MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en antiderivert av. Merk at sin(x + π (sin x) ) = cos x. Da er (sin x) = (cos(x π = tan(x π )) ) + C siden (cos x) = tan x + C. Dermed har vi π (sin x) a +[tan(x π )] π a a +( tan(a π )) = a +(tan(π π ) tan(a π ) så grensen finnes ikke. Vi konkluderer med at integralet divergerer a) Arealet under grafen til f(x) = x, x <, er x x [ln t ]b (ln b ln ) ln b = Volumet vi får om vi dreier A rundt x-aksen er V = π(f(x)) = π = π( + ) = π < b) Arealet under grafen til g(x) = x, < x, er = π lim x [ x ]b = π lim ( b ( )) B = x a + a x a +[ x] a a +( a) = < Volumet vi får når vi dreier B om x-aksen er V = π(g(x)) = π = π lim x a + a x = π[ln x ] a = π lim ln a) = π lim a +(ln ln a = a + 4. november 7 Side av 6

2 9.5. La oss først se på I = på I = x( ln x) p. x ln x p. For < x er ln x = ln x. Vi ser derfor Sett u = ln x, da er du = x. La oss se på det tilsvarende ubestemte integralet. { du ln u hvis p = x( ln x) p = u p = u p p hvis p Obs: Her har vi ikke tatt med +C, ettersom vi skal bruke det ovenstående til å regne ut et bestemt integral, og da forsvinner konstanter uansett. Så om p =, er Om p er x( ln x) p = lim y +[ln ln x ] y = lim y +(ln ln ln ln y ) = x( ln x) p = lim y + [ ( ln x) p p ] y ( ( ln = lim ) p y + p ) ( ln y) p p ( ln y) p Det første leddet her betyr ingenting. Dersom p < vil p når y +. ( ln y) p Dersom p > vil p når y +. Vi konkluderer med at I konvergerer for p > og divergerer for p. Vi ser nå på I = x ln x. For x < er ln x = ln x. Sett u = ln x, som gir p du = x. La oss finne en antiderivert: du x(ln x) p = u p = Hvis p = er da x(ln x) p [ln ln y x ] Dersom p, er [ (ln x) p x(ln x) p y p ] { ln u hvis p = u p p hvis p (ln ln y ln ln ) = y ( (ln x) p y p ) (ln ) p p Av samme grunner som over vil dette divergere om p < og konvergere om p >. Vi konkluderer med at I = x ln x er konvergent om p >, og divergent om p. p Ekstraoppgave a) Volumet av Gabriels trompet er V = y π(f(x)) π y x = π lim [ y y x] = π lim ( y y ( )) = π lim ( y y ) = π Så Gabriels trompet har endelig volum. 4. november 7 Side av 6

3 b) Overflatearealet av Gabriels trompet finner vi ved den oppgitte formelen: Vi vet at A = π = π f(x) + (f (x)) = π x + x 4 > >, + x 4 A > π x = x + ( x x ) og dette siste integralet divergerer mot ved Setning Ved sammenlikningskriteriet 9.5. vil integralet som gir arealet også være divergent mot. Altså har Gabriels trompet uendelig overflate... f) Vi har at y (x) =. Om y er en løsning av differensiallikningen y + xy = +x x 3 må vi ha at + x arctan x = x3 + x som ikke er tilfelle. For å vise dette ser vi for eksempel at venstre og høyre side er ulike for x =. Venstre side blir mens høyre side blir. Dermed er y ikke en løsning av differensiallikningen...5 Vi skriver om likningen til xy + y = xe x, x > Vi gjenkjenner venstre side som d (xy) ved produktregelen. Derfor er d (xy) = xe x Høyre side gjenkjenner vi som (ex ) ved kjerneregelen (eller vi kan bruke substitusjon for å finne dette, sett u = x ). Dermed er Vi integrerer begge sider og får (xy) = ( ex ) xy = ex + C ved analysens fundamentalteorem. Da er løsningene gitt ved for C R, x >. y(x) = x ( ex + C) = x ex + C x 4. november 7 Side 3 av 6

4 .. Veksten i befolkningen per år er.y(t). Tilskuddet per år på grunn av innvandring er 4, slik at y (t) =.y(t)+4. Ekvivalent skriver vi y (t).y(t) = 4. Integrerende faktor er e.dt = e.t. Vi multipliserer ligningen med denne og får e.t y.e.t y = 4e.t Med andre ord (e.t y) = 4e.t Ved å integrere begge sider av likningen får vi e.t y(t) = e.t + C som vi skriver om til den generelle løsningen Initialbetingelsen y() = gir y(t) = Ce.t y() = C = som gir C = 4. Løsningen blir derfor y(t) = 4e.t..6 Opplysningene i oppgaven gir T (t) = α(t (t) ), hvor α er konstanten som angir hvordan T (t) blir ut fra temperaturdifferansen T (t) T omgivelser, og her er T omgivelser =. Ved å skrive om får vi T (t) αt (t) = α Integrerende faktor eg e αt. Vi multipliserer hele likningen med denne og får e αt T (t) αe αt T (t) = αe αt Vi kjenner igjen venstresiden som (e αt T ), og høyresiden som (e αt ). Ved å integrere begge sider får vi derfor som vi kan skrive om til e αt T (t) = e αt + C T (t) = + Ce αt Vi må nå finne C og α. Siden T () = 7 har vi så C = 6. Videre er T (3) = 4, så 7 = T () = + Ce α = + C 4 = T (3) = + 6e α 3 3 = 6e 3α = e3α 4. november 7 Side 4 av 6

5 Tar ln på begge sider: Dermed ender vi opp med Temperaturen ved t = 6 er da 3α = ln( ) = ln α = ln 3 T (t) = + 6e ln 3 t T (6) = + 6e ln 3 6 = ( 3 x3 ) = x, så e 3 x3 er integrerende faktor. Ved å multiplisere likningen med denne faktoren får vi e 3 x3 y + x e 3 x3 y = x e 3 x3 Venstresiden gjenkjenner vi som (e 3 x3 y), og høyresiden gjenkjenner vi som (e 3 x3 ), så ved å integrere får vi e 3 x3 y = e 3 x3 + C som vi skriver om til y = + Ce 3 x3 Det gjenstår å finne C. Vi vet at y() =, så + Ce 3 3 = Ce 3 C = e 3 = Dermed er y(x) = e 3 e 3 x3.4.3 Har at T (x) = at b + x som vi skriver om til T T = a b + x vi integrerer begge sider med hensyn på x: (T (x)) T (x) = a b + x Men venstre side er bare T dt ved substitusjon/kjerneregelen. Dermed får vi T = a ln b + x + C som vi først skriver om til T = a ln b + x + C 4. november 7 Side 5 av 6

6 Ved å invertere begge sider får vi T = a ln b + x + C Det gjenstår å finne C. Vi vet at T () = T. Altså Vi inverterer igjen og får T = a ln b + + C = a ln b + C T = a ln b + C C = T a ln b Ved å sette dette inn i uttrykket for T får vi T = a ln b + x + T a ln b T = T (a ln b + x a ln b ) + T = T a ln b+x b + 4. november 7 Side 6 av 6