UNIVERSITETET I BERGEN

Transkript

1 Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl Dette er kun et løsningsforslag. Gitt funksjonen f(x) = x 3 e x Oppgave a) Finn eventuelle nullpunkt til f. Avgjør hvor f er voksende og hvor den er avtakende og finn eventuelle ekstremalpunkt. Ligningen f(x) = x 3 e x = gir oss et nullpunkt x =. f (x) = 3x 2 e x + x 3 ( e x ) = x 2 (3 x)e x f = hvis x = eller x = 3 Første deriverte f > for x (, ) (, 3) og f < for x (3, ). Funksjonen f er voksende på (, 3) og avtakende på (3, ). f har absolut (globalt) maksimum i punkt x = 3. Punkt x = er ikke ekstremalpunkt. b) Finn f (x), bestem konkavitet og eventuelle vendepunkt. f (x) = (6x 3x 2 )e x + (3x 2 x 3 )( e x ) = (x 3 6x 2 + 6x)e x f = hvis x = eller x = 3 3 eller x = Annenderiverte f > og funksjonen f er konveks for x (, 3 3) (3 + 3, ). f < og f er konkav for x (, ) (3 3, 3 + 3). Det finnes tre punkter x =, x = 3 3 og x = c) Finn asymptoter til f. Skisser grafen til f. Funksjon f(x) har en asymptote y = for x.

2 2 La oss oppsummere resultater fra punkter a) og b) i tabellen. x f f + + f max vend. vend. vend y x Figure. Markerte punkter har koordinater (, ), (3 3, f(3 3)), (3, f(3)) og (3 + 3, f(3 + 3)). Regn ut følgende grenseverdier Oppgave 2 a) lim x ( x 6 + 3x 3 x 3 ), b) lim x ln( + x) x sin(x 2 ) a) lim ( x 6 + 3x 3 x 3 ( x6 + 3x ) = [ ] = lim 3 x 3 )( x 6 + 3x 3 + x 3 ) x x ( x 6 + 3x 3 + x 3 ) lim x x 6 + 3x 3 x 6 ( x 6 + 3x 3 + x 3 ) = lim x 3 ( ) x 3 = 3 2

3 3 b) ln( + x) x lim x sin(x 2 ) x (+x) = lim x cos(x 2 ) 2x = lim x hvor vi har brukt L Hôpitals regel. = [ ] = lim +x x cos(x 2 ) 2x Oppgave 3 2( + x) cos(x 2 ) = 2, La f(x) = x. a) Bestem Taylorpolynomet P 2 (x) av 2. grad (kvadratisk approksimasjon) til f(x) i punktet x = 4. f (x) = 2 x /2, f (x) = 2 I punktet x = 4 har vi P 2 (x) = f(4) + f (4)! ( ) x 3/2 = 2 4 x 3/2 f(4) = 2, f (4) = 4, f (4) = 32. (x 4) + f (4) (x 4) 2 = 2 + 2! 4 (x 4) (x 4)2 64 b) La E 2 (x) være restleddet til tilnærmelsen P 2 (x) funnet over. Gi et uttrykk for E 2 (x). E 2 (x) = f (s) (x 4) 3, 3! hvor s er et punkt som ligger mellom 4 og x; f (x) = ( 3 ) x 5/2 = x 5/2 c) Benytt P 2 (x) til å regne ut en tilnærmet verdi for f(5). Benytt uttrykket for E 2 (x) til å estimere feilen i denne tilnærmelsen. f(5) P 2 (5) = (5 4) 64 (5 4)2 = = Fordi E 2 = 3! f (s)(5 4) 3, hvor 4 < s < /2 f (s) /2, for 4 < s < 5

4 4 får vi at E 2(5) 3 5/ /2 Vi regner ut grenser for feilen i x = 5 gitt ved. 4 5 E 2(5) 52.2 a) Regn ut følgende integral i) Oppgave 4 (x 2 + ) arctan x, ii) x x 3 + 5x 2 + 6x i) Vi infører en ny variabel θ = arctan x, dθ = : +x 2 dθ (x 2 + ) arctan x = = ln θ + C = ln arctan x + C θ ii) Vi vil bruke delbrøksoppspaltning. Nevneren er faktorisert i irredusible polynomer x 3 + 5x 2 + 6x = x(x 2 + 5x + 6) = x(x + 2)(x + 3). Vi vil derfor skrive vår rasjonale funksjon på formen x x 3 + 5x 2 + 6x = A x + B x C x + 3 Vi sammenligner koeffisienter og får A(x 2 + 5x + 6) + Bx(x + 3) + Cx(x + 2) = x 2 + 6, (A + B + C)x 2 + (5A + 3B + 2C)x + 6A = x 2 + 6, A + B + C =, 5A + 3B + 2C =, 6A = 6. Løsningen er Det betyr at A =, B = 5, C = 5. x x 3 + 5x 2 + 6x = x 5 x x + 3 og vi kan finne integralet x x 3 + 5x 2 + 6x = x 5 x x + 3

5 5 = ln x 5 ln x ln x C b) Avgjør om det uegentlige integralet konvergerer eller divergerer. og + x 4 Vi bruker Sammenlikningskriteriet (Teorem 3, s. 346). Siden x 4 = lim R R < + x 4 < x 4 [ x = lim ] R ( = lim 4 R 3x 3 R 3R + ) = konkluderer vi at det uegentlige integralet konvergerer. +x 4 Løs differensialligningen Oppgave 5 y 2 x y = x2 e x med initialkravet y() =. Førsteordens lineær differensialligning. Vi multipliserer begge sider med : x 2 x 2 y 2 x y = 3 ex, ( ) x 2 y + y = e x, x 2 ( y ) = e x, x 2 og integrerer y x = 2 ex + C. Løsningen for differensialligningen blir da Vi setter inn y() = : y = x 2 (e x + C). = 2 (e + C), C = e. Initialverdiproblemet har løsningen

6 6 y(x) = x 2 (e x e). Oppgave 6 Beregn volumet som fremkommer ved å rotere området avgrenset av y = og y = sin x for x π om x-aksen. Beregn volumet som fremkommer ved å rotere det samme området om y-aksen.. Når vi roterer om x-aksen har vi formelen V = π π f 2 (x) = π π sin 2 x = π 2. Når vi roterer om y-aksen har vi V = 2π π xf(x) = 2π π π cos 2x = π 2 x sin x = 2π [ x cos x + sin x] π = 2π2, [ ] π x sin 2x = π hvor vi har brukt x sin x = x( cos x) = x cos x ( cos x)x = x cos x+sin x+c Oppgave 7 I denne oppgaven beregner vi det bestemte integralet 8 () 2 x numerisk. a) Finn en tilnærmet verdi for integralet ved hjelp av Simpsons metode med 6 delintervall. = 3 Vi bruker Simpsons methode med a = 2, b = 8, 6 delintervaller (n = 6) og avstand h = b a =. Metoden gir da n S 6 = h 3 (y + 4y + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + 4y 5 + y 6 ) ( ) = b) Finn feilskranken for den tilnærmede verdien som du fikk i punkt a). Finn det bestemte integralet () ved antiderivasjon og vis at den tilnærmede verdien som du fikk i punkt a) oppfyller denne feilskranken. Feilen for Simpsons metode er b K(b a) f(x) S n h 4, 8 a

7 7 hvor K = max f (4) (x). x [a,b] f(x) = x, f (x) = x, f (x) = 2 2 x, f (x) = 6 3 x, f (4) (x) = 24 4 x 5 Derfor får vi K = max 24 x [2,8] x 5 = 24 2 = og b a 8 f(x) S n 3 4 (8 2) 4 = 8 4 =.25 2 x = ln x 8 2 = ln 8 ln 2 = ln Den tilnærmede verdien oppfyller den teoretiske feilskranken: =.4 <.25 c) Hvor mange delintervall bør vi bruke for å finne en tilnærmet verdi for integralet () ved Simpsons metode med feil mindre enn 3? Vi omskriver feilen for Simpsons metode som b K(b a)5 f(x) S n. 8n 4 a Vi ønsker at feilen skal være mindre enn 3 : K(b a) 5 < 3. 8n 4 Det holder når n 4 K(b a)5 > 8, ( ) 3 K(b a) 5 /4 ( 3 ) /4 (8 2)5 4 n > = = Dette betyr at vi får god nok nøyaktighet ved å velge n = 4. Roman Kozlov Per Manne