Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Transkript

1 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20

2 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner

3 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner) (e x + e x ) Hyperbolsk cosinus: cosh x = 2 ) Hyperbolsk sinus: sinh x = 2 (e x e x Definisjon (Avledede definisjoner) tanh x = sinh x cosh x cosh x, coth x = sinh x, sech x =! cosh x og csch x = sinh x.

4 4 Grafene til hyperbolske funksjoner 2 y = sinh x y = cosh x

5 5 Identiteter for hyperbolske funksjoner sinh 2x cosh 2x = cosh 2 x sinh 2 x = 2 cosh x sinh x = cosh 2 x + sinh 2 x sinh 2 x = (cosh 2x ) 2 cosh 2 x = (cosh 2x + ) 2 tanh 2 x = sech 2 x coth 2 x = + csch 2 x Tabell: Identiteter

6 6 Deriverte av hyperbolske funksjoner d dx d dx d dx d dx d dx d dx ( ) cosh x ( ) sinh x ( ) tanh x ( ) coth x ( ) sech x ( ) csch x = sinh x = cosh x = sech 2 x = csch 2 x = sech x tanh x = sinh x coth x Tabell: Deriverte hyp. funksjoner.

7 7 Inverse hyperbolske funksjoner cosh x = ln(x + x 2 ), x sinh x = ln(x + x 2 + ), x R 2 2

8 8 Nyttige identiteter for hyp. funksjoner sech x csch x coth x = cosh x = sinh x = tanh x

9 9 Derivasjon av inverse hyperbolske funksjoner d dx (sinh x) = d dx (cosh x) = d dx (tanh x) = x 2 + x 2 x 2

10 Kapittel 3.0. Linearisering og differensialer

11 Linearisering Definisjon Lineariseringen til f(x) i punktet x = a er gitt ved funksjonen som har graf lik tangenten til y = f(x) i x = a. Formel for lineariseringen i x = a er gitt ved Definisjon L(x) = f(a) + f (a)(x a) L(x) kalles Standard lineær-tilnærmingen Anvendelser: Nummerisk tilnærming av funksjoner.

12 2 Et eksempel Eksempel Lineariseringen til f(x) = e x i punktet x = 0 er gitt ved L(x) = e 0 + e 0 (x 0) = + x

13 3 Grafiske eksempler 2 y = e x Lineariseringen til f(x) = e x i x = 0 er L(x) = x +.

14 3 Grafiske eksempler 2 y = x 2 2 y = e x Lineariseringen til f(x) = e x i x = 0 er L(x) = x +. Lineariseringen til f(x) = x 2 i x = er L(x) = 2x.

15 4 Differensialer Definisjon Vi innfører to nye variable størrelser dx og dy. Differensialet dy til en funksjon y = f(x) i punktet x = a er gitt ved dy = f (a)dx NB! dy er en funksjon av dx. Vi sier at dx er en uavhengig størrelse, mens dy avhenger av dx.

16 5 Differensialer figur 2 x dx = x y = f(x + x) f(x) dy = f ()dx y = x 2 y dy dx

17 6 Estimering Eksakt verdi f(a + dx) = f(a) + y Tilnærmet verdi f(a + dx) f(a) + dy

18 7 liten Hvor stor Funksjon f(x) er feilen i differensialet dy?

19 7 liten Hvor stor Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. er feilen i differensialet dy?

20 7 liten Hvor stor er feilen i differensialet dy? Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. y = f(a + x) f(a) (Eksakt verdi av endring av y = f(x))

21 7 liten Hvor stor er feilen i differensialet dy? Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. y = f(a + x) f(a) (Eksakt verdi av endring av y = f(x)) dy = f (a) x (Differensialet til y = f(x) i x = a)

22 7 liten Hvor stor er feilen i differensialet dy? Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. y = f(a + x) f(a) (Eksakt verdi av endring av y = f(x)) dy = f (a) x (Differensialet til y = f(x) i x = a) Feilen i dy er y dy

23 7 liten Hvor stor er feilen i differensialet dy? Funksjon f(x) La x endres fra a til a + x. y = f(a + x) f(a) (Eksakt verdi av endring av y = f(x)) dy = f (a) x (Differensialet til y = f(x) i x = a) Feilen i dy er y dy Teorem La f(x) være deriverbar i x = a. Feilen i dy er lik ǫ x der ǫ er en størrelse som er avhengig av x og som går mot null når x går mot null. y = f (a) x + ǫ x

24 Kapittel 4.. Funksjoners ekseremverdier

25 9 Global maksimum og minimum Definisjon Gitt en funksjon f med definisjonsmengde D. Globalt maksimum i x = c: f(x) f(c) for alle x i D Globalt minimum i x = c: f(x) f(c) for alle x i D y = x 2 y = x

26 20 Figur globale maksimum og minimum y = x 2 To globale minimum Funksjonen med blå graf har globalt minimum men ikke maksimum y = x

27 2 Ekstremverditeoremet Teorem Gitt lukket intervall I = [a, b]. Hvis f kontinuerlig på I = [a, b], da har f Globalt maksimum i [a, b] og 2 Globalt minimum i [a, b]

28 22 Eksempler: a) b) a c) x b a d) x b a x b a x b

29 23 Eksempel: Ingen global maksimum Hvilken betingelse mangler for at vi kan bruke ekstremverdi-teoremet? a b x

30 24 Lokale ekstrema Definisjon Gitt en funksjon f med definisjonsmengde D og et indre punkt c i D Lokalt maksimum i x = c: f(x) f(c) for alle x i et åpent intervall som inneholder c Lokalt minimum i x = c: f(x) f(c) for alle x i et åpent intervall som inneholder c

31 25 Førstederivertetesten for lokale ekstrema Teorem Hvis Da er f(x) har lokalt eksremverdi i indre punkt x = c og f (c) er definert. f (c) = 0

32 26 Kritisk punkt Gitt funksjon f med definisjonsmengde D Definisjon Et indre c punkt i D kalles et kritisk punkt for f hvis enten f (x) ikke er definert i x = c eller f (c) = 0 Eksempel Finn kritiske punkt for f(x) = 3 (9 x) x 2, 4 x 8.

33 27 Figur for eksempel f(x) = 3 (9 x) x 2, 4 x Kritiske punkter

34 28 Analyse - å finne ekstrema Om å finne absolutte ekstrema av kontinuerlig funksjon på et lukket begrenset intervall. Finn f sin verdi i alle kritiske punkter og endepunktene 2 Plukk den minste og største verdien. Eksempel Finn den største og minste verdien av f(x) = 3 (9 x) x 2

35 Kapittel 4.2. Mellomverdisatsen

36 30 Rolles teorem Teorem (Rolles teorem) Hvis f(x) kontinuerlig på [a, b], y f (c) = 0 deriverbar på (a, b) og f(a) = f(b) Da finnes minst en c på (a, b) slik at f (c) = 0. a c b x Eksempel Vis at x 3 + 6x + = 0 har bare en løsning.

37 3 Mellomverdisatsen Teorem (Mellomverdisatsen) Hvis f(x) kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på (a, b) Da finnes minst en c på (a, b) slik at f(b) f(a) b a = f (c). a c b x Eksempel y Stigning f (c) La f(x) = x 2 og [a, b] = [0, ]. Venstre side: f(b) f(a) b a = =. Løser d dx x 2 = 2x =. Dvs c = 0,5.

38 32 Innlysende??? Korollar () Hvis f (x) = 0 for hvert punkt i det åpne området (a, b) så er f(x) konstant på (a, b). f(x) = C.

39 32 Innlysende??? Korollar () Hvis f (x) = 0 for hvert punkt i det åpne området (a, b) så er f(x) konstant på (a, b). f(x) = C. Korollar (2) f (x) = g (x) for hvert punkt i det åpne området (a, b) så finnes en konstant C slik at f(x) = g(x) + C for alle x (a, b). Det betyr f g er konstant på (a, b).

40 33 Logaritme-lovene Vi kan bruke korollar 2 av mellomverdisatsen for å vise Logaritme lovene. Bevis av at ln x a = ln x ln a. La f(x) = ln(x/a) med derivert f (x) = x/a (/a) = x. La g(x) = ln x ln a med derivert g = x. Fra korollaret har vi f(x) = g(x) + c. Bestemmer c ved å sette x = a: c = f(x) g(x) = f(a) g(a) = ln(x/a) (ln a ln a) = ln 0 = 0