10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t

Transkript

1 10 Funksjoner En funksjon er i matematisk forstand en (entydig) sammenheng mellom to eller flere variabler. Hvis Mari, som er en skoleelev på 16 år, har en lørdagsjobb og tjener kr 70 per time, vil hennes bruttolønn avhenge av hvor mange timer hun jobber. Dette kan skrives slik: lønn ¼ kr 70 antall timer Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive ð1þ LðtÞ ¼70 t Venstre side leses som «L av t», som betyr at lønnen L avhenger av antall timer t. Når vi lager formler eller uttrykk, tar vi vanligvis ikke med benevninger. Skrivemåten i (1) er ganske behagelig å bruke. Hvis vi skal regne ut lønnen for en lørdag hvor Mari jobber åtte timer, kan vi skrive Lð8Þ ¼70 8 ¼ 560 dvs. kr 560 Tilsvarende betyr Lð2Þ og Lð23Þ hva lønnen er når hun jobber henholdsvis to og 23 timer. Eksempler på andre typer sammenhenger (funksjoner) er for eksempel at arealet av en sirkel avhenger av radius. Rentebeløp ved innskudd avhenger av innskuddsbeløp, rentefot og hvor lenge innskuddet forrentes. Disse to sammenhengene kan skrives slik: ð2þ AðrÞ ¼p r 2 der r er radius (p 3,14), og ð3þ RðK; p; dþ ¼ K p d

2 MATEMATIKK: 10 Funksjoner der R ¼ rentebeløp K ¼ kapital (innskudd) p ¼ rentefot (prosent) d ¼ dager (tid) I våre oppgaver vil vi ikke få funksjoner av typen (3). Funksjonene våre vil være sammenhenger mellom to variabler. De to variablene kaller vi for fri variabel og avhengig variabel. I funksjonen (1) er lønnen den avhengige variable, i (2) er arealet den avhengige variable, osv Lineære funksjoner f ðþ ¼a þ b Likningen for en rett linje er y ¼ a þ b. Hvis vi kjenner konstantene a og b, kan vi finne verdier for y ved å sette inn ulike verdier av. Dette betyr at y er en funksjon av, og vi kan skrive y ¼ f ðþ og f ðþ ¼a þ b Funksjonssymboler, som f ðþ, gðþ og KðÞ, er en hensiktsmessig måte å skrive funksjonene på. Bruk av symboler er en grei måte å skille grafene fra hverandre på. Dessuten indikerer symbolene ofte hva slags funksjoner vi har med å gjøre. Eksempelvis bruker vi K for kostnader og for antall produserte enheter. KðÞ uttrykker da at produksjonskostnadene avhenger av hvor mange enheter som blir produsert. Likning (1) kan også skrives som y ¼ LðtÞ ¼ 70 eller y ¼ LðtÞ ¼ 70 ðy: lønn, : timerþ Grafisk er Maries «lønnsoppgave» en rett linje. Funksjonen kaller vi for en lineær funksjon. Lønn, y (kroner) timer, Vi kan tegne samme graf med timer, t, langs førsteaksen og lønn på andreaksen 143

3 y ¼ LðtÞ Stigningstallet for den rette linjen er 70. Det betyr at hvis vi øker med 1, så øker y med 70 (se tabellen). I praksis uttrykker stigningstallet her timelønnen (øker vi timetallet med 1, øker lønnen med kr 70). En lineær funksjon er grafisk en rett linje der stigningstallet til linjen/funksjonen har en praktisk betydning hvis linjen uttrykker et praktisk problem. Oppgave 1 Odd betaler et fast abonnement til Telenor på kr 700 per kvartal (tre måneder). I tillegg betaler han kr 0,20 per minutt for samtaler. Regn ut hva kostnaden blir for et kvartal når Odd bruker 1200 minutter på samtaler. Sett opp et uttrykk for den kvartalsvise kostnaden når han ringer minutter. Løsningsforslag Kostnaden blir kr 700 þ kr 0, ¼ kr 940 Vi kaller kostnaden for K eller y, og antall minutter for : KðÞ ¼700 þ 0,20 ðkðþ ¼700 þ 0,20Þ KðÞ ¼0,20 þ 700 eller y ¼ 0,20 þ 700 Vi har skrevet uttrykket (funksjonen) på formen y ¼ f ðþ ¼a þ b. Kostnader, y (kroner) minutter, 144

4 MATEMATIKK: 10 Funksjoner Stigningstallet til denne lineære funksjonen er 0,20, dvs. det samme som samtalekostnadene (variabelen) per minutt. Vi ser også at vi starter på kr 700 på y-aksen. Odd må betale kr 700 per kvartal selv om han ikke bruker telefonen Brøkfunksjoner f ðþ ¼ a þ b, 6¼ 0 Hyperbler Vi går tilbake til oppgave 1 og «bearbeider» denne videre. La oss finne de gjennomsnittlige kostnadene per minutt når Odd ringer 100 min, 500 min, 1000 min og 1400 min. Gjennomsnittskostnadene for 0, þ min: ¼ 7, min: 1000 min: 0, þ , þ ¼ 1,60 ¼ 0,90 0, þ min: ¼ 0, Alle svarene er i kroner. Dette kunne vi ha regnet ut på en enklere måte. Hvis vi tenker praktisk, vil vi ta den faste kostnaden og dele på antall minutter, og så legge til kr 0,20. Når Odd ringer 100 min, vil den faste kostnaden per minutt bli kr 700 : 100 ¼ kr 7,00. Med kr 0,20 i samtaleutgift for hvert minutt vil «minuttprisen» bli kr 7,20. Vi kan altså sette opp kr min: þ kr 0,20 ¼ kr 7, kr min: þ kr 0,20 ¼ kr 1, Ut fra eksemplet ovenfor kan vi finne et uttrykk for gjennomsnittskostnadene når Odd ringer minutter: GðÞ ¼ þ 0,20 y ¼ þ 0,20 der G står for gjennomsnittskostnaden (y ¼ GðÞ). 145

5 Som vi ser av eksemplet, vil kostnadene per minutt bli lavere jo flere minutter Odd ringer, fordi de faste kostnadene per minutt blir lavere. Men det er viktig å få med seg at de totale kostnadene øker når antall samtaleminutter øker. OBS! Det har ingen mening å spørre om hva kostnadene per minutt er når man ikke ringer, dvs. når ¼ 0. GðÞ er ikke definert for ¼ 0, og dette skriver vi slik: GðÞ ¼ 700 þ 0,20 D G ¼h0;!i D G kalles for funksjonens definisjonsmengde. Da ikke kan være negativ eller null i dette tilfellet, sier vi at funksjonen er definert for alle verdier av som er større enn null. Funksjonsverdien kan ikke bli mindre enn kr 0,20, fordi dette er verdien funksjonen (kostnaden per minutt) nærmer seg når (antall minutter) blir svært stor. Mengden av alle funksjonsverdier kaller vi for verdimengden, V G, til funksjonen: V G ¼h0,20;!i I det praktiske eksemplet vil nok den øvre grensen være kr 700,20 som vil være regningen for 1 minutt. y y = 0,20 minutter, Denne typen graf kaller vi hyperbel. Vi ser at den faller bratt i begynnelsen og deretter flater ut. Grafen kommer aldri under den horisontale (vannrette) linjen y ¼ 0,20, fordi kostnadene per minutt aldri kan bli lavere enn kr 0,

6 MATEMATIKK: 10 Funksjoner 10.3 Andregradsfunksjoner f ðþ ¼a 2 þ b þ c Parabler Omkretsen av et rektangel er 40 m. Vi skal finne et uttrykk for arealet av rektanglet, og vise hvordan arealet varierer med lengden av sidene. Vi tegner et rektangel: y Vi vet at þ þ y þ y ¼ 40 2 þ 2y ¼ 40 2y ¼ 2 þ 40 y ¼ þ 20 Arealet av et rektangel er lengde bredde. Vi kaller arealet for A og får A ¼ y. Ovenfor har vi funnet ut at y ¼ þ 20 og vi setter inn ð þ 20Þ for y: A ¼ ð þ 20Þ ¼ 2 þ 20 Her ser vi at arealet avhenger av verdien for, dvs. A er en funksjon av og kan skrives Vi framstiller funksjonen grafisk: A ¼ AðÞ ¼ 2 þ

7 y ¼ A Av tabellen ovenfor ser det ut som om det er symmetri om ¼ 10, og at vi får det største arealet når ¼ 10. Samtidig ser vi at vi ikke har noe areal når er henholdsvis 0 og 20. Når ¼ 0 eller ¼ 20, vil lengden eller bredden i rektanglet være 0, og da har vi ikke noe rektangel. Dette betyr at definisjonsmengden til funksjonen er D A ¼h0, 20i Ut fra figuren ser vi også at det høyeste punktet ligger midt imellom nullpunktene ( ¼ 0og ¼ 20). Dette er en egenskap vi skal utnytte ved andregradsfunksjoner. Verdimengden til funksjonen er V A ¼h0, 100Š. La oss ta en ny andregradsfunksjon før vi strukturerer en mulig framgangsmåte: f ðþ ¼ D f ¼ R f ðþ Av tabellen ser vi at grafen er symmetrisk om ¼ 1, og at vi har det laveste punktet når ¼ 1. Nullpunktene (y ¼ 0) har vi når ¼ 1 og ¼ 3 (se tabellen), og det laveste punktet ligger midt imellom nullpunktene. Bunnpunktet har koordinatene ð1, 4Þ. Legg også merke til hvor grafen skjærer y-aksen. Verdimengden til funksjonen f er V f ¼½ 4,!i. y

8 MATEMATIKK: 10 Funksjoner Grafen til de to andregradsfunksjonene som vi har tegnet, kaller vi for parabler. Av de to grafene ser vi at den første vender den «hule» siden ned, og den andre vender den «hule» siden opp. Det som avgjør om parablene er «sure» eller «blide», er fortegnet foran 2. Hvis fortegnet er minus, er parabelen «sur», og hvis fortegnet er pluss, er parabelen «blid». La oss oppsummere: Generell andregradsfunksjon: y ¼ f ðþ ¼a 2 þ b þ c a < 0: parabelen er «sur» a > 0: parabelen er «blid» c: angir hvor parabelen skjærer y-aksen Funksjonens nullpunkter finnes ved f ðþ ¼0 dvs. a 2 þ b þ c ¼ 0: Symmetrilinjen finnes ved formelen ¼ b 2a b og minimalverdien eller maksimalverdien finnes ved å regne ut f 2a. Forslag til framgangsmåte (algoritme) Gitt funksjonen f ðþ ¼ 2 þ 2 D f ¼ R a) Dette er en «blid» parabel (þ foran 2 ). b) Parabelen skjærer y-aksen i 2. c) Nullpunktene: f ðþ ¼0 2 þ 2 ¼ 0 ¼ 1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 2Þ ¼ dþ Symmetrilinje: 1 ¼ 1 _ 2 ¼ 2 ¼ ¼ 1 2 ð¼ 0,5Þ p ffiffi 9 Fordi parabelen er «blid», har den en minimalverdi ¼

9 f ð 0,5Þ ¼ð 0,5Þ 2 þð 0,5Þ 2 ¼ 2,25 eller 2 þ 1 f 1 ¼ 1 2 ¼ Bunnpunktet er ð 0,5, 2,25Þ eller 1 2 ; 9 4. Du kan bruke desimalbrøk eller vanlig brøk. Men en «tommelfingerregel» kan være at vi bruker vanlig brøk nårbrøkene ikke går opp ved omgjøring. Har vi uekte brøker 9 4, kan vi selvfølgelig skrive disse som blandede tall Verdimengden V f ¼½ 2,25;!i y Når vi skal tegne denne parabelen, markerer vi først symmetrilinjen (stipler en vertikal linje gjennom ð 0,5Þ på -aksen) og avsetter y-verdien på 2,25 på denne linjen. Deretter markerer vi hvor grafen skjærer både - og y-aksen. Trenger vi flere punkter, finner vi disse på «tabellmenyen» på lommeregneren. For å få en fin graf er det lurt å ha flest punkter der hvor grafen krummer mest Polynomfunksjoner Lineære funksjoner og parabelfunksjoner er eksempler på det vi kaller polynomfunksjoner. Poly betyr «flere», og vi kan si at et polynom er et «flerleddet» uttrykk. 150

10 MATEMATIKK: 10 Funksjoner Vi vil også måtte kunne behandle funksjoner som f ðþ ¼a 3 þ b 2 þ c þ d gðþ ¼a 4 þ b 3 þ c 2 þ d þ e osv: For å løse problemer knyttet til polynomer av høyere grad enn 2, vil vi som regel bruke lommeregneren. Eksempel 1 Gitt funksjonen f ðþ ¼ 3 þ D f ¼ R Bruk lommeregneren til å finne funksjonens nullpunkter og ekstremalpunkter (topp-/bunnpunkter). Løsningsforslag Vi tegner grafen til funksjonen f både i arbeidsboken og på lommeregneren (GRAPH-meny). y Å finne nullpunkter er det samme som å løse likningen f ðþ ¼0. På lommeregneren gjør vi dette ved å ta SHIFT F5 (G-SOLV), F1(ROOT). Vinduet viser ¼ 2 (og y ¼ 0). y er alltid null i nullpunktene! For å finne flere nullpunkter bruker vi høyre pil (") på«pilhjulet». 151

11 Vinduet viser nå ¼ 1 (og y ¼ 0). Trykker vi piltasten (") en gang til, vil vinduet vise det samme. Nullpunktene er altså f 2, 1g eller på koordinatform: ð 2, 0Þ og ð1, 0Þ. Ekstremalpunktene finner vi ved å bruke MAX og MIN på G-SOLV. Toppunktet blir ð 2, 0Þ og bunnpunktet blir ð0, 4Þ. For øvrig er disse ekstremalpunktene relative fordi vi har punkter på grafen som ligger høyere enn toppunktet, og punkter som ligger lavere enn bunnpunktet. Dette betyr at verdimengden V f ¼ R. Eksempel 2 Finn nullpunkter og ekstremalpunkter (topp-/bunnpunkter) til funksjonen. Bestem verdimengden. hðtþ ¼t 4 3t 3 þ 5t 2 D h ¼½ 2, 3Š Løsningsforslag Det er viktig å merke seg at dette er en avgrenset funksjon. Vi tegner grafen til funksjonen h på lommeregneren. Vinduet vil se slik ut: y Ved å bruke G-SOLV og F1 (ROOT) finner vi nullpunktene, og disse er ð 1,25, 0Þ, ð0,45, 0Þ, ð1,80, 0Þ og ð2, 0Þ. Vi har altså fått fire nullpunk- 152

12 MATEMATIKK: 10 Funksjoner ter. Poenget er at vi trykker ned piltasten " (på pilhjulet) så mange ganger at det som står i vinduet ikke forandrer seg. Bunnpunktene finner vi ved F3 (MIN) på G-SOLV, og disse er ð 0,66, 4,25Þ og ð1,91, 0,05Þ. Toppunktene, F2, gir ð1, 1Þ. Vifår fram ett toppunkt ved å bruke G- SOLV. Vi må også regne ut funksjonsverdien i randpunktene, dvs. hð 2Þ og hð3þ. hð 2Þ ¼28 og hð3þ ¼13. Vi ser da at det absolutte (globale) toppunktet er punktet ð 2, 28Þ, mens ð3, 13Þ og ð1, 1Þ er relative (lokale) toppunkter. Bunnpunktet ð 0,66, 4,25Þ er absolutt (globalt). Verdimengden er samlingen av y-verdiene som strekker seg fra det absolutte bunnpunktet til det absolutte toppunktet. Verdimengden V f ¼½ 4,25, 28Š Potensfunksjoner f ðþ ¼a b I de forrige avsnittene hadde vi funksjoner der den ukjente var opphøyd i første, andre og tredje potens, og vi så at verdien på den ukjente kunne være både positiv og negativ. I det «praktiske liv» kan vi operere med funksjoner som opphøyer den ukjente i hvilket som helst positivt tall, og der verdien på den ukjente er positiv. Funksjoner som skrives på formen f ðþ ¼a b der > 0ogb > 0, kaller vi potensfunksjoner. De enkleste potensfunksjonene er Hvis b ¼ 1, har vi en hyperbel: y ¼ ; y ¼ 2 ; y ¼ 3 ; osv. y ¼ a 1 ¼ a Eksempel 3 De variable kostnadene (i kroner) i en bedrift følger funksjonen f ðþ ¼1000 0;5 for produksjonsmengder fra og med 0 enheter til og med 2500 enheter. a) Framstill grafen i et diagram. 153

13 b) Hvor mange enheter må produseres for at de variable kostnadene skal utgjøre kr ? c) Hva er verdimengden? Løsningsforslag Begrensningen for funksjonen: D f ¼½0, 2500Š. Fra potensregningen vet vi at 0;5 p ¼ 1 2 ¼ ffiffi. Dette betyr at vi kan skrive funksjonen som p f ðþ ¼1000 ffiffi D f ¼½0, 2500Š a) Vi bruker «table»-menyen og får følgende tabell: f ðþ b) Her setter vi f ðþ lik : pffiffi 1000 ¼ Vi dividerer med 1000: pffiffi ¼ 25 pffiffi Vi vet at ð Þ 2 ¼ð 1 2Þ 2 ¼ 1 ¼. For å finne kan vi kvadrere på begge sider: pffiffi ð Þ 2 ¼ 25 2 ¼ 625 De variable kostnadene vil utgjøre kr når produksjonen er på 625 enheter. 154

14 MATEMATIKK: 10 Funksjoner pffiffi Alternativ måte å løse likningen ¼ 25 på: 0;5 ¼ 25 0;5p ffiffiffiffiffiffiffi 0;5 ¼ 0;5p ffiffiffiffiffi 25 ¼ 625 (På lommeregneren slår vi inn 0,5 c) Verdimengden V f ¼½0, Š j Vi tar 0,5. roten på begge sider: p ffiffiffiffiffi 25.) Eksempel 4 Vi får i oppgave å lage en potensfunksjon som er best tilpasset punktene gitt i tabellen: f ðþ 13,9 48,3 100,2 229,0 348,8 Regresjon Vi bruker her CASIO CFX 9950GB PLUS ved forklaringen nedenfor. Når vi skal finne den beste tilpasningen til en del punkter, kaller vi dette for regresjon. I vårt tilfelle kan vi kalle det for potensregresjon eller «power regression» (PWR) på engelsk. Løsningsforslag På lommeregneren bruker vi «STAT-meny» og setter inn henholdsvis - og y-verdiene på List1 og List2. Vi trykker F1 (GRPH) og F1 (GPH1). Vi ser i vinduet at punktene er plottet inn i et aksesystem. For å få en potensfunksjon må vi trykke F6 og F3 (PWR). Vinduet (displayet) viser a ¼ 1,0097 E 03 ða 0,001Þ b ¼ 1, ðb 1,80Þ y ¼ a b (Tallene for r viser hvor godt punktene er tilpasset grafen og har ingen betydning for våre oppgaver.) Funksjonen blir da y ¼ f ðþ ¼0,001 1;80 D f ¼h0,!i Skrivemåten h0,!i betyr alle verdier av fra 0 og høyere, i dette tilfellet fra 0 til «uendelig». Hvis vi har å gjøre med en praktisk oppgave, vil det som regel være en øvre begrensning. Vi tegner grafen ved å trykke F6 (DRAW). 155

15 10.6 Eksponentialfunksjoner f ðþ ¼k a En eksponentialfunksjon er av typen f ðþ ¼a der a > 0 (k og a er konstanter) I denne type funksjoner er variabelen en eksponent med et kjent grunntall (en potens). Hvis Harald setter inn kr 1000 i banken til 4 % rente p.a. og vi skal finne ut hvor mye som står påkontoen etter år, har vi en eksponentialfunksjon. Vekstfaktoren er 1 þ 4 ¼ 1, og antall år er. Kapitalen f ðþ etter år kan skrives f ðþ ¼1000 1,04 Grafisk framstilling av funksjonen: y, kapital , år år f ðþ kr , , , , ,10 I dette tilfellet er a ¼ 1,04, altså a > 1, og grafen stiger «sakte» i begynnelsen. Etter hvert stiger den raskere og raskere og nærmer seg en loddrett (vertikal) stigning. Vi ser også at det tar nesten 18 år før innskuddet har vokst til det dobbelte. For å finne nøyaktig hvor lang tid det tar før kapitalen er fordoblet, kan vi løse denne likningen: 156

16 MATEMATIKK: 10 Funksjoner ,04 ¼ ,04 ¼ 2 j Log på begge sider log 1,04 ¼ log 2 ¼ log 2 log 1,04 ¼ 17,7 Det tar nesten 18 åråfordoble innskuddet. Folketallet i en kommune sank med 2 % per år i en tiårsperiode. Før nedgangen var folketallet Ut fra dette skal vi finne et matematisk uttrykk som viser utviklingen i denne tiårsperioden. Vekstfaktor: 1 2 ¼ 0, Antall år: t Folketall: F Folketall: F ¼ FðtÞ ¼ ,98 t t 2½0, 10Š OBS! Det er naturlig å bruke t som variabelen her, fordi det er snakk om tid (vi slår inn på lommeregneren). Verditabell: t år FðtÞ Folketall, F t, i år Denne grafen er avtakende. Den faller raskest i begynnelsen, og deretter flater den mer og mer ut. For denne funksjonen er 0 < a <

17 10.7 Proporsjonalitet Proporsjonale størrelser Hvis vi går tilbake til Maries lørdagsjobb, så fant vi ut at hennes bruttolønn ville avhenge av hvor mange timer hun arbeidet. Dess flere timer hun jobbet, dess høyere lønn ville hun få. Vi fant ut at det var en lineær sammenheng (rett linje) mellom lønn og antall timer. En annen måte å uttrykke dette på er å si at lønnen er proporsjonal med antall timer, og at proporsjonalitetsfaktoren er 70 (i gjeldende eksempel). Generelt kan vi sette opp likningen y ¼ k der k er proporsjonalitetsfaktoren. k kan ha hvilken som helst verdi, unntatt null. Størrelsen y avhenger av størrelsen. Den generelle sammenhengen kan vi også skrive slik: y ¼ k Hvis vi sammenlikner dette med den generelle formelen for en rett linje y ¼ a þ b, ser vi at k ¼ a og b ¼ 0. Dette betyr at y ¼ k er en rett linje som går gjennom origo (k ¼ k ). y I det økonomiske liv kan noen av kostnadene være proporsjonale (f.eks. råvarekostnadene), og inntekten kan være proporsjonal (ved fast pris). Hvis du går i butikken og handler epler til kr 17,90 per kg, vil utgiften avhenge av hvor mange kg du kjøper. Utgift y ¼ 17,90 (kg) Kg 0,790 1,318 1,714 1,989 2,398 2,547 Utgift y 14,14 23,59 30,68 35,60 42,92 45,51 158

18 MATEMATIKK: 10 Funksjoner Hvis vi tar utgiften og deler på mengden y ¼ 14,14 0,790 ¼ 23,59 45,51 ¼...¼ 1,318 2,537 ¼ 17,90 får vi at proporsjonalitetsfaktoren er 17,90, som er det samme som kiloprisen. Ved en grafisk framstilling ville vi ha fått en stigende rett linje der stigningstallet ville ha vært 17,90. Dette er den geometriske tolkningen av kiloprisen. Poteter kan kjøpes i poser på 2,5 kg, 5 kg, 10 kg og i løs vekt. Følgende opplysninger er gitt i en butikk: Vekt, kg 2, (løs vekt) Pris, kr 17,90 31,90 54,90 4,90 Vi ser av opplysningene i tabellen at det blir dyrere jo flere kg poteter vi kjøper. Men størrelsene er ikke proporsjonale. Dette kan vi finne ut ved å dele pris med antall kg: 17,90 2,5 ¼ 7,16, 31,90 ¼ 6,38, 5 54,90 10 ¼ 5,49 I løs vekt koster potetene kr 4,90 per kg. Dette betyr at sammenhengen ikke er proporsjonal, da vi ikke har en fast faktor. Omvendt proporsjonale størrelser Hvis to størrelser var proporsjonale, ville det si det samme som at når den ene størrelsen økte, så økte også den andre størrelsen med et gitt tall. Men fra dagliglivet kjenner vi også til det motsatte, dvs. at når én størrelse øker, så synker en annen størrelse. Hvis vi går tilbake til Odds telefonregning, vil vi kunne se at den faste utgiften per samtale ville bli lavere jo flere samtaler Odd ringte. Den totale faste utgiften var satt lik kr 700. Vi kan sette opp: Fast utgift per samtale antall samtaler ¼ kr 700 y ¼ 700 der y ¼ fast utgift per samtale, og er antall samtaler. Vi kan skrive likningen slik: y ¼

