I = (xy + z 2 ) dv. = z 2 dv. 1 1 x 1 x y z 2 dz dy dx,

Transkript

1 TMA5 Mtemtikk Vår 7 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 8 Alle oppgvenummer referer til 8 utgve v Adms & Essex Clculus: A Complete Course 57: Vi hr t xy dv, siden integrnden er odde og integrsjonsområdet er symmetrisk om origo Det følger t I xy + z dv z dv x x y z dz dy dx, der fktoren kommer fr t vi utnytter symmetrien til å kun integrere over den delen v integrsjonsområdet som ligger i første kvdrnt Grensene er funnet ved å først se på området x kn vriere over, deretter hvilket område y kn vriere over når x er fiksert, og til slutt hvilket område z kn vriere over når x og y er fikserte I x x dx x y 3 dy dx [ x y ] x dx 55: Vi skl evluere integrlet I T x dv, hvor T er tetrederet vgrenset v plnene x, y, z, og x + y + z Vi kn skrive T om til x, x y, og x y z Merk t området er 7 mrs 7 Side v 5

2 symmetrisk i x, y, z, så ndre vlg er også gyldige Dette gir I 8 x x x x x y x dz dy dx x [z] x y dy dx xx + y dy dx [ xy + y y ] dx x x x + x dx x 3 dx 67: Me skl finn volumet V v området S som ligg i første oktnt, mellom pln y og y x og inni ellipsoiden x + y + z Her kn me godt nt, b, c > sidn b c det er kvdrt v desse som inngår, og dermed vil svret ver uvhengig v forteikn deir Me følgjer først hintet i oppgåv og brukr vribelskiftet i Exmple side 8, x u, y bv, z cw og dermed er dv bc du dv dw I det nye koordintsystemet hr ellipsen blitt ei sfære med rdius, u + v + w, medn pln er gitt v v og v b u Lt oss kll området i dei nye koordint for T Ved å skisser korleis T ser ut i uv-plnet ser ein t vinkelen mellom pln er gitt ved θ rctn b Om ein no skiftr til kulekoordint u cos θ sin φ, etc ser ein t området vårt kn skrivst som, φ π og θ rctn b Dermed vert volumet v S rctn/b π/ V dv bc du dv dw bc sin φ d dφ dθ S T [ ] 3 bc [θ] rctn/b [ cos φ] π/ 3 bc 3 rctn b Alterntivt til å gjer to koordintskifte kunne me merk oss t T i uvw-koordint er eit vinkelsegment eller som eit kkestykke om du vil v øvre hlvdel v ei kule med rdius Volumet v hlvkul er π3 3 / π rctn/b 3 og vinkelsegmentet utgjer π v hlvkul Sklert med Jcobi-determinnten bc frå uvw-koordintskiftet finn ein då t volumet er V bc π 3 rctn/b π bc 3 rctn b, som ovnfor 6: Siden vi integrerer over en sylinder, lønner det seg å bruke sylinderkoordinter I sylinderkoordinter er integrsjonsområdet gitt ved r, z h, mens integrnden blir r + z Ved å bruke formelen for volumelement i sylinderkoordinter 7 mrs 7 Side v 5

3 dv r dr dθ dz, finner vi t integrlet er I h π π h r + z r dθ dz dr r + z r dz dr π hr + h3 r dr 3 h π + h3 3 65: Me skl evluer integrlet z dv der er gitt ved x + y z x y, ltså er området over prboloiden z x + y og under kuleflt gitt ved x + y + z Sidn er symmetrisk om z-ksen og høgd z er gitt eksplisitt i skildring v er det nturleg å bruk sylinderkkoordint her, sånn t er gitt ved r z r For å finn intgrsjonsgrensene for r må me finn når r r, og dette kn me sjå t er når r eventuelt løys eit nnngrdsuttrykk for r om du ikkje ser dette direkte Dermed hr me z dv π π r r π 3 z r dz dr dθ π r r r dr π 7π [ z [r r r6 6 ] r r ] r dr 66: Me skl finn S x dv g S z dv der S er gitt v den delen v hlvkul z x y som ligg i første oktnt Frå symmetrien i problemet vil desse to integrl h sme verdi dette er integrlet v vstnden frå origo til eit punkt lngs ein v ksne og det er det sme om ein vel x- eller z-ksen sidn S ikkje endrr seg om ein roterer koordintsystemet, så me ser berre på det siste sidn i kulekoordint er z cos φ litt enklre enn x sin θ sin φ dv π/ π/ π/ π 6 π/ dθ cos φ sin φ d dφ dθ sinφ dφ 3 d π [ ] π/ [ cosφ ] 73: Me skl finn mssen M til ein sfærisk plnet med rdius > som hr mssetettleik ρ A/B + for to positive konstntr A og B i vstnd frå sentrum For å gjer det enkelt for oss sjølv kn me då sei t plneten hr sentrum i origo Me 7 mrs 7 Side 3 v 5

4 finn mssen ved å integrer mssetettleiken over domenet som plneten utgjer, og i denne situsjonen er kulekoordint det nturlege vlet i og med t plneten er sfærisk og ρ berre vhenger v rdien M { } dv πa [ cos φ] π πa π π B [rctny] / B der me hr gjort substitusjonen y / B A B + sin φ d dφ dθ B + B B + d πa πa B rctn + / B d / B, 78: Vi finner først mssen, som per definisjon er tetthet integrert over volum M x + y + z dx dy dz dy dz dz y + z z Vi finner så M x, som v symmetri er lik M y og M z Følgelig er M x xx + y + z dx dy dz + y + z dx dy x, ȳ, z M M x, M y, M z 7, 7, 7 7: På grunn v symmetri må vi h x ȳ, slik t det bre gjenstår å beregne z Dette gjøres enklest ved å benytte sylinderkoordinter Vi finner først t V π π e x +y dx dy re r dr dθ re r dr 7 mrs 7 Side v 5

5 gir volumet til legemet Substitusjonen u r gir V π π Vi finner nå z V π e u du e x +y π e r, re r dr e u du hvor vi hr brukt substitusjonen u r z dz dx dy zr dz dr dθ 7 mrs 7 Side 5 v 5