Formelsamling i matematikk

Transkript

1 Formelsmling i mtemtikk Algebr Aritmetiske opersjoner (b + c) b + c + c b Potensregler Polynom b + c b b + c d + bc d bc b c d b d c d bc x y x+y x x / x y x y n x x /n 0 x n x n ( x ) y xy (b) x x y ( b ) x x b x x x b x b Et polynom v n te grd, er et uttrykk som kn skrives på formen: P (X) 0 + x + x + + n x n + n x n Her er { 0,,, n } er konstnter. Fktorisering v spesielle polynomer x y (x + y)(x y) x 3 + y 3 (x + y)(x xy + y ) x 3 y 3 (x y)(x + xy + y ) Binomilteorem (x + y) x + xy + y (x y) x xy + y (x + y) 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 (x y) 3 x 3 3x y + 3xy y 3 (x + y) n x n + nx n y + ( n + + k Fkultet n(n ) x n y ) x n k y k + + nxy n + y n n! n(n )(n ) 3 Annengrdslikning Likningen x + bx + c 0 hr løsning x b ± b 4c Kller vi disse løsningene x og x kn vi utføre fktorisernigen: x + bx + c (x x )(x x ) Binomilkoeffisitenten L n N. Dersom k N, hr vi: ( ) n k! k n!(k n!) Dersom k R, får vi: ( ) n k Pi-notsjon k (n i + ) i k! n(n (n ) (n k + ) k! k n 3 k k n

2 Ulikheter og bsoluttverdi Hvis < b og b < c, så er < c. Hvis < b, så er + c < b + c. Hvis < b og c > 0, så er c < bc. Hvis < b og c < 0, så er c > bc. Hvis > 0, så betyr ) x t x eller x. ) x < t < x <. 3) x > t x > eller x <. Komplekse tll i Et komplekst tll, x, vil h en reell del, R, og en kompleks del, b R: Mengdelære Tllmengder x + ib Dersom x Y, betyr det t tllet x kn være et tll fr tllmengden Y. Noen vnlige tllmengder: N: Alle nturlige tll: {,,3, }. Z: Alle heltll, både positive og negtive: {,-,-,0,,, }. Q: Alle rsjonle tll: tll som kn skrives som en brøk v heltll, f.eks. /3 I: Alle irrsjonle tll: tll som ikke kn skrives som en brøk v heltll, f.eks.. R: Alle rsjonle og irrsjonle tll, dvs. lle reelle tll. C: Alle komplekse/imginære tll. Listeform Ant t D er en tllmengde. Dersom D {, b}: består D v tllene og b. D {, b, c}: består D v tllene,b og c. D {,, 3, }: er dette bre en nnen måte å skrive D N. Symbolet er en mtemtisk måte å skrive osv. D {x R x < }: består D v lle reelle tll, x, gitt t x er mindre enn. Symbolet leses gitt t. I lle eksempler over sier vi t D er skrevet på listeform. Intervll Et intervll er en smmenhengende delmengde v den reelle tllinjen. Et intervll kn være enten åpent eller lukket, dvs. om endepunktene skl være med eller ikke: [, b]: lle tll fr og med, til og med b. (, b): lle tll fr til b, men ikke inkludert og b. (, b]: lle tll fr, men ikke inkludert,, til og med b. [, b): lle tll fr og med, til, men ikke inkludert, b. Omegn Et omegn om et punkt c R er et åpent intervll som inneholder c. Dersom vi hr et punktert omegn om c, vil dette være et omegn om c, men der tllet c ikke er inkludert. Delmengder og notsjon L C og D være to mengder. D gjelder følgende notsjon: x C: x er et element (f.eks. et tll) fr mengden C. x C: x er ikke et element fr mengden C. C D: C er en delmengde v D som er mindre eller lik D. C D: C er en delmengde v D som er mindre enn D. C D: Mengden som er en union v C og D, dvs. lle tll som hører til minst èn v de to mengdene. C D: Snittet v C og D, dvs. lle elementer som er både i C og D. C \ D: Alle elementer fr C unnttt de som også tilhører D. : Den tomme mengde. Inneholde ingen elementer.

3 Logiske slutninger Ant to utsgn/utrykk P og Q. D betyr: P Q: Impliksjon: P impliserer Q, dvs. hvis P er snn, så er også Q snn. P Q: Impliksjon: Q impliserer P, dvs. hvis Q er snn, så er også P snn. P Q: Ekvivlens: P impliserer Q og omvendt, dvs. hvis P er snn, så er også Q snn og omvendt. Geometri Geometriske formler Formler for rel A, omkrets C og volum V : Treknt A bh Avstnder og midtpunktsformler Avstnden mellom punktene (x, y ) og (x, y ) er gitt ved: d (x x ) + (y y ) Midtpunktet mellom (x, y ) og (x, y ) er gitt ved: Linjer ( x + x, y ) + y Stigningstllet til linjen som går gjennom punktene (x, y ) og (x, y ) er gitt ved: y y x x Linjen som går gjennom punktet (x, y ) og hr stigningstll,, kn beskrives ved likningen: Sirkel A πr C πr y y 0 (x x 0 ) Linjen med stigningstll, og om krysser y-ksen i punktet b, kn beskrives ved likningen: Sirkelsektor y x + b Kule Sylinder Kjegle A r θ s rθ (i rdiner) V 4 3 πr3 A 4πr V πr h V 3 πr h A πr r + h Sirkler En sirker med senter i (h, k) og rdius r kn beskrives ved likningen: Grensevedier Definisjon (x h) + (y k) r Funksjonen f(x) går mot grenseverdien L når x går mot dersom det for hvert tll ɛ > 0 finnes et tll δ > 0 som er slik t f(x) L < ɛ for lle x < δ. Vi skriver d dette på følgende form: lim f(x) L x

4 Ensidige grenser Dersom det for hvert ɛ > 0, finnes et intervll ) < x < δ slik t f(x) L < ɛ for lle x i dette intervllet, sier vi t f(x) går mot L når x nærmer seg fr høyre. Vi skriver: lim f(x) L x + ) δ < x < slik t f(x) L < ɛ for lle x i dette intervllet, sier vi t f(x) går mot L når x nærmer seg fr venstre. Vi skriver: lim f(x) L x Grenseverdi og enside grenser lim x f(x) L hvis og bre hvis både lim x + f(x) L og lim x f(x) L. Regneregler for grenseverdier Ant t c er en konstnt og t grensene lim x f(x) og lim x g(x) eksisterer. D gjelder: ) lim x [f(x) ± g(x)] lim x f(x) ± lim x g(x) ) lim x [cf(x)] c lim x f(x) 3) lim x [f(x)g(x)] lim x f(x) lim x g(x) f(x) lim 4) lim x g(x) lim x f(x) x l Hospitls regel Ant t enten g(x) hvis lim x g(x) 0 Diverse om funksjoner Funksjon En funksjon f er en regel som for hvert element x i en delmengde D f tildeler nøyktig ett element, som vi kller f(x), i en delmengde V f. Vi kller D f og V f henholdsvis funksjonens definisjonsmengde og verdimengde. Kontinuerlig funksjon Funksjonen f(x) er kontinuerlig i c dersom En-til-en-funksjoner lim f(x) f(c) x c En funksjon er en-til-en dersom den ldri gir smme verdi to gnger, ltså Inverse funksjoner f(x ) f(x ) når x x L f være en en-til-en funksjon med definisjonsmengde A og verdimengde B. D vil dens inverse funksjon f h definisjonsmengde B og verdimengde A, og er definert slik t: for lle y i B. f (y) x f(x) y Symmetri: f(x) og f (x) vil være symmetriske om linjen y x. eller lim f(x) 0 og lim g(x) 0 x x Vendepunkt Et vendepunkt er hvor en funksjon går fr å være konkv til å bli konveks eller omvendt. D gjelder lim f(x) ± og lim g(x) ± x x f(x) lim x g(x) lim f (x) x g (x) Horisontl symptote Linjen y A er en horisontl symptote for funksjonen f(x) dersom enten lim f(x) A eller lim x f(x) A x

5 Vertikl symptote x er en vertikl symptote til funksjonen f(x) dersom enten Trigonometri Definisjon lim f(x) eller x x lim f(x) x x Skrå symptote Den rette linjen y x + b er en skrå symptote til funksjonen f(x) dersom enten eller lim f(x) (x + b) 0 x sin x c cos x b c tn x b lim f(x) (x + b) 0 x csc x c sec x c b cot x b Logritmer Utvidet definisjon Definisjon log (b) b Den nturlige og briggske logritme ln(x) log e (x) lg(x) log(x) log 0 (x) Regneregler (gjelder lle logritmer) ln(b) ln() + ln(b) ln( n ) n ln() ( ) ln ln() ln(b) log b (b) ln(b) ln() Grenseverdier lim x ex 0 lim ln x lim x 0 + Grfen til ln x og e x lim x ex ln x x Rdiner Ant R og θ er smme vinkel målt i helholdsvis rdiner og grder. Vi hr d R θ 80 π Fundmentle identiterer csc θ sin θ tn θ sin θ cos θ cot θ tn θ sec θ cos θ cot θ cos θ sin θ sin θ + cos θ + tn θ sec θ + cot θ csc θ sin( θ) sin θ tn( θ) tn θ cos( θ) cos θ sin ( π θ) cos θ cos ( π θ) sin θ tn ( π θ) cot θ

