OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39

Transkript

1 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 Oppgaver til seminaret 23/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39 På settet: S.1, S.2 Oppgaver til gruppene uke 39 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Løs disse først så disse Mer dybde Avsn (15), 23(33)(29) 12(8) Avsn (2.8.9)(2.6.9) 6 22(2.8.17)(2.6.17), 15(2.8.11)(2.6.11) 29(2.8.19)(2.6.19), 30(2.8.20)(2.6.20), Avsn , 33 11, 25, 42 På settet: G.1, G.2 G.3, G.4, G.5, G.6, G.7 G.8, G.9, G.10 Oppgavene under Mer dybde behandles i 2. time av det raske seminaret 30/9. ( ) Teoremet vi skal bevise i denne oppgaven, kalles skjæringssetningen for deriverte eller Darboux s teorem, etter den franske matematikeren Jean Gaston Darboux. Nøyaktig formulert sier teoremet følgende: Hvis f er en derivérbar funksjon på intervallet [a, b] og k er et tall mellom f (a) og f (b), da finnes en c i [a, b] slik at f (c) = k. Obligatoriske oppgaver Ingen nye oppgaver. Husk innleveringsfristen for Oblig. innlev. 1 mandag 26/09. 1

2 2 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 OPPGAVE S.1 (Deleksamen UiB-H04-Oppg. 7) Funksjonen f er derivérbar med positiv derivert på [0, 1]. Er følgende utsagn sanne? Begrunn svarene kort. 1. Ligningen f(x) = 0 har maksimalt én løsning i intervallet (0, 1). 2. Om f(0) = 4 og f(1) = 23, så har ligningen f(x) = 0 nøyaktig én løsning i intervallet (0, 1). OPPGAVE S.2 I Oppgave (fra oppgavesett Uke 36) viste vi at funksjonen f(x) = x 3 +x 1 har et nullpunkt mellom 0 og 1. Vis at f(x) har kun ett nullpunkt på hele R. OPPGAVE G.1 (Deleksamen UiB-H05-Oppg. 5) Er følgende utsagn sanne? Begrunn svarene kort. 1. Om man kjører (på en derivérbar måte) fra Voss til Bergen (100 km) på en time trenger man ikke på noe tidspunkt ha kjørt i 100km/t. 2. Det finnes ett og bare ett tall x [0, π/2] slik at tan x = 17. OPPGAVE G.2 Vis at ligningen x 3 + 2x = cos x har nøyaktig én løsning i intervallet [0, π/2]. Vis at x 1+x 2 OPPGAVE G.3 (Eksamen UiO) y 1+y 2 x y for alle x, y R. OPPGAVE G.4 La f(x) = 1 x 2/3. Vis at f( 1) = f(1), men at det ikke finnes noe punkt i ( 1, 1) der f er null. Hvorfor strider ikke dette mot Rolles teorem?

3 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 3 OPPGAVE G.5 En romrakett beveger seg i en rettlinjet bane med akselerasjon a(t) = k(t + 1), der k er en positiv konstant. (Dette betyr at akselerasjonen øker etter hvert som avstanden til Jorden øker.) (a) Finn hastigheten v(t) og tilbakelagt veilengde s(t) til romraketten som funksjon av tiden t når v(0) = v 0 og s(0) = 0. (b) Etter hvor lang tid har romraketten nådd en hastighet som er dobbelt så stor som starthastigheten v 0? OPPGAVE G.6 Vi har en 50 cm lang metallstang og holder endepunktene med konstant temperatur 25 og 85. Anta at vi velger x-aksen parallell med metallstangen med endepunktene i x = 0 og x = 50, som vist på figuren under. Eksperimenter viser at temperaturen T (x) tilfredsstiller d 2 T dx 2 = 0. Finn T (x) for 0 x 50. OPPGAVE G.7 (Eksamen UiO) La f være en funksjon definert på et intervall I. Alt vi vet om f er at det finnes en konstant K > 0 slik at Vis at f da må være konstant på I. f(a) f(b) K a b 2 for alle a, b I. OPPGAVE G.8 (Eksamen UiO) Anta at f er kontinuerlig i [a, b], to ganger derivérbar i (a, b), og at f(a) = f(d) = f(b) = 0 for en d (a, b). Vis at det finnes en c (a, b) slik at f (c) = 0.

4 4 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 OPPGAVE G.9 Du og en venninne løper Cooper-testen (som går ut på å løpe så langt dere klarer på en bane i løpet av 12 minutter). Når dere er ferdige har din venninne løpt nøyaktig dobbelt så langt. Vis at det finnes et tidspunkt der din venninne løp med en fart som var nøyaktig dobbelt så stor som din. OPPGAVE G.10 Hvorfor strider ikke konklusjonen i Oppgave b(2.8.20b)(2.6.20b) i læreboken med Teorem 12 i 2.8(2.6) i læreboken? Vurdér til slutt de seks siste linjene på side 287 i boken Sinus R1 brukt i VGS (se neste side).

5 Fasit/hint på neste side OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 5

6 6 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 Fasit og hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden Oppgave G.2 Hint: Bruk skjæringssetningen og sekantsetningen/rolles teorem (evt. monotoniegenskaper) på funksjonen f(x) = x 3 + 2x cos x. Oppgave G.3. Hint: Bruk sekantsetningen på f(x) = x 1+x 2 (med a og b byttet ut med x og y). Vis at f (x) 1. Oppgave G.4. Forutsetningene for bruk av Rolles teorem er ikke oppfylt, siden f ikke er derivérbar i 0. Oppgave G.5. (a) v(t) = v 0 + kt kt2 og s(t) = v 0 t kt kt3. (Hint: husk at v(t) = s (t) og a(t) = v (t) = s (t) og løs problemet som et initialverdiproblem.) (b) Ved tiden v 0 k. (Hint: løs likningen v(t) = v 0 + kt kt2 = 2v 0 med hensyn på t.) Oppgave G.6. T (x) = 6 5 x Oppgave G.7. Hint: regn ut den deriverte ved hjelp av definisjonen og bruk den oppgitte ulikheten med a = x og b = x + h. LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen