Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Transkript

1 Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker: Finn fellesnevner, legg deretter smmen tellerne. b + b cd = d b d + c bd = b + c bd Gnge brøker: Gnger tellerne med hverndre og nevnerne med hverndre. b c d = c bd c d = 1 c d = c 1 d = c d Dividere med brøk: Multipliserer i stedet med omvendt brøk. Kvdrtsetningene b : c d = b d c = d b c Første kvdrtsetning: ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 Andre kvdrtsetning: ( b) 2 = 2 2b + b 2 Tredje kvdrtsetning (konjugtsetningen): ( + b)( b) = 2 b 2 Fktorisering Et uttrykk er fktorisert dersom det bre består v ett ledd. Smmendrg kpittel 2 - Potenser og røtter Regneregler for potenser 0 = 1 m n = m+n ( b) n = n b n ( m ) n = m n 1

2 n = 1 n n = m n m ( ) n n = b Stndrdform b n ± 10 n der 1 < 10 og n er et helt tll. Positiv eksponent: hvor mnge plsser kommet er flyttet mot høyre. Negtiv eksponent: hvor mnge plsser kommet er flyttet mot venstre. Røtter n x = dersom n = x ( 2 x = x). Er n et prtll må n x være positivt. Smmendrg kpittel 3 - Grfer og funksjoner Rett linje y = x + b gir en rett linje. b sier hvor linjen skjærer ndreksen. = y x = y 2 y 2 x 2 x 1 En rett linje med stigningstll, som går gjennom punktet (x 1, y 1 ) hr likningen Funksjon y y 1 = (x x 1 ) (ettpunktsformelen) y er en funksjon v x hvis hver mulig verdi for x gir nøyktig én verdi for y. Nullpunkt x er et nullpunkt for f dersom f(x) = 0. Løse likningssett grfisk Ser hvor likningene skjærer hverndre, dvs hvor de er like. 2

3 Smmendrg kpittel 4 - Likninger og likningssystemer Regneregler b = c = b + c = d b = d b = d b = d b og b = d b når b 0 Produktregelen Dersom b = 0 så er = 0 eller b = 0. Andregrdsformelen Andregrdslikningen x 2 + bx + c = 0 hr løsningene Høyere grds likninger x = b ± b 2 4c, 0 2 Se om du kn fktorisere ut den ukjente Se om ligningen kn skrives om med en u slik den ligner ndregrdslikningen. Innsettingsmetoden Løs én v likningene for en v vriblene, sett den nye likningen inn i den ndre opprinnelige ligningen. Kn også løse likningssett der den ene likningen er ikke-lineær med denne fremgngsmåten Smmendrg kpittel 5 - Polynomer og ulikheter Ulikheter Løses på nesten smme måte som likninger Vi kn flytte ledd over på ndre siden v ulikhetstegnet hvis vi også skifter fortegn på det. x + 3 > 0 x > 3 Vi kn gnge og dele på tll som ikke er null på begge sider 3x > 9 x > 3 3

4 Hvis tllet er negtivt må vi snu ulikhetstegnet 3x > 9 x < 3 Ulikheter med brøk eller v grd 2 løses med fortegnslinje Nullpunktsetningen Polynomet P (x) hr fktoren (x x 0 ) hvis og bre hvis P (x 0 ) = 0. Fktorisering v ndregrdsuttrykk Dersom et ndregrdsuttrykk ikke hr nullpunkter kn det ikke fktoriseres i førstegrdsfktorer. Dersom ndregrdsuttrykket x 2 + bx + c hr nullpunktene x = x 1 og x = x 2 er x 2 + bx + c = (x x 1 )(x x 2 ) Dersom ndregrdsuttrykket x 2 + bx + c hr bre det ene nullpunktet x = x 1, er x 2 + bx + c = (x x 1 ) 2 Smmendrg kpittel 7 - Grenseverdier og Asymptoter Kontinuerlige funksjoner En funksjon er kontinuerlig hvis grfen er ei kontinuerlig kurve. Funksjonen er kontinuerlig for x = hvis Grenseverdier for polynomer lim f(x) = f() x Alle polynomfunksjoner er kontinuerlige og vi kn finne grenseverdier ved innsetting ( lim x 2 + 2x 1 ) = ( = 2 ) x 1 Grenseverdier for rsjonle uttrykk Dersom nevneren ikke blir null, finner vi grenseverdien ved insetting. Dersom teller og nevner blir null må vi forkorte. D må vi ofte først fktorisere. Dersom nevneren blir null uten t telleren blir null, finnes ikke grenseverdien. Utteykket nærmer seg ± 4

5 Grenseverdier når x + eller x Hvis P (x) og Q(x) er to polynomer og vi skl regne ut Må vi gnge med 1 x n P (x) lim Q(x). der n er grden til polynomet Q(x). = lim 2 x + 1 x x lim 2x 2 + x x 3 + 4x 2 = = = 0 1 = 0. lim 2x 2 + x x 3 x 3 x 3 + 4x2 x 3 x 3 Vertikl symptote Linj x = x 0 er en vertikl symptote for en funksjon f(x) hvis f(x) ± når x x 0 Vi finner en vertikl symptote for en brøk ved å sette nevneren lik null. og forsikre oss om t telleren ikke er null smtidig x2 1 hr vertikl (x+2) symptote for x = 2 siden x+2 = 0 x = 2. I telleren = og vi får en symptote. Horisontl symptote Linj y = er en horisontl symptote for f(x) hvis Skrå symptote lim f(x) = 2x 2 + 3x lim x 2 1 = lim 2x 2 x 2 x 2 + 3x x 2 x 2 1 x 2 = lim x 1 1 x 2 = = 2 Funksjonen f(x) = x + b + c dx + g hr skrå symptote x + b og vertikl symptote når dx + g = 0. Smmendrg kpittel 11 - Logritmer og eksponentilfunksjoner Den briggske logritmen Den briggske logritmen til, dvs lg, er det tllet vi må opphøye 10 i for å få. 5

6 10 lg = Den nturlige logritmen Den nturlige logritmen til x, ln x, er det tllet vi må opphøye e i for å få x. Regneregler for logritmer e ln = Disse regnereglene gjelder både for nturlige og briggske logritmer. log x = x log log( b) = log + log b log b Derivsjonsregler = log log b (ln x) = 1 x (ln u(x)) = u (x) u(x) (e x ) = e x (e u(x) ) = e u(x) u (x) Smmendrg kpittel 15 - Ubestemte integrler Antiderivert F er den ntideriverte til f hvis F (x) = f(x) Dersom F (x) = f(x), er f(x)dx = F (x) + C! Legger til en C siden konstnten forsvinner ved derivsjon f(x) + b g(x)dx = F (x)b G(x) + C x r dx = 1 r + 1 xr+1 + C 1 dx = ln x + C x 6

7 1 dx = ln x + + C x + 1 e x dx = e x + C e kx dx = 1 k ex + C x dx = 1 ln x + C når 1 Smmendrg kpittel 16 - Bestemte integrler Antiderivert Hvis F er en ntiderivert til f er b f(x)dx = F (b) F () = [F (x)] b Arelet mellom en grf og x-ksen L A være relet v flten vgrenset v x-ksen, funksjonen f(x) og linjene x = og x = b. f(x) > 0 mellom og b: A = f(x) < 0 mellom og b: A = Arelet mellom to grfer b f(x)dx b f(x)dx Hvis relet A ligger mellom x =, x = b og f(x) og g(x), når f(x) g(x) mellom x = og x = b, er det A = b (f(x) g(x)) dx Smmendrg kpittel 6 - Trigonometri i grder Hypotenus v Hosliggende ktet Motstående ktet 7

8 motstående ktet sin v = hypotenus hosliggende ktet cos v = hypotenus motstående ktet tn v = hosliggende ktet Arelsetningen For enhver treknt der to sider, og b, og vinkelen v mellom de, er kjent, er relet Enhetssirkelen A = 1 b sin v 2 Punktet P hr koordintene (cos v, sin v) Hvis: sin v = sin(v + n 360 ) cos v = cos(v + n 360 ) Trigonometriske formler For lle vinkler u og v: sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v) sin(u v) = sin(u) cos(v) cos(u) sin(v) cos(u + v) = cos(u) cos(v) sin(u) sin(v) cos(u v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) 8

9 tn(u + v) = tn(u)+tn(v) 1 tn(u) tn(v) tn(u v) = tn(u) tn(v) 1+tn(u) tn(v) sin(2v) = 2 sin(v) cos(v) cos(2v) = cos 2 (v) sin 2 (v) tn(2v) = 2 tn(v) 1 tn 2 (v) cos 2 (v) + sin 2 (v) = 1 cos( v) = cos(v) sin( v) = sin(v) sin(90 v) = cos(v) cos(90 v) = sin(v) Det er ikke nødvendig å huske tbellen over ekskte trigonometriske verdier. Optimering Smmendrg kpittel 9 - Geometri Vi kn optimere rel, volum eller overflte ved å derivere og bruke en betingelse. Sinussetningen For en treknt med vinkler A, B og C og sidene,b og c gjelder det t sin A = sin B b = sin C c Ved å t det inverse v formelen over kn det også vises t Cosinussetningen sin A = b sin B = c sin C Hvis vi en treknt kjenner sidene b,c og den mellomliggende vinkelen v, er motstående siden til vinkelen v gitt ved 2 = b 2 + c 2 2bc cos v 9