6 Sinus- og cosinussetningen For en vilkårlig treknt: her kommer figur... hr vi: og sin A sin B b sin C c Grfen til trigonometriske funksjoner b + c bc cos A b + c c cos B c + b b cos C Addisjons og subtrksjonsformler sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y sin(x y) sin x cos y cos x sin y cos(x + y) cos x cos y sin x sin y cos(x y) cos x cos y + sin x sin y tn x + tn y tn(x + y) tn x tn y tn x tn y tn(x y) + tn x tn y Dobbelvinkel-formler sin x sin x cos x cos x cos x sin x cos x sin x tn x tn x tn x Hlvvinkel-formler sin cos x x cos + cos x x Trigonometriske funksjoner v viktige vinkler θ rdiner sin θ cos θ tn θ π/6 / 3/ 3/3 45 π/4 / / 60 π/3 3/ / 3 90 π/ 0 - Inverse trigonometriske funksjoner For π x π gjelder: sin x y rcsin y sin y x For 0 x π gjelder: cos x y rccos y cos y x For π x π gjelder: tn x y rctn y tn y x Rekker og følger Tllfølger En liste v tll i en bestemt rekkefølge: { n },, 3, 4, Konvergens og divergens v tllfølger Tllfølgen { n } konvergerer mot tllet L dersom det for hvert reellt tll ɛ > 0, finnes et korresponderende nturlig tll N slik t n L < ɛ for lle n N. Dersom dette ikke er tilfelle, sier vi t tllfølgen divergerer.

7 Endelig rekke k n k + k n Uendelig rekke n n Konvergens og divergens v rekker L S N N n n. Dersom følgen {S N } konvergerer og lim S N S, sier vi t rekken N n n konvergerer og hr sum S. Vi skriver d n n S. Dersom {S N } sier vi t rekken divergerer. Aritmetisk rekke ( + (n )d) + ( + d) + ( + d) +... n N te delsum: N ( + (n )d) n Geometrisk rekke N( + (N )d) N( + N) r n + r + r +... n r når < r <. Rekken divergerer for ndre verdier v r. N te delsum v rekken: N n r n + r + r N rn r Tylorrekker Tylorrekken til funksjonen f(x) rundt x er gitt ved: f(x) f() + f ()! Mclurinrekker f n (0) (x ) n n! (x ) + f () (x ) +! Et spesiltilfelle v Tylorrekker med 0: f(x) f(0) + f (0) x + f (0) x +!! f n (0) x n n! Noen Mclurinrekker x x n + x + x + x 3 + e x x n n! + x! + x! + x3 3! + sin x ( ) n xn+ (n + )! x x3 3! + x5 5! x7 7! + cos x ( ) n xn (n)! x! + x4 4! x6 6! + tn x ( ) n xn+ n + x x3 3 + x5 5 x7 7 + ln( + x) ( + x) k ( ) n ( ) k n n xn n x x + x3 3 x4 4 + x n + kx + + Lineærpproksimsjonen Når x er i nærheten v x 0 vil k(k ) x! k(k )(k ) x 3 + 3! f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )

8 Derivsjon Definisjon f (x) df dx lim f(x + h) f(x) h 0 h Produktregelen Kvotientregelen Kjerneregelen (f g) f g + f g ( ) f f g f g g g Ant u u(x). D gjelder: d df f(u) dx du du dx Absoluttverdien v en funksjon Ant en funksjon u u(x). D gjelder: så lenge u 0. Regneregler d u dx u u du dx d ( ) f(x) ± g(x) f (x) ± g (x) dx f(x) dx f(x) dx Noen funksjoner og dens derivert f(x) f (x) f(x) f (x) x n nx n sin x cos x ln(x) /x cos x sin x e x e x tn x / cos x rcsin x x Høyere ordens deriverte rctn x Ant funksjonen f(x). Dersom f (x) < 0, så er f(x) konkv. f (x) > 0, så er f(x) konveks. + x Prtiell derivsjon L f(x, y) være en deriverbr funksjon v to vrible. Vi hr d: Notsjon: f x lim h 0 f y lim h 0 Cliruts teorem Andrederiverttesten f(x + h, y) f(x, y) h f(x, y + h) f(x, y) h f x f x z x z x f x f xx f xy f yx Ant funksjonen f(x) og l x c være et punkt slik t f (c) 0. Dersom f (c) < 0, så er f(c) et loklt mksimum. f (c) > 0, så er f(c) et loklt minimum. f (c) 0, så får vi ingen konklusjon fr ndrederiverttesten. Andrederiverttesten for funksjon v to vrible Ant funksjonen f(x, y) er kontinuerlig i et området rundt (, b) og nt t dette punktet er et kritisk punkt, ltså t f x (, b) f y (, b) 0. L D f xx (, b)f yy (, b) [f xy (, b)] ) Hvis D > 0 og f xx (.b) > 0, så er f(, b) et loklt minimum. b) Hvis D > 0 og f xx (.b) < 0, så er f(, b) et loklt mksimum. c) Hvis D < 0 og, så er f(, b) et sdelpunkt.

9 Integrsjon Antideriverte En funksjon F (x) er en ntiderivert for f(x) dersom df dx f(x) Noen funksjoner og dens ntiderivert f(x) F (x) f(x) F (x) x n n + xn+ sin x cos x e x e x / cos x tn x /x ln x x rcsin x Anlysens fundmentlteorem Ant f er en kontinuerlig funksjon på intervllet [, b].. Dersom g(x) x f(t) dt, så er g (x) f(x).. Dersom F er en ntiderivert for f, dvs. F f, så er b Uegentlig integrl b f(x) dx F (b) F (). f(x) dx lim t F (t) F () f(x) dx F (b) lim t F (t) ln x cos x x ln x x sin x Ubestemt integrl + x rctn x Ant F (x) er en ntiderivert til f(x). D gjelder: Regneregler k f(x) dx k f(x) dx (f(x) ± g(x))dx f(x) dx ± g(x) dx hvor C er en konstnt. Bestemt integrl f(x) dx F (x) + C Det bestemte integrlet er definert som grenseverdien til en Riemnnsum på intervllet [, b]. lim n n f(x i ) x i Bestemt integrl og rel b f(x) dx L A være relet mellom f(x) og x-ksen fr x til x b.. Dersom f(x) 0 på intervllet, så gjelder b f(x) dx A. Dersom f(x) 0 på intervllet, så gjelder b f(x) dx A Delvis integrsjon Substitusjon b u v dx u v u (x)f(u(x)) dx Differensillikninger u(b) u() Første ordens linære likninger Ant en funksjon y(t). Likningen dy dt + P (t)y Q(t) u v dx f(u) du kn d løss ved å først regne ut den integrerende fktoren ρ(t) e P (t)dt. Likningen kn d løses ved å løse følgende likning med hensyn på y(t): ρ(t) y(t) Q(t)ρ(t)dt

10 Seprble differensillikninger En differensillikning er seprbel hvis den kn skrives på formen: dy dt f(t)g(y) Likningen løses ved sepersjon: g(y) dy f(t) dt Andre ordens homogene likninger Ant en funksjon y(t). Likningen y +by +c 0 kn løses ved å først løse den krkteristiske likningen: r + br + c 0. Løsningen v differensillikningen er d: ) y(t) Ae r t + Be r t, dersom r hr to reelle røtter, r og r : ) y(t) Ae rt + Bte rt, dersom r hr èn reell rot, r. 3) y(t) Ae ut cos(vt)+be ut sin(vt), dersom r hr komplekse røtter, r u ± iv. Fysikk SI-enhetene Størrelse Enhet Enhetsnvn Lengde m meter Msse kg kilogrm Tid s sekund Elektrisk strøm A mpere Tempertur K kelvin Stoffmengde mol mol Lysstyrke cd cndel Andre enheter Størrelse Enhet Enhetsnvn Krft N kg m/s Newton Energi J Nm Joule Arbeid J Joule Vrme J Joule Effekt W J/s Wtt Ldning C As Coulomb Spenning V J/C Volt Resistns Ω V/A Omh Rdioktivitet Bq Bequerel Frekvens Hz Hertz SI-prefikser Nvn Symbol Verdi piko p 0 nno n 0 9 mikro µ 0 6 milli m 0 3 centi c 0 deci d 0 dec d 0 hekto h 0 kilo k 0 3 meg M 0 6 gig G 0 9 ter T 0 Stndrdform Et tll, x, er skrevet på stndrdform hvis det er skrevet som: x 0 b hvor [0, 0) og b R. Rettlinjet bevegelse Smmenheng mellom kselersjon, hstighet v og posisjon s: Newtons. lov v ds dt dv dt Summen v kreftene på et legeme er lik legemets msse multiplisert med legemets kselersjon. F m Loven kn også uttrykkes iform v endring v bevegelsesmengde, p mv, hvor v er legemets hstighet: Krft og rbeid F dp dt Dersom et legeme blir påvirket v en krft F (s) over en strekning s til s b, blir det utført et rbeid W gitt ved:

11 W b F (s)ds