Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Transkript

1 Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20

2 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver

3 3 Areal mellom kurver Problem Vi vil finne arealet av et område mellom to grafer y x = a y = g(x) x = b y = f(x) og y = g(x) på intervallet a x b y = f(x) x

4 4 Areal mellom kurver y x = a x = b y = g(x) x y = f(x)

5 4 Areal mellom kurver y x = a x = b y = g(x) x y = f(x)

6 4 Areal mellom kurver y x = a x = b y = g(x) x y = f(x)

7 4 Areal mellom kurver y x = a x = b y = g(x) x k x y = f(x)

8 4 Areal mellom kurver y x = a x x = b y = g(x) g(x k ) f(x k ) x k x y = f(x)

9 4 Areal mellom kurver y x = a x x = b y = g(x) g(x k ) f(x k ) x k x y = f(x) Det typiske elementet har areal A k = [g(x k ) f(x k )] x

10 4 Areal mellom kurver y x = a x x = b y = g(x) g(x k ) f(x k ) x k x y = f(x) Det typiske elementet har areal A k = [g(xk ) f(x k n )] x Samlet areal: A = [g(xk ) f(x k )] x k=

11 4 Areal mellom kurver y x = a x x = b y = g(x) g(x k ) f(x k ) x k x y = f(x) Det typiske elementet har areal A k = [g(xk ) f(x k n )] x Samlet areal: A = [g(xk ) f(x k )] x Areal som integral A = b a k= [g(x) f(x)] dx

12 5 Eksempel, Areal mellom kurver Eksempel Finn arealet mellom y = + x/2 og y = /x på intervallet [, 2]. y y = g(x) x = y = f(x) x = 3 x

13 5 Eksempel, Areal mellom kurver Eksempel Finn arealet mellom y = + x/2 og y = /x på intervallet [, 2]. Løsning: y y = g(x) A = 3 [ ] ( + x/2) /x dx = 4 ln x = y = f(x) x = 3 x

14 6 Integrasjon med y Setning Arealet av et område mellom grafene x = f(y) og x = g(y) på intervallet c y d er d c [g(y) f(y)] dy y y = d x = f(y) x = g g(y) g(yk ) g(y k ) y y = c x

15 7 Eksempel: Integrasjon med y Eksempel Finn arealet av området begrenset av x = y 2 4y og x = 2y y 2.

16 7 Eksempel: Integrasjon med y Eksempel Finn arealet av området begrenset av x = y 2 4y ( 3, 3) y = 2x x 2 y og x = 2y y 2. y = x 2 4x x

17 7 Eksempel: Integrasjon med y Eksempel Finn arealet av området begrenset av x = y 2 4y ( 3, 3) y = 2x x 2 y og x = 2y y 2. y = x 2 4x x

18 Kapittel 5.7. Logaritmen definert som et integral

19 9 Logaritmen definert ved integral Definisjon (Naturlig logaritme, alternativ definisjon) Den naturlige logaritmen er definert ved hjelp av integral-funksjonen: ln x = x Setning (Den deriverte av ln x) t dt, x > 0 d dx ln x = x

20 0 Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x Problem (Vise ln ax = ln a + ln x) ln ax

21 0 Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x Problem (Vise ln ax = ln a + ln x) ln ax = ax t dt

22 0 Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x Problem (Vise ln ax = ln a + ln x) ln ax = ax t dt = a t dt + ax a t dt

23 0 Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x Problem (Vise ln ax = ln a + ln x) ln ax = ax t dt = a t dt + ax a t ax dt = ln a + a t dt

24 0 Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x Problem (Vise ln ax = ln a + ln x) ln ax = ax Gjenstår å vise ax a t dt = a t dt = ln x t dt + ax a t ax dt = ln a + a t dt

25 0 Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x Problem (Vise ln ax = ln a + ln x) ln ax = ax t dt = a t dt + ax Gjenstår å vise ax a t dt = ln x Substituerer u = g(t) = t/a, t = a u, dt = a du a t ax dt = ln a + a t dt

26 0 Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x Problem (Vise ln ax = ln a + ln x) ln ax = ax t dt = a t dt + ax Gjenstår å vise ax a t dt = ln x Substituerer u = g(t) = t/a, t = a u, dt = a du ax a t dt a t ax dt = ln a + a t dt

27 0 Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x Problem (Vise ln ax = ln a + ln x) ln ax = ax t dt = a t dt + ax Gjenstår å vise ax a t dt = ln x Substituerer u = g(t) = t/a, t = a u, dt = a du ax a t dt = g(ax) g(a) a a u a du t ax dt = ln a + a t dt

28 0 Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x Problem (Vise ln ax = ln a + ln x) ln ax = ax t dt = a t dt + ax Gjenstår å vise ax a t dt = ln x Substituerer u = g(t) = t/a, t = a u, dt = a du ax a t dt = g(ax) g(a) a t x a u a du = ax dt = ln a + a t dt du = ln x u

29 Eksponentialfunksjonen e x definert som den inverse til ln x Definisjon (Eksponensialfunksjonen) Eksponensialfunksjonen er implisitt gitt ved x = Setning (Den deriverte av e x ) e x t dt d dx ex = e x

