, fra 0 prosentpoeng til prosentpoeng. prosentpoeng Økningen i forhold til opprinnelig verdi er da lik 0,1 10 % 0 prosentpoeng. 14

15 Modul 4: Vekstfaktor Vi skal nå se noen eksempler på hvor nyttig det er å bruke vekstfaktor når vi regner med prosent. Eksempel 1 En vare koster kroner. Prisen stiger med 5 %. Hva blir ny pris på varen? En måte å regne på er slik 5 Ny pris kr kr kr 75 kr kr Ved å sette utenfor en parentes blir regningen slik 5 5 Ny pris , , Dette blir mye enklere. Vi multipliserer bare gammel pris med 1,5. Tallet 1,5 kalles vekstfaktoren. Vi kan altså finne ny pris ved å multiplisere gammel pris med vekstfaktoren. Eksempel Vi tar igjen for oss en vare som koster 1500 kroner. Hva må du betale for varen hvis du får et avslag på 5%? Vi følger samme framgangsmåte som i Eksempel Ny pris , , Ny pris blir 1 15 kroner. Tallet 0,75 kalles også i dette tilfelle for vekstfaktor. Du ser igjen at du finner ny pris ved å multiplisere med vekstfaktoren. 15

16 p Når du skal øke en verdi med p %, blir vekstfaktoren 1 p Når du skal redusere en verdi med p %, blir vekstfaktoren 1 I begge tilfeller må du multiplisere opprinnelig verdi med vekstfaktoren for å finne ny verdi. Eksempel En vare kostet 000 kroner. Prisen ble satt ned med 15%. Hva koster varen etter at prisen er satt ned? 15 Vekstfaktoren blir 1 0,85 Ny pris blir 000 kroner 0, kroner 16

17 Å finne opprinnelig verdi ved bruk av vekstfaktor Eksempel Prisen på en vare er satt ned med 15%. Varen koster nå 1700 kroner. Hva kostet varen før prisen ble satt ned? Den nye prisen på kroner 1700 ble regnet ut ved at den opprinnelige prisen ble multiplisert med vekstfaktoren. Vekstfaktoren var da ,85 Vi kaller opprinnelig prisen for x og setter opp en likning Varen kostet 000 kroner før prisen ble satt ned. x 0, x 0, ,85 0, x 0,85 x 000 Ved å løse likningen ser du at den opprinnelige prisen er lik den nye prisen dividert med vekstfaktoren. Dette gjelder alltid. Det er altså ikke nødvendig å regne med likning for å finne opprinnelig verdi. Du finner opprinnelig verdi ved å dividere ny pris med vekstfaktoren 17

18 Suksessive renteberegninger Ved å bruke vekstfaktor kan du raskt finne ny pris når det skjer flere prosentvise endringer etter hverandre. Eksempel 1 En vare kostet 500 kroner. Prisen ble først satt opp med 1%, for så å bli satt ned med 0%. Finn ny pris. Pris etter prisøkning 500 kr 1,1 560 kr Pris etter prisreduksjon 500 kr 1,1 0, kr 1,1 0, kr Eksempel 00 kroner står i banken til en fast rente på %per år. Hvor mye har beløpet vokst til dersom det står 8 år i banken? Etter 8 år har beløpet vokst til kr 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1, kr 1, kr Ved CAS i GeoGebra Hvor mye har beløpet vokst til? 18

19 Modul 5: Eksponentiell vekst Eksponentiell vekst betyr ganske enkelt at vi har prosentvis endring over flere perioder av samme lengde, for eksempel over flere år. Vi ser på et eksempel hvor vi tar utgangspunkt i folketallet i en by. Eksempel 1 Vi forutsetter at folketallet i en by vokser med 1 % hvert år i perioden 1995 til 015. I 005 er folketallet 5 millioner mennesker. Vi setter år 005 til år 0 siden vi kjenner folketallet dette året. Vi lar da F 0 betegne folketallet i år 005. For å slippe å skrive så store tall, sier vi at F0 5 og lar det være underforstått at vi mener 5 millioner. Siden folketallet øker med 1 % per år, er vekstfaktoren 1,1. Folketallet i år 010 blir Folketallet i år 015 blir 5 F5 5 1,1 8,8 millioner siden år 010 er 5 år etter F10 5 1,1 15,5 millioner siden år 015 er 10 år etter 005. Vi får generelt at folketallet x år etter 005 er F 5 1,1 x x. I formelen opptrer den variable x som en eksponent i en potens. Derav navnet eksponentiell vekst. Det fine med denne formelen er at vi også kan regne bakover. Hvis for eksempel x 5, så betyr det folketallet 5 år før Folketallet i år 000 var F 5 5 1,1,8 siden år 000 er 5 år før Folketallet i år 1995 var F ,1 1,6 siden år 1995 er 10 år før 005. Vi plotter år og folketall som punkter i et koordinatsystem og får et bilde på utviklingen. 19

20 Vi ser at økningen er moderat de første årene, for så å øke fortere og fortere. Dette er typisk for eksponentiell vekst. Mange størrelser i naturen vil følge en eksponentiell vekstkurve om de får vokse fritt. Det gjelder for eksempel antall bakterier i en bakteriekultur eller antall kaniner på en øy uten fiender og med ubegrenset mattilgang. Hva tror du grunnen er til at folketallet øker fortere og fortere? Hva om denne utviklingen fortsetter? Hvor mange mennesker vil det da være i denne byen i år 040, 5 år etter 005? Vi regner i GeoGebra Med denne utviklingen vil det være 64 millioner innbyggere i byen i år 040. Dette viser at det er veldig lite sannsynlig at denne veksten fortsetter. Men det viser styrken i eksponentiell vekst! 0

21 Eksempel Foreldrene til Emilie opprettet en konto for Emilie i banken og satte inn kroner på kontoen da Emilie ble født. Rentefoten er,8 % per år. Da Emilie fylte 14 år satte hun selv inn kroner på samme konto. Hvor mye vil Emilie ha på kontoen når hun fyller 0 år hvis hun lar pengene stå urørt? Vi regner i CAS i GeoGebra Emilie vil ha ca. kroner på kontoen når hun fyller 0 år. 1

22 Hva når vekstfaktorene er mindre enn 1? Eksempel Kari kjøper ny bil til kroner La oss anta at prisen på bilen avtar med 15 % per år. Vi har også nå en prosentvis endring over flere perioder, og altså eksponentiell vekst. Dette rimer ikke helt med vår oppfatning av vekst, for her avtar verdien for hvert år. I matematikken løser vi dette ved å si at vi har negativ vekst. Vekstfaktoren blir ,85. Vi regner ut bilens verdi for noen utvalgte år, markerer resultatene som punkter i et koordinatsystem og trekker en best tilpasset linje gjennom punktene. Vi ser at bilens verdi synker fort de første årene for så å synke mindre fort. De to første årene faller verdien med over kroner , mens de to årene mellom 14 og 16 år faller verdien kun med ca. kroner Kan du forklare hvorfor det blir slik?

23

24 Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Bildeliste Vannmolekyler Foto: Science Photo Library/Scanpix Salg Foto: Ingar Storfjell/Aftenposten/Scanpix Sko Foto: Jens Wolf/DPA/Scanpix Dongerijakke Foto: Werner Juvik/VG/Scanpix Tusenlapper Foto: Kerstin Mertens/Samfoto/Scanpix Bruktbil Foto: Jan Petter Lynau/VG/Scanpix 4