TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
|
|
- Ketil Tollefsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7
2 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Vesktfart. 2 Tangenter. 3 Den deriverte til en funksjon. 4 Derivasjonsregler. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 2
3 Vekstfart La f være en funksjon og x 0 et punkt slik f (x 0 ) er definert. Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [x 0, x 0 + ] er y x = f (x 0 + ) f (x 0 ) y f (x 0 + ) f (x 0 ) x 0 x La vi gå mot 0 får vi den momentane vekstfarten til f i punktet x 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 (vis grenseverdien eksisterer). y x 0 + x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 3
4 Tangenter y La P og Q være to punkter på grafen til en funksjon f. P Q Linjen gjennom P og Q kalles en sekant. La vi Q nærme seg P vil sekanten nærme seg tangenten til grafen i punktet P. x For ytterligere illustrasjon av dette, se ttp://webspace.sip.edu/msrenault/geogebracalculus/ derivative_at_a_point.tml. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 4
5 Tangenter La P = (x 0, f (x 0 )) og Q = (x 0 +, f (x 0 + )). y Q = (x 0 +, f (x 0 + )) P = (x 0, f (x 0 )) x Stigningstallet til sektanten gjennom P og Q er da y x = f (x 0 + ) f (x 0 ). Det følger at stigningstallet til f (x 0 + ) f (x 0 ) tangenten er lim (vis grenseverdien 0 eksisterer). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 5
6 Ikke-vertikale tangenter Vi definerer derfor tangenter på følgende måte: Definisjon 1: Ikke-vertikale tangenter Anta at funksjonen f er kontinuerlig i punktet x = x 0 og at grenseverdien f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 = m eksisterer. Linjen y = m(x x 0 ) + f (x 0 ) kalles da tangenten til f i punktet (x 0, f (x 0 )). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 6
7 Eksempel 1 La f (x) = x 2 og x 0 = 1. Da er f (x 0 + ) f (x 0 ) lim (1 + ) = 2. Det følger at likningen til tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) = (1, 1) er y = 2(x 1) + 1 = 2x 1. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 7
8 Eksempel 1 La oss illustrere dette ved jelp av Maple: wit Student Calculus1 : Tangent x 2, x = 1 ; plot x 2, 2 x K 1, x =K1..3 ; 2 x K TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 8
9 Vertikale tangenter Vi kan utvide definisjonen av tangenter for å tillate vertikale tangenter: Definition 2: Vertikale tangenter Anta at funksjonen f er kontinuerlig i punktet x = x 0 og at f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 = eller lim 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) Linjen x = x 0 kalles da tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )). Hvis grenseverdien ikke eksistere og f (x lim 0 +) f (x 0 ) 0 ±, ar grafen til f ingen tangent i punktet (x 0, f (x 0 )). =. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 9
10 Eksempel 2 La f (x) = 3 x = x 1/3 og x 0 = 0. Da er y f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 1/3 0 =. 2/3 0 1 Det følger at linjen x = 0 er tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) = (0, 0). x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 10
11 Eksempel 3 La f (x) = 3 x = x 2/3 og x 0 = 0. Da eksisterer grenseverdien y f (x 0 + ) f (x 0 ) lim / /3 0 ikke, fordi lim = og lim =. 1/3 1/3 Det følger at grafen til f ikke ar en tangent i punktet (x 0, f (x 0 )) = (0, 0) x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 11
12 Stigningstallet til en kurve Definisjon 3: Stigningstallet til en kurve Stigningstallet til en kurve C i punktet P er stigningstallet til tangenten til C i punktet P (forutsatt at tangenten eksisterer). Spesielt ar vi at stigningstallet til grafen til en funksjon f f (x 0 + ) f (x 0 ) i punktet (x 0, f (x 0 )) er lim vis 0 grenseverdien eksisterer. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 12
13 Eksempel 4 La oss finne stigningstallet til kurven y = x/(3x + 2) i punktet ( 2, 1/2). lim ( 2+)+2 2 3( 2) = 1 8 Så stigningstallet til kurven y = x/(3x + 2) i punktet ( 2, 1/2) er 1/8. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 13
14 Normalen til en kurve Hvis en kurve C ar en tangent L i et punkt P, kalles linjen N som går gjennom P og som står vinkelrett på L for normalen til C i punktet P. y N P L Hvis L er vertikal er N orisontal. Hvis L er orisontal er N vertikal. Hvis L verken er vertikal eller orisontal ar N stigningstall x 1 stigningstallet til L. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 14
15 Eksempel 5 La oss finne normalen til kurven y = x i punktet (4, 2). Vi finner først stigningstallet til tangenten i punktet (4, 2): ( 4 + 2)( ) lim 0 0 ( ) ( ) 1 0 ( ) = 1 4 Det følger at stigningstallet til normalen er 1 1/4 = 4. Så likningen til normalen i punktet (4, 2) er y = 4(x 4) + 2 = 4x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 15
16 Den deriverte Så langt ar vi bare sett på stigningstallet til tangenten til grafen til en funksjon (eller den momentane vekstfarten til en funksjon) en punkt om gangen, men da stigningstallet avenger av i vilket punkt vi ser på tangenten, blir stigningstallet til tangenten en funksjon av punktet. For en illustrasjon av dette, se ttp://webspace.sip.edu/msrenault/geogebracalculus/ derivative_as_a_function.tml. Denne funksjonen kaller vi den deriverte. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 16
17 Den deriverte Definition 4: Den deriverte Den deriverte til en funksjon f er funksjonen f definert ved at f (x) 0 f (x + ) f (x) for de x vor grenseverdien eksisterer. Hvis f (a) eksisterer sier vi at f er deriverbar i a. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 17
18 Eksempel 6 La f (x) = x 2. Da er for alle x. f (x) 0 f (x + ) f (x) x 2 + 2x + 2 x 2 0 2x + = 2x 0 f er derfor deriverbar i alle x. 0 (x + ) 2 x 2 0 2x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 18
19 Eksempel 6 La oss illustrere dette ved jelp av Maple: diff x 2, x ; 2 x plot x 2, 2 x, x =K2..2 ; TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 19
20 Eksempel 7 Let g(x) = x. For x > 0 er g (x) 0 g(x + ) g(x) og for x < 0 er x + x 0 g (x) 0 g(x + ) g(x) 0 (x + ) ( x) 0 x + x 0 1 = 1, 0 0 x + x 0 1 = TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 20
21 Eksempel 7 Da g() g(0) lim 0 og g() g(0) lim = = g() g(0) eksisterer lim ikke, og g er derfor ikke deriverbar 0 i 0. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 21
22 Eksempel 7 Funksjonen g(x) = x er altså deriverbar for alle x 0 og ikke deriverbar for x = 0, og den deriverte er { g 1 for x < 0 (x) = 1 for x > 0. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 22
23 Høyre og venstre deriverbare funksjoner Vi sier at en funksjon f er øyre deriverbar i et punkt x = a dersom f (a + ) f (a) lim 0 + eksisterer. Vi sier at en funksjon f er venstre deriverbar i et punkt x = a dersom f (a + ) f (a) lim 0 eksisterer. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 23
24 Deriverbare funksjoner En funksjon f er deriverbar på et intervall (a, b) (der a < b) dersom f er deriverbar i alle x (a, b). En funksjon f er deriverbar på et intervall [a, b] (der a < b) dersom f er deriverbar i alle x (a, b), venstre deriverbar i b og øyre deriverbar i a. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 24
25 Eksempel 7 Funksjonen g(x) = x er øyre og venstre deriverbar i 0, men ikke deriverbar i 0 (fordi lim g() g(0) 0 + og lim g() g(0) 0 begge eksisterer, men er forskjellige). g er derfor deriverbar på intervallet (, 0] og på intervallet [0, ), men ikke på intervallet (, ). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 25
26 Tangenter Anta at f (x 0 ) er definert. Da er tangenten til f i punktet x 0 linjen y = f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ). Merk at f (x 0 ) kan uttrykkes som en grenseverdi på to måter: f (x 0 ) 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 26
27 Eksempel 8 La f (x) = ax + b der a og b er konstanter. Da er f f (x + ) f (x) (x) 0 a 0 a = a 0 for alle x. 0 a(x + ) + b ax b Følgelig er tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) linjen y = f (x 0 )(x x 0 )+f (x 0 ) = a(x x 0 )+ax 0 +b = ax +b = f (x). Altså er tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) grafen til f selv. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 27
28 Potensregelen Det følger av Eksempel 7 at vis f (x) = 1 så er f (x) = 0 (faktisk følger det at f (x) = 0 vis f er en konstant funksjon), og at g (x) = 1 vis g(x) = x. Vi ar også set at (x) = 2x vis (x) = x 2. Vi skal senere vise at vi for alle r ar at k (x) = rx r 1 vis k(x) = x r. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 28
29 Leibniz notasjon Hvis y = f (x) vil vi under tiden bruke følgende alternativ notasjon for den deriverte til f. f (x) = dy dx = d dx f (x) = y = D x y = D x f (x) = Df (x). For eksempel er d x 2 = 2x og d dx dt t = d t 1/2 = 1t 1/2 = 1 dt 2 2. t Hvis vi ønsker å spesifisere verdien til den deriverte i et punkt x = x 0 kan vi bruke følgende notasjon: f (x 0 ) = dy dx = d x=x0 dx f (x) = y x=x0 = D x y x=x0 x=x0 = D x f (x 0 ) = Df (x 0 ). For eksempel er d x 2 x=3 = 2x dx = 6. x=3 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 29
30 Eksempel 9 ( d x dx x ) x= (2+) (2 + ) 2( ) 0 5( ) ( ) ( ) = TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 30
