UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016

Transkript

1 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen på Realfagbygget. Husk forside! Oppgavesettet er på 6 sider (med oppgavene 1-9) og består av 33 deloppgaver som alle teller likt ved sensurering (eksempelvis teller oppgave 1(a) like mye som hele oppgave 9). Les nøye gjennom oppgavesettet. Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal være korte. Det må være med nok mellomregning til at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Direkte avskrift fra hverandre er ikke tillatt. Men det er fullt mulig og sterkt anbefalt å diskutere oppgavene. Oppgave 1 (a) Skriv det komplekse tallet w = 3 3i på polarform og avmerk det i det komplekse plan. (b) Regn ut w 9 (der w er som i (a)). (c) Regn ut (dvs. skriv på formen a + bi): (i) (2 + 3i)(1 2i), (d) Finn alle komplekse løsninger på ligningen (ii) 2 i 3 + i z 4 = 16. (e) Finn alle komplekse løsninger på ligningen 5z z z + 5 = 0. (f) Løsningene til ligningen z = 3/z kan beskrives som en figur i det komplekse planet. Hvilken? 1

2 2 Oppgave 2 (a) Vis ved induksjon at n ( 1) j j 2 n n(n + 1) = ( 1) 2 j=1 for alle heltall n 1. Vi minner om at notasjonen betyr n ( 1) j j 2 = ( 1) n n 2. j=1 (b) Hva er galt med følgende påstand og bevis? OBS: det korrekte svaret er meget kort! Påstand: Alle MAT111-studenter har samme øyenfarge. Bevis: Anta at vi har n MAT111-studenter. Vi viser påstanden ved induksjon. Påstanden er opplagt sann for n = 1. Anta at påstanden er sann for n = k studenter. Betrakt en mengde av k+1 (smilende) studenter. Vi kan anta ved induksjon at i mengden L av k studenter til venstre i tegningen, har alle studentene samme øyenfarge. Likeledes kan vi anta at alle k studentene i mengden R til høyre har samme øyenfarge. Men da har selvfølgelig alle k + 1 studentene samme øyenfarge, for studenten helt til venstre og studenten helt til høyre har samme øyenfarge som studentene i mellom. Dermed har vi vist ved induksjon at i en mengde bestående av n MAT111- studenter, har alle samme øyenfarge, uansett hva n er. Derfor har alle MAT111-studenter samme øyenfarge. Oppgave 3 Finn grenseverdiene dersom de eksisterer, eventuell begrunn at de ikke eksisterer. Dersom grensene er eller skal du også skrive dette. (a) x 2 2x 3 x 1 x 2 x 2,

3 3 (b) x 2x + 3 2x2 + 1, (c) x 2x + 3 2x2 + 1, (d) (e) x 0 ( 1 ) cos, x 0 x ( 3 1 ) x cos. sin x Oppgave 4 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi ( ɛ-δ-definisjonen ) til å vise at: (a) x 1 x2 + 2x = 3, (b) x 2 2x + 1 x 3 x 2 = 4. Oppgave 5 (a) Begrunn at grafen til funksjonen g(x) = x 3 2x + 1 skjærer linjen y = x i hvert av intervallene ( 2, 1), (0, 1) og (1, 2). (b) Kan grafen skjære linjen i flere enn de tre punktene over? (Husk å begrunne svaret.) (c) La f være en kontinuerlig funksjon definert på et intervall [x 1, x 2 ] og som er slik at f(x 1 ) x 1 og f(x 2 ) x 2, eller slik at f(x 1 ) x 1 og f(x 2 ) x 2. Vis at f da har et fikspunkt i intervallet [x 1, x 2 ]. (Definisjon av et fikspunkt: r er et fikspunkt for f dersom f(r) = r.)

4 4 (d) Forklar kort hvorfor (a) følger direkte fra (c). (e) Du er på fest med noen studenter fra HF- og SV-fakultetet som lurer på hva du har lært de første ukene i MAT111. I lommen har du et smalt og tynt elastisk bånd. Du legger båndet på bordet og strekker det ved å trekke den ene enden mot høyre og den andre enden mot venstre og forteller at du kan bevise at et eller annet punkt på båndet har forblitt i sin opprinnelige posisjon. Hvorfor? (Gjør kort rede for dine antagelser.) (Hint: hva har dette spørsmålet med resten av oppgaven å gjøre?) Oppgave 6 La f være en funksjon definert på et åpent intervall I. Alt vi vet om f er at f kan tilnærmes ved et polynom med den grad av nøyaktighet vi måtte ønske. Formelt kan vi skrive dette som: For ethvert (reellt) tall r > 0 er det mulig å skrive f på formen f(x) = P r (x) + h r (x), der P r er et polynom og h r oppfyller h r (x) r for alle x I. Vis at f er kontinuerlig på I. (Hint: bruk definisjonen av kontinuitet i et punkt a sammen med den formelle definisjonen av grenseverdi. Begrens uttrykket f(x) f(a) ved hjelp av trekantulikheten som i bevisene for grensesetningene.) La n 0 være et heltall. (a) Betrakt funksjonen Oppgave 7 ( 1 g n (x) = x n cos x) Hva er definisjonsmengden til g n (x)? (Med dette mener vi som vanlig den størst mulige mengden der funksjonen er definert.) (b) Er g n en kontinuerlig funksjon (på sin definisjonsmengde)? (c) Finn den deriverte g n. (Husk at x 0 = 1, så du må betrakte tilfellet n = 0 for seg.) Videre i oppgaven betrakter vi funksjonen f n (x) = { x n cos ( 1 x ) når x 0 0 når x = 0. Vi skal vurdere oppførselen til funksjonen f n i punktet x = 0. (d) Bestem for hvilke n 0 funksjonen f n er kontinuerlig i 0.

5 5 (e) Bestem for hvilke n 0 funksjonen f n er derivérbar i 0. Finn også f n(0) i de tilfellene f n er derivérbar i 0. (f) For hvilke n er den deriverte f n kontinuerlig i 0? Hvorfor kan du ut i fra dette svaret automatisk konkludere at f 2 ikke er dobbeltderivérbar i 0? (g) For hvilke n 0 oppnår f n maksimumverdi og/eller minimumsverdi? (Du skal ikke finne selve verdien.) (Hint: i deler av oppgaven du må bruke definisjonene på at en funksjon er kontinuerlig i et punkt og derivérbar i et punkt.) Oppgave 8 Kurven i planet x 2 xy + y 2 = 9 er en rotert ellipse, vist i figuren under: (a) Bruk implisitt derivasjon til å finne dy uttrykt ved x og y. dx (b) I hvilke punkter på kurven er dy ikke definert? Hvordan viser dette seg på dx kurven rent geometrisk? (c) Finn ligningene til tangentlinjene til kurven i de to snittpunktene med x- aksen. (d) Har de to tangentlinjene noe til felles? Oppgave 9 Du fortsetter med å underholde HF- og SV-studentene på festen fra Oppgave 5(c): Vinglasset ditt har tverrsnitt formet som parabelen y = x 2. Du tar en ping-pong ball opp fra lommen og legger den ned i glasset. Tverrsnittet av glasset med ballen er gitt i tegningen under. Du forteller de andre at dersom ballen har radius r, så vil midtpunktet til ballen ligge r enheter over bunnen på glasset. 4

6 6 Vis hvordan du kommer frem til svaret. (Hint: tenk på hvilken egenskap sirkelen og parabelen har til felles i tangeringspunktene.) LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen