Den deriverte og derivasjonsregler

Transkript

1 Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014

2 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1)

3 Sekant til en funksjon gjennom to punkter f(c+h) 15 f(x) 10 5 f(c) c c+h

4 Sekant til en funksjon gjennom to punkter f(c+h) 15 f(x) 10 5 f(c) c c+h stigninstallet: f (c + h) f (c) h

5 Sekant til en funksjon gjennom to punkter f(c+h) 15 f(x) 10 5 f(c) c c+h stigninstallet: f (c + h) f (c) h Send det røde punktet mot det blå punktet:

6 Sekant til en funksjon gjennom to punkter f(c+h) 15 f(x) 10 5 f(c) c c+h stigninstallet: f (c + h) f (c) h Send det røde punktet mot det blå punktet: h 0

7 Jo næermere blir det røde punktet til det blå punktet f(x) 10 f(x)

8 Jo næermere blir det røde punktet til det blå punktet f(x) 10 f(x) jo nærmere blir senkanten til tangenten.

9 ... nærmer seg tangenten i det blå punktet f(x) Stigninstallet til tangenten i det blå punktet c kan defineres ved bruk av en grense for det røde punktet som går mot det blå punktet og er f (c + h) f (c) lim h 0 h

10 Tangenten og normalen til f i punktet c f (c+h) f (c) Hvis grensen eksisterer og er lik m = lim h 0 h stigninstallet til tangenten. da m er

11 Tangenten og normalen til f i punktet c f (c+h) f (c) Hvis grensen eksisterer og er lik m = lim h 0 h da m er stigninstallet til tangenten. Normalen til f i punktet c er linja som er ortogonal til tangenten: f(c) c 5 0 5

12 Tangenten og normalen til f i punktet c f (c+h) f (c) Hvis grensen eksisterer og er lik m = lim h 0 h da m er stigninstallet til tangenten. Normalen til f i punktet c er linja som er ortogonal til tangenten: f(c) c stignningstallet til normalen= 1 m

13 Tangenten og normalen til f i punktet c f (c+h) f (c) Hvis grensen eksisterer og er lik m = lim h 0 h da m er stigninstallet til tangenten. Normalen til f i punktet c er linja som er ortogonal til tangenten: f(c) c stignningstallet til normalen= 1 m Eksempel 7 side 99. Eksempler 2 side 97, 3 og 4 side 98.

14 Den deriverte kap 2.2 Den deriverte av en funksjon f er en annen funksjon f som i punktet x er gitt av f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h for alle x der grensen eksisterer. Hvis f eksisterer sier man at f er deriverbar.

15 Den deriverte kap 2.2 Den deriverte av en funksjon f er en annen funksjon f som i punktet x er gitt av f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h for alle x der grensen eksisterer. Hvis f eksisterer sier man at f er deriverbar. Nå noen eksempler på tavla: eks. 1 side 102, eks. 3 side 103.

16 Hvis f er deriverbar i x da er f kontinuerlig i x Bevis: hvis f er deriverbar i x da eksisterer (endelig) da har vi f (x + h) f (x) lim = f (x) h 0 h f (x + h) f (x) lim (f (x + h) f (x)) = lim h = f (x) 0 = 0. h 0 h 0 h Dette er det samme som lim f (x + h) = f (x) h 0 som er det samme som å si at f er kontinuerlig i x.

17 Den deriverte er en lineær operasjon kap. 2.3 La f og g være to deriverbare funksjoner, da for hver par av reelle tall α og β d (α f (x) + β g(x)) = dx

18 Den deriverte er en lineær operasjon kap. 2.3 La f og g være to deriverbare funksjoner, da for hver par av reelle tall α og β d dx (α f (x) + β g(x)) = d = α dx f (x) + β d dx g(x).

19 Den deriverte er en lineær operasjon kap. 2.3 La f og g være to deriverbare funksjoner, da for hver par av reelle tall α og β d dx (α f (x) + β g(x)) = d = α dx f (x) + β d dx g(x). Example La f (x) = sin(x) + x 3 og g(x) = 3 sin(x), finn d dx f (x) + 1 d 3 dx g(x)

20 Den deriverte er en lineær operasjon kap. 2.3 La f og g være to deriverbare funksjoner, da for hver par av reelle tall α og β d dx (α f (x) + β g(x)) = d = α dx f (x) + β d dx g(x). Example La f (x) = sin(x) + x 3 og g(x) = 3 sin(x), finn d dx f (x) + 1 d 3 dx g(x) = = d dx x 3 = 3x 2

21 Den dreiverte av produktet av to funksjoner La f og g være to deriverbare funksjoner. d (f (x) g(x)) = dx

22 Den dreiverte av produktet av to funksjoner La f og g være to deriverbare funksjoner. d dx (f (x) g(x)) = = ( d dx f (x)) g(x) + f (x) ( d dx g(x)). Med bevis.

23 Den dreiverte av kvotienten av to funksjoner La f og g være to deriverbare funksjoner og g(x) 0 d dx ( f (x) g(x) ) =

24 Den dreiverte av kvotienten av to funksjoner La f og g være to deriverbare funksjoner og g(x) 0 d dx ( f (x) g(x) ) = = ( d dx f (x)) g(x) f (x) ( d dx g(x)) g(x) 2.

25 Kjærneregel kap 2.4 La g være en funksjon definert på et intervall av R med verdier i R og f definert på R. Vi ser på komposisjonen av g med f

26 Kjærneregel kap 2.4 La g være en funksjon definert på et intervall av R med verdier i R og f definert på R. Vi ser på komposisjonen av g med f (først anvend g, så anvend f ): det vil si (f g) (x) = f (g(x)) g = g(x), f = f (u), (f g) (x) = f (u) u=g(x). Kjærnereleg gir den deriverte av f g

27 Kjærneregel kap 2.4 La g være en funksjon definert på et intervall av R med verdier i R og f definert på R. Vi ser på komposisjonen av g med f (først anvend g, så anvend f ): det vil si (f g) (x) = f (g(x)) g = g(x), f = f (u), (f g) (x) = f (u) u=g(x). Kjærnereleg gir den deriverte av f g d (f g) (x) = dx = d du f (u) u=g(x) d dx g(x)

28 Kjærneregel kap 2.4 eksempel 2 side 117: d x dx

29 Kjærneregel kap 2.4 eksempel 2 side 117: d x dx eksempel 3 (b) side 117 d dt t2 1

30 Kjærneregel kap 2.4 eksempel 2 side 117: d x dx eksempel 3 (b) side 117 d dt t2 1 oppgave : finn den deriverte av funskjonen nedenfor ved bruk av den deriverte f d dx [f ( 2 3 x )]

31 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ.

32 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ. Spesielt er de kontinuerlige i 0 lim sin(θ) = sin(0) = 0, lim θ 0 cos(θ) = cos(0) = 1. θ 0

33 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ. Spesielt er de kontinuerlige i 0 lim sin(θ) = sin(0) = 0, lim θ 0 cos(θ) = cos(0) = 1. θ 0 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da sin(θ) lim = 1. θ 0 θ

34 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ. Spesielt er de kontinuerlige i 0 lim sin(θ) = sin(0) = 0, lim θ 0 cos(θ) = cos(0) = 1. θ 0 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da Eksempel 1 side 122: sin(θ) lim = 1. θ 0 θ cos(h) 1 lim = 0. h 0 h

35 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ. Spesielt er de kontinuerlige i 0 lim sin(θ) = sin(0) = 0, lim θ 0 cos(θ) = cos(0) = 1. θ 0 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da Eksempel 1 side 122: sin(θ) lim = 1. θ 0 θ cos(h) 1 lim = 0. h 0 h Ved bruk av disse grenser kan vi bevise (Teorem 9 og 10): d d sin(x) = cos(x), dx cos(x) = sin(x). dx

36 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da sin(θ) lim = 1. θ 0 θ

37 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til sektoren er: θ 2

38 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den røde trekant er sin(θ) 2

39 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den røde trekant er sin(θ) 2 mindre enn arealen til sektoren. < θ 2

40 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ =

41 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den grønne trekanten er sin(θ) 2 cos(θ)

42 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den grønne trekanten er sin(θ) 2 sin(θ) 2 cos(θ) < θ 2 < sin(θ) 2 cos(θ).

43 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den grønne trekanten er sin(θ) 2 sin(θ) 2 cos(θ) < θ 2 < sin(θ) 2 cos(θ). Her bruker man Squeeze Theorem for grenser og finner lim θ 0 + sin(θ) θ = 1.

44 Beviset til Teorem 8 fortsetter ved å bruke at sin(θ) θ = sin( θ) θ sin(θ) θ er en like funksjon (speilvendt med hensyn på y-aksen). Slik at man kommer ettervert fram til sin(θ) sin(θ) lim = lim = 1 θ 0 + θ θ 0 θ

45 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x),

46 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) =

47 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x))

48 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x)) = f (x).

49 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x)) = f (x). d dx (x 2 + 3x + 2) = 2x + 3,

50 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x)) = f (x). d dx (x 2 + 3x + 2) = 2x + 3, d 2 dx 2 (x 2 + 3x + 2) = d (2x + 3) = 2, dx

51 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x)) = f (x). d dx (x 2 + 3x + 2) = 2x + 3, d 2 dx 2 (x 2 + 3x + 2) = d 3 dx 3 (x 2 + 3x + 2) = d (2x + 3) = 2, dx d dx 2 = 0. Brukes til Taylor rekke og Taylor polynomer.

52 Posisjon, hasighet og akselerasjon kap 2.6 Betrakt en objekt som beveges seg langs x-aksen: x(t) v(t) = d dt x(t) posisjon er en funksjon av tid t hasighet (endring i posisjon) a(t) = d2 dt 2 x(t) = d dt v(t) Example akselerasjon (endring i hasighet) Rettlinjet bevegelse med konstant hasighet: a(t) = 0, v(t) = v 0, x(t) = v 0 t + x 0

53 Posisjon, hasighet og akselerasjon kap 2.6 Betrakt en objekt som beveges seg langs x-aksen: x(t) v(t) = d dt x(t) posisjon er en funksjon av tid t hasighet (endring i posisjon) a(t) = d2 dt 2 x(t) = d dt v(t) Example akselerasjon (endring i hasighet) Rettlinjet bevegelse med konstant hasighet: a(t) = 0, v(t) = v 0, x(t) = v 0 t + x 0 Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon: a(t) = a 0, v(t) = a 0 t + v 0, x(t) = 1 2 a 0 t 2 + v 0 t + x 0

54 Induksjon bevis Induksjon er en oppskrift for å bevise utsang som er sanne for alle naturlige tall n N. Oppskriften verifiser at utsangen er sann for n = 1; bevis at hvis utsangen er sann for n = k da må det være sann også for n = k + 1; konkluder at da er utsangen sann for alle n N.

55 Induksjon bevis Induksjon er en oppskrift for å bevise utsang som er sanne for alle naturlige tall n N. Oppskriften verifiser at utsangen er sann for n = 1; bevis at hvis utsangen er sann for n = k da må det være sann også for n = k + 1; konkluder at da er utsangen sann for alle n N. Example Bevis at n i = i=1 n (n + 1), n N. 2 En rigorøs forklaring om at indusksjonsbeviset stemmer, bruker Peanos aksiomene for de naturlige tall N. Peanos aksiomene definerer de aritmetiske egenskapene av de naturlige tall.

56 Oppgave Example Finn konstanter k og q slik at f (x) = { x 2 + kx + q, x < 0, sin(x), x 0, er kontinuerlig, deriverbar med kontinuerlig deriverte i x = 0. Kontinuitet: i x = 0 betyr at lim x 0 + f (x) = lim x 0 f (x), lim x 0 f (x) = lim sin(x) = sin(0) = x 0 lim f (x) = lim x 0 x 0 (x 2 + kx + q) = q, da for å oppnå kontinuitet må vi kreve at q = 0

57 Oppgave Example Finn konstanter k og q slik at f (x) = { x 2 + kx + q, x < 0, sin(x), x 0, er kontinuerlig, deriverbar med kontinuerlig deriverte i x = 0. Kontinuitet: q = 0. f (0+h) f (0) f (0+h) f (0) Deriverbarhet : i x = 0 betyr at lim h 0 + = lim h h 0, h f (0 + h) f (0) sin(0 + h) sin(0) sin(h) lim = lim = lim = 1 h 0 + h h 0 + h h 0 + h f (0 + h) f (0) h 2 + k h lim = lim = lim h 0 h h 0 h = k h 0 da for å oppnå deriverbarhet må vi kreve 1 = k. Kontinuitet av den deriverte: f 2x + 1, x < 0, (x) = { For kontinuitet da cos(x), x 0. må lim h 0 + f (x) = lim h 0 f (x), for oss dette betyr at 1 = lim h 0 + cos(x) = lim h 0 2x + 1 = 1 slik at f er kontinuerlig i x = 0.

58 Oppsumering av resultater fra oppgaven f (x) = { x 2 + x, x < 0, sin(x), x 0, f (x) = { 2x + 1, x < 0, cos(x), x f (x) blå, f (x) rød

59 Forelesning : kap 2.7 og 2.9 Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) Relativt endring, endring relativt til en storrelse, endringsrate. Kritiske punkter f (x 0 ) = 0. Implisitt derivasjon.

60 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). La f være deriverbar og y = f (x) hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten?

61 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). La f være deriverbar og y = f (x) hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten?

62 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). La f være deriverbar og y = f (x) hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten? Tangenten i x

63 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). Hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten? Vi vil se hvordan f (x) endrer seg mellom det blå punktet og det røde punktet.

64 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). Hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten? Vi vil se hvordan f (x) endrer seg mellom det blå punktet og det røde punktet. Og vi skal bruke den deriverte i den blå punktet (x).

65 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) Den virkelige endringen i y er y = f (x + x) f (x).

66 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) Den virkelige endringen i y er y = f (x + x) f (x)

67 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = f (x + x) f (x)

68 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = f (x + x) f (x) men siden x er liten og f f (x+h) f (x) (x) = lim h 0 h y = y x x da har vi at

69 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = f (x + x) f (x) men siden x er liten og f f (x+h) f (x) (x) = lim h 0 h y = y x x f (x) x. da har vi at

70 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) Approksimasjon av y = f (x + x) f (x) siden x er liten og f f (x+h) f (x) (x) = lim h 0 h y f (x) x. da har vi at

71 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = x y x y = x stignigstallet til sekanten

72 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = x y x y = x stignigstallet til sekanten y x stignigstallet til tangenten.

73 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). Oppgave 1 kap 2.7 Finn en tilnærmelse av hvor mye y = 1 x endrer seg når x vokser fra 2 til 2.01.

74 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). Oppgave 1 kap 2.7 Finn en tilnærmelse av hvor mye y = 1 x endrer seg når x vokser fra 2 til Svar: f (x) = 1 x, f (x) = 1 x 2 vi har x = (2.01 2) = 0.01 y = y x x f (x) x = 1 x = x=2 da 1 x = = x=2.01 2

75 Kap Den deriverte som endringsrate. Relativt endring endring relativt til en storrelse, prosent endring. Av sirka hvilken prosent vokser arealen til en sirkel hvis radius vokser 2%?