31 Differensialer Anta at f er en deriverbar funksjon. Hvis vi lar y = f (x), y = f (x + ) f (x) og x = så er dy dx = f f (x + ) f (x) y (x) 0 x 0 x. Hvis vi lar dy være en funksjon som avenger av to uavengige variable x og dx på følgende måte dy = f (x)dx så blir dy en egentlig kvotient. dx dy og dx kalles differensialer. Hvis for eksempel y = x 2 blir dy = dy dx 2 dx dx = dx = 2xdx. dx TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 31
32 Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Teorem 1: Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Hvis en funksjon f er er deriverbar i x, så er f kontinuerlig i x. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 32
33 Bevis for Teorem 1 Da f er deriverbar i x, eksisterer grenseverdien Det følger at f (x + ) f (x) lim 0 lim f (x + ) f (x) 0 0 = f (x). f (x + ) f (x) f (x) = 0 0 og dermed at lim 0 f (x + ) = f (x). Dvs. f er kontinuerlig i x. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 33
34 Summereglen, differansereglen og faktorreglen Teorem 2: Summereglen, differansereglen og faktorreglen Anta at funksjonene f og g er deriverbare i x og C er en konstant. Da er funksjonene f + g, f g og Cf deriverbare i x og (f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) g (x), (Cf ) (x) = Cf (x). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 34
35 Bevis for Teorem 2 og (f ± g)(x + ) (f ± g)(x) (f ± g)(x) 0 (f (x + ) ± g(x + )) (f (x) ± g(x)) 0 f (x + ) f (x) ± 0 = f (x) ± g (x) (Cf ) (x) 0 Cf (x + ) Cf (x) g(x + ) g(x) = C lim 0 f (x + ) f (x) = Cf (x). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 35
36 Produktregelen Teorem 3: Produktregelen Anta at funksjonene f og g er deriverbare i x. Da er funksjon fg deriverbar i x og (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 36
37 Bevis for Teorem 3 (fg) (x) 0 f (x + )g(x + ) f (x)g(x) f (x + )g(x + ) f (x)g(x + ) + f (x)g(x + ) f (x)g(x) 0 f (x + ) f (x) g(x + ) g(x) g(x + ) + f (x) 0 = f (x)g(x) + f (x)g (x). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 37
38 Resiprokregelen Teorem 4: Resiprokregelen Anta at funksjonen f deriverbar i x og f (x) 0. Da er funksjonen 1/f deriverbar i x og ( ) 1 (x) = f (x) f (f (x)). 2 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 38
39 Bevis for Teorem 4 ( ) 1 (x) f 0 1 f (x+) 1 f (x) f (x) f (x + ) 0 f (x + )f (x) ( ) ( ) 1 f (x + ) f (x) 0 f (x + )f (x) = f (x) (f (x)). 2 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 39
40 Kvotientregelen Teorem 5: Kvotientregelen Anta at funksjonene f og g er deriverbare i x og g(x) 0. Da er funksjonen f /g deriverbar i x og ( ) f (x) = g(x)f (x) f (x)g (x). g (g(x)) 2 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 40
41 Bevis for Teorem 5 ( ) ( f (x) = f 1 ) (x) g g = f 1 (x) g(x) + f (x) g (x) (g(x)) 2 = g(x)f (x) f (x)g (x) (g(x)) 2. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 41
42 Eksempel 10 d dx ( ) (x 2 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2)(x 3 + 1) = (x2 + 2)(x 3 + 1)((x 2 + 1)3x 2 + 2x(x 3 + 2)) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 ((x 2 + 2)3x 2 + 2x(x 3 + 1))(x 2 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 3x2 (x 2 + 1)(x 2 + 2)(x 3 + 1) + 2x(x 2 + 2)(x 3 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 3x2 (x 2 + 1)(x 2 + 2)(x 3 + 2) + 2x(x 2 + 1)(x 3 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 3x2 (x 2 + 1)(x 2 + 2) + 2x(x 3 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 3x6 9x 4 6x 2 + 2x 7 + 6x 4 + 4x (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 2x7 3x 6 3x 4 6x 2 + 4x (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 42
43 Eksempel 11 La oss finne alle orisontale linjer som er tangenter til kurven y = x 2 (4 x 2 ). dy dx = x 2 ( 2x) + 2x(4 x 2 ) = 2x(4 2x 2 ). Så kurven y = x 2 (4 x 2 ) ar en orisontal tangent i punktene x = 0 og x = ± 2. y x=0 = 0 og y ± 2 = 4. Så y = 0 og y = 4 er alle orisontale linjer som er tangenter til kurven y = x 2 (4 x 2 ). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 43
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerKontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
DetaljerFremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet
1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
DetaljerFremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier
1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter
DetaljerMAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
DetaljerDerivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 8 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8 Derivasjon I agens forelesning skal vi se på følgene: 1 Kjerneregelen 2 Deriverte til trigonometriske
DetaljerKapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
DetaljerKap : Derivasjon 1.
Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap. 3.-3.4: Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/ing/allmennfag/emnesider/rea042
Detaljerarbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerRepetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
DetaljerEkstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
DetaljerStigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerMA oppsummering så langt
MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene
DetaljerOppgaver i funksjonsdrøfting
Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerOppgaver om derivasjon
Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,
DetaljerOppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:
Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn
DetaljerMat503: Regneøving 3 - løsningsforslag
Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag Oppgave a) Oppgaven sier at Fredrik stoler på erfaringen sin med positive ele tall. Fredrik ar sannsynligvis sett at dersom an ar et elt tall k >, vil den oppgitte
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerMA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering
MA1103 4/2 2013 Partiellderivert, derivert og linearisering Partiellderivert i en koordinatretning: Tenk på alle de andre variablene som konstanter. f : A R n R m, a = (a 1,..., a n ) A f 1 f x 1 (a)...
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon
DetaljerFørste og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
DetaljerOppgave 1. Oppgave 2
Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerOppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y
DetaljerAndre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
DetaljerVelkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
DetaljerMA0003-8. forelesning
Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2
TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x
DetaljerTMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016
TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2012
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (,
DetaljerSkoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon
Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3
DetaljerEKSAMEN. V3: Tall og algebra, funksjoner 2 ( trinn)
EKSAMEN Emnekode: LSV3MAT Emne: V3: Tall og algebra, funksjoner (5.-0. trinn) Dato: 3. desember 08 Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 5.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Vedlagt formelark Faglærere:
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og :
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 30. september 2010 2 Fremdriftplan I går 5.5 Ubestemte integraler og substitusjon
DetaljerVolum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z
DetaljerLøsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT
Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet
Detaljer6 Vekstfart og derivasjon
Løsning til KONTROLLOPPGAVER 6 Vekstfart og derivasjon OPPGAVE 1 a) Økningen i snødybden fra den 10. desember til den 15. desember var S S(15) S(10) 47,5 cm 0 cm 17,5 cm Antall dager var 15 dager 10 dager
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag på 19. oktober 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
DetaljerKrasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
DetaljerAreal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
DetaljerOppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09
Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerVelkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010
Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 19. august 2010 2 Hvorfor skal dere studere matematikk? Det står i studiehåndboken.
DetaljerMAT1100 - Grublegruppen Uke 36
MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerNewtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
Detaljer. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
DetaljerHøgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerMAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.
MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal
DetaljerVår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise
TMA405 Matematikk 2 Vår 205 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013
BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerOPPGAVE 1 NYNORSK. LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 16. mai 2012 kl. 09:00-14:00. a) La z 1 = 3 3 3i, z 2 = 4 + i,
LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I onsdag 6. mai kl. 9:-4: NYNORSK OPPGAVE a) La z = i, z = 4 + i, finn (skriv på forma a + bi): i) z z og ii) z z. : i) z z = ( i)(4 + i) = i i =
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerMA0003-9. forelesning
17. august 2009 Outline 1 Outline 1 Regneregler for deriverte La f og g være kontinuerlige funksjoner og c 0 cf (x) dx = c f (x) dx f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx f (cx) dx = 1 c f (u) du u=cx f
DetaljerPartieltderiverte og gradient
Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerR1 Eksamen høsten 2009
R1 Eksamen høsten 2009 Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln2 x 3 2 c) Likningen 2x 10x 2x 10 0 har tre løsninger. Vis at x1 1 er en løsning og finn de to andre.
DetaljerProblem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4
Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerTrasendentale funksjoner
Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse
DetaljerNTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
DetaljerMatematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
DetaljerNotater nr 9: oppsummering for uke 45-46
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering
Detaljer