Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Transkript

1 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2 Anta at f(1) = f (1) = 0 og at f er dobbeltderiverbar på [0, 1] med f (x) 3. Da er 1 f(x) dx Problem 3 Anta at funksjonene f og g er kontinuerlige på [a, b], deriverbare på (a, b) slik at f(a) = g(a) og f (x) < g (x) på (a, b). Vis at f(b) < g(b). Problem 4 Sekantsetningens venner er en hemmelig klubb i Bergen som rekrutterer medlemmer kun ved personlige forespørsler. Vi kan derfor anta at økningen i medlemstallet avhenger av antallet medlemmer. Samtidig er ikke interessen for sekantsetningen i 1

2 2 Bergen veldig stor, slik at vi maksimalt kan regne med 100 medlemmer totalt. Alle andre som blir spurt vil takke nei. Vi kan derfor anta at økningen i medlemstallet er proporsjonal med produktet av antall medlemmer og antall fremtidige medlemmer som ennå ikke er blitt spurt. Sett opp differentialligningen for antallet medlemmer N(t) som funksjon av tiden t som modellerer problemet gitt antagelsen over. Finn den generelle løsningen av denne. Problem 5 Bestem d x4 cos t dt dx x 3 Problem 6 Etter mange års morsomt studentliv har du fått deg en godt betalt jobb i et seriøst firma. Firmaet ditt vurderer å takke ja til et oppdrag som går ut på å lage kvadratiske metallplater som har en diameter mellom r og 2r og areal lik halvparten av arealet av en sirkel med radius r, for varierende verdier av r som vil bli spesifisert etter hvert. Sjefen din er bekymret, for han vet ikke om dette alltid lar seg gjøre. Men heldigvis husker du noe fra ditt gamle MAT111-pensum og kan imponere sjefen din på fellesmøte ved å forklare at dette lar seg gjøre uansett r. Hvorfor? Problem 7 Du starter ved punktet O i figuren under og går langs en kai samtidig som du trekker en båt med et tau. Tauet har lengde L og du holder tauet hele tiden rett og stramt. Båten står opprinnelig ved punktet (L, 0). Vi skal finne uttrykket y(x) for kurven som båten beskriver. (Denne kalles en traktrise).

3 3 (a) Hint: Du vet at tauet hele tiden er tangent til kurven du skal finne og av lengde L. Vis at dette gir differentialligningen: dy dx = L2 x 2. x (b) Løs så differentialligningen med initialbetingelsen y(l) = 0. Problem 8 Vis at dersom f er en funksjon slik at f (x) 1 for alle x R, da kan f ha høyst ett fikspunkt. Problem 9 Finn løsningen(e) av ligningen for z C. z 2 3zz = 2 Problem 10

4 4 Over hvilke intervaller har f(x) = x 3 + x 2 1 en invers funksjon? Problem 11 Finn x sin(1/x). Problem 12 Hvilke(n) begrunnelse(r) mangler for å få full pott i følgende besvarelser: (a) Vi bruker L Hôpital og får x 1 x 1 + ln x = 1, siden x 1 +(x 1) = x 1 + ln x = 0 og [x 1] x 1 + [ln x] 1 = x 1 + (1/x) = x = 1. x 1 + (b) (Anta at man korrekt har regnet ut + cos x ln(tan x) = 0.) Vi får + tan xcos x = + eln(tan xcos x) = + ecos x ln(tan x) = e 0 = 1 Problem 13 Finn feilene i følgende grenseverdiresonnementer: (1) ( 2x x 4 x 4 8 ) = x 4 x 4 2x x 4 x 4 8 x 4

5 5 (2) (3) (4) x 2 + 6x 7 x 1 x 2 + 5x 6 = x 1(x 2 + 6x 7) x 1 (x 2 + 5x 6) x π x 2 sin(1/x) x sin(1/x) = x sin x 1 cos x = x π cos x sin x = = [x 2 sin(1/x)] x 2x sin(1/x) cos(1/x) = = 2x sin(1/x) cos(1/x), 1 ved L Hôpital, men denne siste grensen eksisterer ikke, og er hverken eller, siden 2x sin(1/x) = 0 (ved samme begrunnelse som i Problem 9) og cos(1/x) oscillerer mellom 1 og 1 uansett hvor tett innpå null vi kommer. Derfor eksisterer heller ikke x sin(1/x), og er hverken eller. Problem 14 Vurdér om følgende påstander er sanne eller usanne: (1) Enhver kontinuerlig funksjon på [a, b] har en derivert. (2) Enhver kontinuerlig funksjon på [a, b] har en antiderivert. (3) Hvis f er kontinuerlig, da er t f(x)dx = f(x)dx. t t (4) En funksjon kan ha to forskjellige horisontale asymptoter. (5) Hvis f (r) eksisterer, da er x r f(x) = f(r) (6) Hvis x = 1 er vertikal asymptote for f, da er f ikke definert i 1. (7) Hvis x = 1 er vertikal asymptote for f, da er f ikke kontinuerlig i 1. (8) Hvis f (c) = 0, da har f et lokalt maksimum eller minimum i c. (9) Hvis f (x) < 0 på (1, 6) da er f avtagende på [1, 6]. (10) Dersom f (x) = g (x) på (0, 1) da er f(x) = g(x) på (0, 1). (11) Dersom f og g er funksjoner definert på [a, b] og f(a) > g(a) og f(b) < g(b), da må grafene til f og g skjære hverandre i minst ett punkt mellom a og b. (12) MAT111 er et grådig interessant kurs.