19 Vi kan sette opp en tabell: (ant. samt.) y 7,00 1,40 1,00 0,70 0,50 Tabellen bekrefter det som ble beskrevet ovenfor. Generelt kan vi sette opp y ¼ k eller y ¼ k k kan være et hvilket som helst tall, unntatt null. Her sier vi at og y er omvendt proporsjonale størrelser. Tegner vi grafen ut fra punktene i tabellen ovenfor, vil vi få en hyperbel Under andregradsfunksjoner (avsnitt 10.3) hadde vi et rektangel med omkrets 40 m med lengde og bredde y. Vi skulle finne ut hvordan arealet av rektanglet ville variere med lengden og bredden. Nå kan vi snu litt på problemstillingen og finne ut hvordan lengden og bredden av et rektangel vil variere når arealet er kjent. Areal 100 m 2 y Areal ¼ lengde bredde 100 ¼ y y ¼

20 MATEMATIKK: 10 Funksjoner Her har vi funnet et uttrykk for bredden, y. Vi lager en tabell: (lengde) y (bredde) ,5 2 1 Produktet av lengden og bredden er, som vi ser, 100. Det betyr at vi kan ha «uendelig» mange rektangler som har et areal på 100 m 2. Grafisk framstilling vil også her gi en hyperbel. Konklusjon y ¼ k y er proporsjonal med k ¼ y y ¼ k y er omvendt proporsjonal med k ¼ y NB! Merk forskjellene Datering av historiske funn Når arkeologene skal finne ut når en gjenstand ble lagt i jorden, benytter de ofte den såkalte C14-metoden. Både planter, dyr og mennesker tar opp i seg radioaktivt karbon ( 14 C) så lenge de er i live. Etter døden reduseres antall 14 C-atomer i et bestemt tempo, og det gjør det mulig å bestemme alderen på gjenstanden. Det er beregnet at antall 14 C-atomer halveres i løpet av ca år. For å gjøre dateringen mer nøyaktig kan resultatet av slike undersøkelser sammenholdes med for eksempel årringsanalyser når det gjelder trevirke på stedet. Når det gjelder aldersbestemmelse av bergarter, brukes den radioaktive kaliumisotopen 40 K. Her er halveringstiden 1,3 milliarder år. Det stabile sluttproduktet er argon ( 40 Ar). Vi kaller f ðþ for antall 14 C-atomer som er igjen etter år regnet i prosent. Funksjonsuttrykket kan da skrives slik: f ðþ ¼ Vi ser at funksjonen må skrives slik, for når ¼ 5730, er antallet 14 C- atomer (f ðþ) halvert: 5730 f ð5730þ ¼ ¼ ¼ Vi kan lage en tabell for noen verdier av (antall år): 161

21 f ðþ 0,976 0,886 0,834 0,785 0,616 0,250 0,125 Eksempel 5 Ved en arkeologisk utgraving ble det funnet en tresleiv der antallet 14 C- atomer var på 86,5 % av opprinnelig verdi. Hvor gammel var tresleiva? Løsningsforslag 86,5 % kan skrives som 0,865. Da kan vi sette opp følgende uttrykk: ¼ 0, ¼ 0,5 Dette er en eksponentiallikning, og slike likninger løser vi ved å bruke logaritmer: lg 0,865 ¼ ¼ 0,2092 j lg 0,5 ¼ 1198,716 Tresleiva er ca år gammel. Hvis vi sammenlikner svaret med tallene i tabellen ovenfor, ser vi at svaret er rimelig. Vi kan også løse problemet ved å bruke «GRAPH-meny» på lommeregneren. Vi slår inn Y 1 ¼ 0,5 Y 2 ¼ 0, Vi går inn på V-Window for å sette inn relevante og y-verdier: -min: 0 -ma: 5730 scale: 1000 y-min: 0 y-ma: 1 scale: 0,1 I displayet får vi en avtakende funksjon og en vannrett (horisontal) linje. G-solv og ISCT gir skjæringspunktet mellom grafene der ¼ 1198, og y ¼ 0,865: Funksjonen f ðþ i dette avsnittet er en eksponentialfunksjon der 0 < a < 1, jamnfør avsnitt