76 Kap Den deriverte som endringsrate. Relativt endring endring relativt til en storrelse, prosent endring. Av sirka hvilken prosent vokser arealen til en sirkel hvis radius vokser 2%? 4%. Snitt endriengsrate av f (x) på et intervall fra a til a + h er (eksempel snitthastighet) f (a + h) f (a) h (instantant) endringsrate av f med hensyn på x ved x = a er den deriverte: f (a + h) f (a) lim h 0 h (eksempel hastighet)

77 Kap Kritiske punkter. Hvis f (x 0 ) = 0 i x 0 da kaller vi x 0 et kritiskpunkt av f f(x) derivative of f(x) Maksimum og minimum punkter kan oppstå der hvor vi har de kritiske punkter.

78 Kap Kritiske punkter. Hvis vi ser bort fra endepunktene av et intervall og punktene der f (x) ikke er definert, er det nødvendig men ikke tilstrkkelig at f (x 0 ) = 0 for at f har en maksimum eller en minimum i x 0. f(x) derivative of f(x)

79 Kap Implisitt derivasjon. Vi er vant med at y = f (x),

80 Kap Implisitt derivasjon. Vi er vant med at y = f (x), men noen ganger er funksjonen gitt implisistt det vil si gjennom en ligning F (x, y) = 0,

81 Kap Implisitt derivasjon. Vi er vant med at y = f (x), men noen ganger er funksjonen gitt implisistt det vil si gjennom en ligning F (x, y) = 0, hvordan finner vi dy dx da?

82 Kap Implisitt derivasjon. Hvis y = y(x) er gitt implisitt ved ligningen F (x, y) = 0, Example y 2 = x x 2 + y 2 = 25 y sin(x) = x 3 + cos(y) hvordan finner vi dy dx da?

83 Kap Implisitt derivasjon. Eksempel 5, kap De er gitt konstantene a og b. Vis at kurvene x 2 y 2 = a, x y = b skjærer hverandre på rette vinkler.

84 Kap Implisitt derivasjon. Eksempel 5, kap De er gitt konstantene a og b. Vis at kurvene x 2 y 2 = a, x y = b skjærer hverandre på rette vinkler. Løsning: Vi må vise at i de punktene der kurvene skjærer hverandre er stigningtallet til den ene kurven lik minus 1 delt med stigningtallet til den andre kurven. Vi først finner stigningtallene ved hjelp av den deriverte (og implissitt derivasjon): derivasjon av første kurve 2x 2y dy dx = 0, dy dx = x y derivasjon av andre kurve y + x dy dx = 0 dy dx = y x

85 eksempel 5 fortsetter Hvis (x 0, y 0 ) er et skjæringspunkt, da har tangenten i et slik punkt for den første kurven stigningstallet dy dx x=x 0 = x 0 y 0 = m og tangenten til den andre kurven i samme punktet har stigningstallet dy dx = y 0 = 1 x=x 0 x 0 m. Det vil si at de to linjene er ortogonale med hverandre.

86 Forelesning , kap 2.8 og Sekantsetningen/middelverdisetningen 2 Voksende og avtagende funksjoner 3 Antideriverte (ubestemte integraler) 4 Differensialligninger Idag kan dere få hjelp til den første skrifliginnleveringen i R9 etter forelesning kl 16-17

87 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent).

88 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent) a b

89 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent). Stigningstallet til linje mellom (a, f (a)) og (b, f (b)) er f (b) f (a) b a a b

90 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent). Stigningstallet til linje mellom (a, f (a)) og (b, f (b)) er f (b) f (a) b a vi tegner copier av denne linje parallelt oppover i grafen for å se om vi finne en parallel linje som er tangent med grafen av f a b

91 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent). Stigningstallet til linje mellom (a, f (a)) og (b, f (b)) er f (b) f (a) b a vi tegner copier av denne linje parallelt oppover i grafen for å se om vi finne en parallel linje som er også tangent med grafen av f a b

92 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent). Da finnes det et punkt c (a, b) slik at f (b) f (a) b a = f (c) a c b

93 Teorem 12, kap Voksende og avtagende funksjoner. La J være et åpent intervall og la I være intervallet som innholde alle punkter i J samt ett eller begge endepunktene. La f være kontinuerlig på I og deriverbær på J da Hvis f (x) > 0 for alle x i J, da er f voksende i I. Hvis f (x) < 0 for alle x i J, da er f avtagende i I.

94 Teorem 12, kap Voksende og avtagende funksjoner. La J være et åpent intervall og la I være intervallet som innholde alle punkter i J samt ett eller begge endepunktene. La f være kontinuerlig på I og deriverbær på J da Hvis f (x) > 0 for alle x i J, da er f voksende i I. Hvis f (x) < 0 for alle x i J, da er f avtagende i I. Hvis f (x) 0 for alle x i J, da er f ikke avtagende i I. Hvis f (x) 0 for alle x i J, da er f ikke voksende i I. Bevis Ved bruk av middelverdisetning.

95 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I.

96 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I. Eksempler F (x) = x er antideriverte av f (x) = 1 (på et vilkårlig intervall av R)

97 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I. Eksempler F (x) = x er antideriverte av f (x) = 1 (på et vilkårlig intervall av R) G(x) = 1 2 x 2 er antideriverte av g(x) = x (på et vilkårlig intervall av R)

98 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I. Eksempler F (x) = x er antideriverte av f (x) = 1 (på et vilkårlig intervall av R) G(x) = 1 2 x 2 er antideriverte av g(x) = x (på et vilkårlig intervall av R) R(x) = cos(x) er den antideriverte av r(x) = sin(x) (på et vilkårlig intervall av R)

99 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I. Eksempler F (x) = x er antideriverte av f (x) = 1 (på et vilkårlig intervall av R) G(x) = 1 2 x 2 er antideriverte av g(x) = x (på et vilkårlig intervall av R) R(x) = cos(x) er den antideriverte av r(x) = sin(x) (på et vilkårlig intervall av R) F (x) = 1 x er antideriverte av f (x) = ln(x) på alle intervaller av R +.

100 Kap Ubestemte integraler. Det ubestemte integral av en funksjon f på et intervall I er f (x) dx = F (x) + C, på I, der F (x) = f (x), for alle x I. Ekesmpel 3 kap Finn f (x) som har som deriverte f (x) = 6x 2 1 for alle x reelle tall og slik at f (2) = 10.

101 Kap Differensialligninger, initialverdiproblem. En differensialligning er en ligning som innholder en eller flere deriverte av en ukjent funksjon. dy(x) dx = 3x 2 1

102 Kap Differensialligninger, initialverdiproblem. En differensialligning er en ligning som innholder en eller flere deriverte av en ukjent funksjon. dy(x) dx = 3x 2 1 Løsningen til differensialligningen er en hver funksjon som tilfredstiller differensialligningen på et intervall. y(x) = x 3 x + C for alle konstanter C. Eksempel 5 Vis at for alle konstanter A og B er løsning til y = Ax 3 + B/x x 2 y xy 3y = 0.

103 Initialverdiproblem IVP Et initialverdiproblem består av en differensialligning bestemte verdier for løsningen (og eventuelt de deriverte) i et punkt (initial punkt) slik at det går an å bestemme alle konstanter i løsningen av differensialligning.

104 Initialverdiproblem IVP Et initialverdiproblem består av en differensialligning bestemte verdier for løsningen (og eventuelt de deriverte) i et punkt (initial punkt) slik at det går an å bestemme alle konstanter i løsningen av differensialligning. Eksempel 6 Finn løsning til IVP x 2 y xy 3y = 0 y(1) = 2 y (1) = 6