Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Transkript

1 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010

2 Induksjon Pensumlitteratur: Notat

3 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger. Utsagn som skal bevises: P n, n = 1, 2,... Induksjonsbevis består av 2 trinn. 1. Bevis først P 1 2. Bevis P n+1 ved å anta P n for n = 1, 2,....

4 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger. Utsagn som skal bevises: P n, n = 1, 2,... Induksjonsbevis består av 2 trinn. 1. Bevis først P 1 2. Bevis P n+1 ved å anta P n for n = 1, 2,....

5 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger. Utsagn som skal bevises: P n, n = 1, 2,... Induksjonsbevis består av 2 trinn. 1. Bevis først P 1 2. Bevis P n+1 ved å anta P n for n = 1, 2,... Eksempel:P n : n k=1 k = n(n+1) 2.

6 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger. Utsagn som skal bevises: P n, n = 1, 2,... Induksjonsbevis består av 2 trinn. 1. Bevis først P 1 2. Bevis P n+1 ved å anta P n for n = 1, 2,... Eksempel:P n : n k=1 k = n(n+1) 2.

7 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger. Utsagn som skal bevises: P n, n = 1, 2,... Induksjonsbevis består av 2 trinn. 1. Bevis først P 1 2. Bevis P n+1 ved å anta P n for n = 1, 2,... Eksempel:P n : n k=1 k = n(n+1) 2.

8 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger. Utsagn som skal bevises: P n, n = 1, 2,... Induksjonsbevis består av 2 trinn. 1. Bevis først P 1 2. Bevis P n+1 ved å anta P n for n = 1, 2,... Eksempel:P n : n k=1 k = n(n+1) 2 P 1 er lett å vise: 1 = 1(1+1) 2.

9 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger. Utsagn som skal bevises: P n, n = 1, 2,... Induksjonsbevis består av 2 trinn. 1. Bevis først P 1 2. Bevis P n+1 ved å anta P n for n = 1, 2,... Eksempel:P n : n k=1 k = n(n+1) 2 P 1 er lett å vise: 1 = 1(1+1) 2.

10 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger. Utsagn som skal bevises: P n, n = 1, 2,... Induksjonsbevis består av 2 trinn. 1. Bevis først P 1 2. Bevis P n+1 ved å anta P n for n = 1, 2,... Eksempel:P n : n k=1 k = n(n+1) 2 P 1 er lett å vise: 1 = 1(1+1) 2. Bevis av P n+1 : V.S.= ( n) + (n + 1) = n(n+1) 2 + n + 1 = n(n+1)+2(n+1) 2 = (n+2)(n+1) 2 = H.S

11 Grenser og kontinuitet Kapittel Endringsrate og tangenter til kurver

12 5 Gjenomsnitlig endring x = b a y = f(b) f(a) Gjennomsnittlig endring av f(x) på intervallet [a, b]: y x = f(b) f(a) b a a x b y Eksempel: Gjennomsnittlig fart v = tilbakelagt vei brukt tid

13 6 Sekanters stigningstall Q P Stigningstallet til sekanten til y = f(x) igjennom punktene P(a, f(a)) og Q(b, f(b)) er lik gjennomsnittlig endringsrate til f(x) på [a, b]

14 7 Stigningstallet til en kurve Q P Stigningstallet til kurven i P er lik stigningstallet til tangenten i P

15 8 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a))

16 8 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 Eksempel: f(x) = x 2

17 8 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 P Q Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h 2 )

18 8 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h Q P h h

19 8 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 P h h Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h Tangentens stigningstall får vi ved å sette h = 0. Hvorfor??? Stigningstallet i x = 1 er lik 2

20 Grenser og kontinuitet Kapittel Grenser til en funksjon og grenselover

21 10 Grensen av en funksjon

22 11 Når grenser ikke eksisterer 1. Brudd 2. Vokser for mye 3. Svinger for mye

23 11 Når grenser ikke eksisterer 1. Brudd 2. Vokser for mye 3. Svinger for mye

24 11 Når grenser ikke eksisterer 1. Brudd 2. Vokser for mye 3. Svinger for mye

25 12 Grenselover L = lim f(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M 5. lim (f(x) r/s ) = L r/s M = lim g(x)

26 12 Grenselover L = lim f(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M 5. lim (f(x) r/s ) = L r/s M = lim g(x)

27 12 Grenselover L = lim f(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M 5. lim (f(x) r/s ) = L r/s M = lim g(x)

28 12 Grenselover L = lim f(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M, når M 0 5. lim (f(x) r/s ) = L r/s M = lim g(x)

29 12 Grenselover L = lim f(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M, når M 0 5. lim (f(x) r/s ) = L r/s Når s er odde må L 0 M = lim g(x)

30 13 Polynomer og rasjonale funksjoner Grensen til et polynom P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 lim P(x) = P(c) = a nc n + + a 1 c + a 0. Grensen til en rasjonal funksjon P(x)/Q(y) er lim P(x)/Q(x) = P(c)/Q(c).

31 14 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x 1 x 2 1 = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner

32 14 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x 1 x 2 1 = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner

33 14 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x 1 x 2 1 = lim x(x 1) x 1 (x + 1)(x 1) = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner

34 14 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x 1 x 2 1 = lim x(x 1) x 1 (x + 1)(x 1) = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner

35 14 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x 1 x 2 1 = lim x 1 Faktoriser teller og nevner Forkort brøken x(x 1) (x + 1)(x 1) = lim x 1 Finn grensen av teller og nevner x (x + 1) =

36 14 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x 1 x 2 1 = lim x 1 Faktoriser teller og nevner Forkort brøken x(x 1) (x + 1)(x 1) = lim x 1 Finn grensen av teller og nevner x (x + 1) =

37 14 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x 1 x 2 1 = lim x 1 Faktoriser teller og nevner Forkort brøken x(x 1) (x + 1)(x 1) = lim x 1 Finn grensen av teller og nevner x (x + 1) = 1 2

38 15 Sandwich-teoremet A g(x) f(x) h(x) i nærheten av x = c B lim g(x) = lim h(x) = L Ergo lim f(x) = L