30 Kapittel 6.. Volum ved skivemetoden og rotasjon om en akse

31 3 Rotasjonslegeme y Tegner området y = f(x) x

32 3 Rotasjonslegeme y Tegner området y = f(x) x

33 3 Rotasjonslegeme y Tegner området y = f(x) x

34 3 Rotasjonslegeme y Tegner området 2 Tegner inn typisk element y = f(x) x

35 3 Rotasjonslegeme y Tegner området 2 Tegner inn typisk element 3 Med målene x og radius. Finner V k y = f(x) x radius radius radius x k x V k = π [f(x k )] 2 x

36 3 Rotasjonslegeme y Tegner området 2 Tegner inn typisk element 3 Med målene x og radius. Finner V k 4 Summerer V k π b a [f(x)]2 dx y = f(x) x V k = π [f(x k )] 2 x Volumet av omdreiningslegemet V = b a A(x) dx = b a radius radius radius π radius(x) 2 dx = x k b a π [f(x) ] 2 dx x

37 4 Skivemetoden y a b x

38 4 Skivemetoden y a b A(x) x

39 4 Skivemetoden y a b A(x) x Volumet av legemet i figuren V = b a A(x) dx

40 5 Washer-metoden Med washer metoden finner vi volumet til et legeme når snittarealene er en skive med hull. 2 y = R(x) = 2 x 2 y = r(x) = x

41 Kapittel 6.2. Volum ved sylindriske skall

42 7 Skall-metoden z = g(x) z = f(x)

43 7 Skall-metoden z = g(x) z = f(x)

44 7 Skall-metoden z = g(x) 2 2 Radius= x 2 Høyde x z = f(x)

45 7 Skall-metoden z = g(x) 2 2 Radius= x x Volumet av tønnebåndet er omkrets høyde bredde 2 2 Høyde z = f(x) V k = 2π radius høyde x

46 8 Formel for skallmetoden og eksempel Volumet til et legeme som dreies om linjen x = L er V = 2π b a (x L) Skallhøyde(x) dx f(x) = x 2 6x + 9 g(x) = x 2 + 6x 7 R(x) = x

47 8 Formel for skallmetoden og eksempel Volumet til et legeme som dreies om linjen x = L er V = 2π b a (x L) Skallhøyde(x) dx f(x) = x 2 6x + 9 g(x) = x 2 + 6x 7 R(x) = x

48 8 Formel for skallmetoden og eksempel Volumet til et legeme som dreies om linjen x = L er V = 2π b a (x L) Skallhøyde(x) dx f(x) = x 2 6x + 9 g(x) = x 2 + 6x 7 R(x) = x

49 8 Formel for skallmetoden og eksempel Volumet til et legeme som dreies om linjen x = L er V = 2π b a (x L) Skallhøyde(x) dx f(x) = x 2 6x + 9 g(x) = x 2 + 6x 7 R(x) = x

50 9 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 2 6x + 9 og g(x) = x 2 + 6x 7 Rotasjon om x = Finn volumet

51 9 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 2 6x + 9 og g(x) = x 2 + 6x 7 Rotasjon om x = Finn volumet Rotasjon om x = 2 Skall-tykkelse? 3 Grenser? 4 Radius? 5 Høyde? 6 Skall volum? V?

52 9 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 2 6x + 9 og g(x) = x 2 + 6x 7 Rotasjon om x = Finn volumet Rotasjon om x = 2 Skall-tykkelse = x 3 Grenser? 4 Radius? 5 Høyde? 6 Skall volum? V?

53 9 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 2 6x + 9 og g(x) = x 2 + 6x 7 Rotasjon om x = Finn volumet Rotasjon om x = 2 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = 2 og b = 4 4 Radius? 5 Høyde? 6 Skall volum? V?

54 9 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 2 6x + 9 og g(x) = x 2 + 6x 7 Rotasjon om x = Finn volumet Rotasjon om x = 2 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = 2 og b = 4 4 Radius = x 5 Høyde? 6 Skall volum? V?

55 9 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 2 6x + 9 og g(x) = x 2 + 6x 7 Rotasjon om x = Finn volumet Rotasjon om x = 2 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = 2 og b = 4 4 Radius = x 5 Høyde = 2x 2 + 2x 6 6 Skall volum? V?

56 9 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 2 6x + 9 og g(x) = x 2 + 6x 7 Rotasjon om x = Finn volumet Rotasjon om x = 2 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = 2 og b = 4 4 Radius = x 5 Høyde = 2x 2 + 2x 6 6 Skall volumet er V = 2π (x ) ( 2x 2 + 2x 6) x V?

57 9 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 2 6x + 9 og g(x) = x 2 + 6x 7 Rotasjon om x = Finn volumet Rotasjon om x = 2 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = 2 og b = 4 4 Radius = x 5 Høyde = 2x 2 + 2x 6 6 Skall volumet er V = 2π (x ) ( 2x 2 + 2x 6) x V = 4 2 2π ( 2x 3 + 4x 2 28x + 6) dx

58 9 Volum-eksempel Område mellom f(x) = x 2 6x + 9 og g(x) = x 2 + 6x 7 Rotasjon om x = Finn volumet Rotasjon om x = 2 Skall-tykkelse = x 3 Grensene er a = 2 og b = 4 4 Radius = x 5 Høyde = 2x 2 + 2x 6 6 Skall volumet er V = 2π (x ) ( 2x 2 + 2x 6) x V = 4 2 2π ( 2x 3 + 4x 2 28x + 6) dx = 32π 3