OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45. Oppgaver til seminaret 10/11. Oppgaver til gruppene uke 46

Transkript

1 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45 Avsn. 7.1: 3, 4 Avsn. 7.9: 22 På settet: S.1, S.2 Oppgaver til seminaret 10/11 Oppgaver til gruppene uke 46 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn , 2, 6, 7, 18 Avsn , 6, 11, 18, 21 På settet G.1, G.2 G.3, G.4, G.5, G.8, G.9, G.10, G.6, G.7 G.11, G.12, G.13 NB! De konstante løsningene på separable differensialligninger har ved en feil falt ut av lærebokens eldre utgaver, også i fasit og løsningsmanual. F.eks. mangler løsningen y(x) = 0 i Oppgave i løsningsmanualens eldre utgaver. Oppgavene under Mer dybde behandles i 2. time av det raske seminaret 17/11. Obligatoriske oppgaver Oppgavene 4, 5 og 6 i Obligatorisk innlevering 4 (innleveringsfrist mandag 20/11 kl 14:00). 1

2 2 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiO) (a) Vis (uten å derivere høyresiden) at dersom a og k er to tall forskjellig fra 0, så er e kt sin at dt = ekt (k sin at a cos at) + C a 2 + k2 (b) Vis at uttrykket i (a) kan skrives som e kt e kt sin at dt = sin(at + φ) + C a2 + k2 for en passende vinkel φ. (c) Et firma planlegger å bygge en demning over en elv. Vanntilførselen i elven varierer med årstidene, men firmaet anslår at dersom vi måler tiden i måneder og vannmassene i millioner kubikkmeter, vil vanntilførselen per måned være ( π ) sin 6 t. Vann slippes ut av demningen i en mengde som er proporsjonal med den totale vannmengden i demningen, og proporsjonalitetsfaktoren er 1/2. Hvis y(t) er vannmengden i demningen ved tiden t, vis at y (t) + 1 ( π ) 2 y(t) = sin 6 t. Finn løsningen y(t) når y(0) = 0. (d) Demningen er tom ved tiden t = 0. Firmaet ønsker å være sikre på at demningen aldri oversvømmes. Hvor stor må kapasiteten være? OPPGAVE S.2 (Eksamen NTNU) Et firma dyrker og selger en bestemt bakteriekultur. Bakteriekulturen vokser med en rate som er proporsjonal (proporsjonalitetsfaktor k) med bakteriemengden til enhver tid, og fordobler seg i løpet av ett døgn. (a) Finn proporsjonalitetsfaktoren k. Når bakteriemengden har nådd et visst nivå M 0 kg, begynner en å høste 10 kg pr. døgn. Høstingen antas å foregå kontinuerlig og med konstant rate. (b) Still opp differensialligningen som bakteriemengden M = M(t) oppfyller etter at høstingen er begynt, og finn M(t) når en antar at høstingen starter ved tiden t = 0, dvs. M(0) = M 0. Hvor stor må M 0 være for at bakteriemengden skal holde seg konstant?

3 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45 3 OPPGAVE G.1 (Eksamen UiO) Et svømmebasseng er fylt med liter badevann som inneholder 0, 004 % klor målt i volum per volumenhet. Eieren synes klorprosenten er for høy og begynner derfor å tappe ut liter per dag samtidig som bassenget fylles opp med liter per dag nytt badevann som kun inneholder 0, 001% klor. Vi antar her at blandingen vann/klor hele tiden er perfekt. La y(t) betegne antall liter klor som finnes i badevannet ved tiden t (målt i dager), der vi setter t = 0 når prosessen begynner. Forklar hvorfor y tilnærmet er en løsning av differensialligningen y y = 1 2, og regn ut hvor lang tid det tar før klorprosenten er nede i 0, 003%. OPPGAVE G.2 (Eksamen NTNU) En 250 liters tank inneholder 200 liter saltlake med en konsentrasjon på 100 gram salt per liter. Fra tiden t = 0 strømmer en annen saltlake med konsentrasjon 200 gram salt per liter inn i tanken med en hastighet på 3 liter per minutt. Samtidig lekker tanken med en konstant hastighet på 2 liter per minutt. Vi antar at væsken i tanken blandes øyeblikkelig, slik at saltlaken som renner ut til enhver tid har samme konsentrasjon som laken i resten av tanken. (a) La s(t) være antall gram salt i tanken og t være tiden i minutter. Begrunn kort at s tilfredstiller differensiallikningen ds dt = 600 2s t. (b) Hvor mange minutter tar det fylle tanken, og hvor mye salt er det i tanken på det tidspunktet? OPPGAVE G.3 (Eksamen NTNU) Forskere har over flere år foretatt tellinger av en hvalart og har utfra tellingene lagt fram forslag til fangstkvoter. Dersom forslaget blir fulgt, vil hvalbestanden ved tidspunktet t etter fangststart endre seg med en rate som er proporsjonal med produktet av hvalbestanden P (t) og e αt, hvor α er en positiv konstant. Skriv opp differensialligningen som hvalbestanden P (t) oppfyller etter at fangsten har startet, og løs denne med initialbetingelsen P (0) = P 0. Vis at når t nærmer hvalbestanden seg en konstant.

4 4 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45 OPPGAVE G.4 (Eksamen UiO) 10 millioner tonn søppel blir ved tiden t = 0 deponert på en midlertidig lagringsplass. Søppelet inneholder tonn av et skadelig stoff som brytes med en jevn fart av 5% per år. (a) La y(t) være prosentandelen av skadelig stoff i søppelet etter t år. Forklar hvorfor y (t) = 0.05y(t), y(0) = 2 og vis at y(t) = 2e 0.05t. (b) Søppelet blir overført til en permanent lagringsplass med en jevn fart av 1/2 million tonn per år. På den nye lagringsplassen blir søppelet behandlet slik at det skadelige stoffet brytes ned med en fart av 10% per år. La z(t) være antall millioner skadelig stoff på den nye lagringsplassen etter t år. Forklar hvorfor (c) Vis at z(t) = 1 5 e 0.05t 1 5 e 0.1t. z (t) = 0.1z(t) e 0.05t, z(0) = 0. OPPGAVE G.5 (Eksamen NTH) Et vannkar fremkommer ved å dreie kurven x = 4 sin y, for 0 y π 2 om y-aksen. (Benevning for x og y er dm.) Sett opp et integral (uten å regne ut integralet) for vannvolumet når vanndybden midt i karet er h. Karet fylles med vann. Vannmengden som strømmer ned i karet per tidsenhet er konstant og lik 2 liter per minutt. Hvor fort øker vanndybden h når h = π/6 dm? OPPGAVE G.6 (Eksamen NTNU) La k være et positivt tall, og la R være området i xy-planet begrenset av kurvene y = x k, y = h (h > 0) og y-aksen (se figur). (a) Området R roteres om y-aksen. Vis at volumet V til rotasjonslegemet er gitt ved V = V (h) = π 1+2/k h1+2/k. (b) Rotasjonslegemet gjøres om til en vanntank, og fylles med vann til en høyde lik 1. Deretter tappes vannet ut ved å bore et lite hull i bunnen. Ifølge en fysisk lov (Torricellis lov) vil vannet strømme ut med en hastighet som er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden over hullet. Hvis vi setter proporsjonalitetsfaktoren lik 1, har vi altså at dv = y, hvor y er dt vannhøyden. På grunn av Torricellis lov finnes det en verdi av eksponenten

5 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45 5 k som gjør at vannhøyden avtar med konstant hastighet. Finn denne verdien av k. Hvor lang tid tar det før tanken er tom med denne verdien av k? (Svaret vil komme ut som et ubenevnt tall, siden vi har underslått alle enheter ovenfor.) OPPGAVE G.7 (Eksamen NTNU) La funksjonen f være gitt ved f(x) = 2e x2 x. (a) Vis at f har nøyaktig ett nullpunkt c og at c (0, 1). (b) La R være området i første kvadrant begrenset av koordinataksene og kurven y = f(x). Vis at volumet, V, av omdreiningslegemet som fremkommer ved å rotere R om y-aksen er gitt ved V = π 3 (6 3c 2c3 ). (c) Finn c med en nøyaktighet på tre desimaler vha. Newtons metode og bruk dette til å anslå en tilnærmet verdi av V. OPPGAVE G.8 (Eksamen NTNU) En boreplattform slepes med hastighet av 10 km/timen idet slepewiren ryker. Plattformen siger videre, bent fram. Anta at intet gjøres for å stoppe den, men at hastigheten avtar med en rate som er proporsjonal med kvadratet av hastigheten til enhver tid. Etter 5 minutter er hastigheten sunket til 8 km/timen. Hvor lang tid tar det før hastigheten er sunket til 0, 5 km/timen? Hvor lang strekning har da plattformen drevet?

6 6 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45 OPPGAVE G.9 (Eksamen NTH) Figuren viser en kulekalott av høyde h og radius a i en kule med radius r (kulekalotten er den øvre del av figuren). Finn volumet til kulekalotten, uttrykt ved a og h, ved å rotere et passende plant område om en passende akse. Du kan anta at h r. OPPGAVE G.10 (Eksamen UiO) Finn alle funksjoner y = f(x) med følgende egenskap: La P være et vilkårlig punkt på grafen til f og T P tangentlinjen til f i punktet P. Da deles det rette linjestykket mellom T P s skjæringspunkter med koordinataksene på midten av punktet P. OPPGAVE G.11 (Eksamen NTNU) I en innsjø er det en fiskebestand som på grunn av en lekkasje fra en nærliggende fabrikk sluttet å formere seg ved tidspunktet t = 0. Målinger viser at endringen i fiskebestanden pr. tidsenhet etter dette er omvendt proporsjonal med kvadratroten av fiskebestanden. Det var 900 fisk i innsjøen da utslippet skjedde, og en måling etter 657 dager viste at det da var 441 levende fisk i innsjøen. Hvor mange dager vil det ta før all fisk er død? OPPGAVE G.12 I denne oppgaven studerer vi en bakteriekultur i en næringsoppløsning på en plate. Bakteriene formerer seg med en hastighet som er proporsjonal med antall bakterier til enhver tid. Langs ytterkanten av kulturen er temperaturen imidlertid litt for lav, slik at det dør bakterier med en hastighet som er proporsjonal med kvadratroten av

7 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45 7 antall bakterier til enhver tid. La oss kalle de to proporsjonalitetskonstantene for k og l, henholdsvis, med k > 0 og l > 0. (a) Still opp differensialligningen som modellerer antallet bakterier y(t) som funksjon av tiden. (b) La y 0 være antallet bakterier ved tiden t = 0. Vis hvordan vi kan utlede fra differensialligningen vi fant i (a) at vi har y(t) = ( y0 l k ) e 1 2 kt + l k (c) Vurdér hva som skjer med bakteriekulturen i hvert av de tre tilfellene (i) y 0 > l k. (ii) y 0 = l k. (iii) y 0 < l k. OPPGAVE G.13 (Eksamen NTNU) En innsjø har et volum på m 3. Anta konsentrasjonen av et forurensende stoff er 2.5 kg/m 3 ved tidspunktet t = 0. En elv tilfører innsjøen vann som inneholder 0.5 kg/m 3 av det forurensende stoffet. Vannet fra elven strømmer med konstant hastighet m 3 pr. dag inn i innsjøen. En annen elv fjerner hver dag m 3 vann fra innsjøen. Vi antar at vannet i innsjøen til enhver tid er perfekt blandet. Når vil konsentrasjonen av det forurensende stoffet i innsjøen være redusert til 1 kg/m 3? Fasit/hint på neste side

8 8 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45 Fasit og hint til oppgavene Oppgave S.1. (a) Se Eks. 4 i 6.1 i læreboken for en helt tilsvarende utledning. (b) Hint: Husk formel [ for sinus av sum/differanse av vinkler fra P.7 i læreboken. (c) y(t) = ( π 6 ) sin ( π t) π cos ( π t)] + ( 60π 40) e t π 2 2. (d) Minst 53, milllioner kubikkmeter. ( ) Oppgave S.2.(a) k = ln 2. (b) dm = km 10, M(t) = 10 + M dt ln t, ln 2 M 0 = 10. ln 2 Oppgave G ln 3 sekunder. 2 Oppgave G gram. [Generell løsning på diffligningen er s(t) = 200(200+ t) + C. Bruk at s(0) = = ] (200+t) 2 dp Oppgave G.3. = ke αt P (t), der k er proporsjonalitetskonstanten. P (t) = dt P 0 e k α (1 e αt). 2 Oppgave G.5. 2 dm/min. (Hint: vannvolumet du finner først er V (h), en π funksjon av h, gitt ved et integral av typen h dv. Du kan finne ved hjelp av fundamentalteoremet i kalkulus, uten å måtte eksplisitt regne ut V (h). kjerneregelen: dv = dv dh.) dt dh dt 0 dh Bruk så Oppgave G.6. (a) Skivemetoden: V = h 0 π(y1/k ) 2 dy. Sylinderskallmetoden: V = h 1/k 2πx(h x k )dx. (b) Ved (a) og Torricellis lov får vi y 1/2 = d [ π 0 dt 1+2/k y1+2/k ] = 2/k dy dy πy, som gir at er konstant hvis og bare hvis k = 4. Tanken er tom for t = π. dt dt Oppgave G.7. (a) For eksistens av nullpunkt c: Bruk at f er kontinuerlig med f(0) > 0 og f(1) < 0 og skjæringssetning. For å konkludere at c er entydig (eneste nullpunkt): bruk f.eks. at f (x) < 0 når x 0, slik at f er avtagende og kan dermed kun ha ett nullpunkt i [0, ), og merk at f(x) > 0 når x (, 0] (lett!), slik at f ikke kan ha nullpunkt i (, 0]. (b) V = 2π c xf(x) dx og bruk substitusjonen 0 u = x 2 og likheten 2e c2 c = 0 fra (a). (c) c = 0, 896 (etter fire iterasjoner). Siden f(0, 8955) > 0 og f(0, 8965) < 0, ser vi at c (0, 8955, 0, 8965), slik at c = 0, 896 med en nøyaktighet på tre desimaler. Oppgave G.8. 6 timer og 20 min, 10 ln 20 9, 99 (km). 3 π Oppgave G.9. Volumet er: 6 h(3a2 + h 2 ). [Rotér f.eks. området r h y r2 x 2, 0 x a om x-aksen. Fra figuren er r = a2 +h 2 Oppgave G.10. y = C x Oppgave G dager. Oppgave G.12. (a) dy = ky l y. dt Oppgave G.13. Etter 32 ln dager. 2h.] LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen