Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Transkript

1 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011

2 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

3 3 Voksende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f definert på intervallet I kalles 1 voksende hvis f(a) < f(b) for alle par a < b av tall i I. 2 avtagende hvis f(a) > f(b) for alle par a < b av tall i I.

4 4 En konsekvens av mellomverdisatsen Korollar (3) Anta at f er kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på (a, b). 1 Hvis f (x) < 0 for hver x i (a, b) så er f avtagende på [a, b]. 2 Hvis f (x) > 0 for hver x i (a, b) så er f voksende på [a, b]. Eksempel Finn de kritiske punktene til f(x) = x 3 3x 1 og hvor den vokser og avtar.

5 5 Førstederiverte-testen for lokale ekstrema Setning Gitt kritisk punkt c for kontinuerlig funksjon f og la f(x) være deriverbar i et intervall rundt c, muligens med untak av i c. Lest fra venstre til høyre, hvis 1 f endrer verdi fra negativ til positiv, i c så har f(x) lokalt minimum i c 2 f endrer verdi fra positiv til negativ, i c så har f(x) lokalt maksimum i c 3 f ikke endrer verdi fra negativ til positiv, i c så har f(x) hverken lokalt minimum elller lokalt maksimum i c.

6 6 Eksempel Eksempel Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning:

7 6 Eksempel Eksempel Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x

8 6 Eksempel Eksempel Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x Vi faktoriserer f (x) = 2 (x 1) (x + 3) e x

9 6 Eksempel Eksempel Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x Vi faktoriserer f (x) = 2 (x 1) (x + 3) e x Kritiske punkter x = 1 og x = 3.

10 6 Eksempel Eksempel Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x Vi faktoriserer f (x) = 2 (x 1) (x + 3) e x Kritiske punkter x = 1 og x = 3. (x + 3) (x 1) f (x)

11 6 Eksempel Eksempel Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x Vi faktoriserer f (x) = 2 (x 1) (x + 3) e x Kritiske punkter x = 1 og x = 3. (x + 3) (x 1) f (x) f(x) øker på (, 3], har maks i x = 3, avtar på [ 3, 1], minimum i x = 1 og øker på [1, )

12 Kapittel 4.4. Konkavitet og kurve-skisser

13 8 Konkavitet Definisjon (Konkavitet) En funksjon er konkav opp på et åpent intervall I hvis f øker på intervallet I. En funksjon er konkav ned på et åpent intervall I hvis f avtar på intervallet I.

14 9 Andre-deriverttesten for konkavitet Setning La f(x) være 2 ganger deriverbar. Dvs f (x) er fefinert for alle x I og f (x) også eksisterer. Da gjelder 1 Hvis f (x) > 0 på I, så er grafen til f(x) konkav opp på I. 2 Hvis f (x) < 0 på I, så er grafen til f(x) konkav ned på I.

15 10 Vendepunkt Definisjon (Vendepunkt) Et vendepunkt er et punkt på grafen til en funksjon der konkaviteten skifter y = 3 x 1 π/2 π/2 y = sin x

16 11 Andrederiverttesten for lokale ekstrema Teorem Anta at f (x) er kontinuerlig på et åpent inervall som inneholder c. Hvis f (c) = 0 og 1 f (c) < 0, så har f lokalt maksimum i x = c. 2 f (c) > 0, så har f lokalt minimum i x = c. 3 f (c) = 0, så feiler testen. Eksempel Anvend teoremet på y = x 4, y = x 3 og y = x x 4 1 x

17 12 Strategi illustrert ved eksempel Eksempel Tegn grafen til funksjonen x x Symmetrier, definisjonsmengde?? 2 Finn y og y 3 Finn de kritiske punktene 4 Hvor stiger kurven og hvor avtar kurven? 5 Finn vendepunkter og bestem konkavitet. 6 Finn asymptotene 7 Tegn inn punktene fra 1 til 6 og skisser kurven

18 Kapittel 4.5. Anvendt optimering

19 14 Distanse - tid optimering Problem En turist skal gå fra en parkeringsplass (P) til en hytte (H). Hytta ligger 8 kilometer sør for et punkt (C) på veien som ligger 20 km vest for parkeringsplassen. I terenget kan han gå 3 km/h, men langs veien kan han gå i 5 km/h. Hvor langt fra P bør han gå langs veien for å komme fortest frem. C 20,0 km Vei P 8,0 km H

20 14 Distanse - tid optimering Problem En turist skal gå fra en parkeringsplass (P) til en hytte (H). Hytta ligger 8 kilometer sør for et punkt (C) på veien som ligger 20 km vest for parkeringsplassen. I terenget kan han gå 3 km/h, men langs veien kan han gå i 5 km/h. Hvor langt fra P bør han gå langs veien for å komme fortest frem. C 20,0 km Vei P 8,0 km H

21 14 Distanse - tid optimering Problem En turist skal gå fra en parkeringsplass (P) til en hytte (H). Hytta ligger 8 kilometer sør for et punkt (C) på veien som ligger 20 km vest for parkeringsplassen. I terenget kan han gå 3 km/h, men langs veien kan han gå i 5 km/h. Hvor langt fra P bør han gå langs veien for å komme fortest frem. C 20,0 km Vei x km? P 8,0 km H

22 14 Distanse - tid optimering Problem En turist skal gå fra en parkeringsplass (P) til en hytte (H). Hytta ligger 8 kilometer sør for et punkt (C) på veien som ligger 20 km vest for parkeringsplassen. I terenget kan han gå 3 km/h, men langs veien kan han gå i 5 km/h. Hvor langt fra P bør han gå langs veien for å komme fortest frem. 20,0 km C Vei P tid = vei x km? fart 8,0 km H

23 14 Distanse - tid optimering Problem En turist skal gå fra en parkeringsplass (P) til en hytte (H). Hytta ligger 8 kilometer sør for et punkt (C) på veien som ligger 20 km vest for parkeringsplassen. I terenget kan han gå 3 km/h, men langs veien kan han gå i 5 km/h. Hvor langt fra P bør han gå langs veien for å komme fortest frem. 8,0 km 20,0 km C Vei P tid = vei H x km? fart t = x (20 x) 2 3

24 15 Optimerigsproblem løsning tiden det tar å gå t = x (20 x) 2 3

25 15 Optimerigsproblem løsning tiden det tar å gå t = x (20 x) 2 3 Setter den deriverte av tiden mhp x lik 0 dt dx = x (20 x) = 0 2

26 15 Optimerigsproblem løsning tiden det tar å gå t = x (20 x) 2 3 Setter den deriverte av tiden mhp x lik 0 dt dx = x (20 x) = 0 2 Løser problemet x = 14

27 15 Optimerigsproblem løsning tiden det tar å gå t = x (20 x) 2 3 Setter den deriverte av tiden mhp x lik 0 Løser problemet dt dx = x (20 x) = 0 2 x = 14 Han må gå 14 km langs veien før han tar av inn mot hytta.

28 16 Areal - optimering Problem En rektangulær formet park skal anlegges på en øy som er formet som en halvsirkel. Øyas diameter er 200 meter. Vi vil at parkens areal skal være størst mulig. Hva blir dens bredde og lengde? 200 meter

29 16 Areal - optimering Problem En rektangulær formet park skal anlegges på en øy som er formet som en halvsirkel. Øyas diameter er 200 meter. Vi vil at parkens areal skal være størst mulig. Hva blir dens bredde og lengde? Lengde = x 2 Bredde = x x meter 200 meter

30 16 Areal - optimering Problem En rektangulær formet park skal anlegges på en øy som er formet som en halvsirkel. Øyas diameter er 200 meter. Vi vil at parkens areal skal være størst mulig. Hva blir dens bredde og lengde? x meter Lengde = x 2 Bredde = x A = 2x x 2 A 2 = x 2 4x meter

31 16 Areal - optimering Problem En rektangulær formet park skal anlegges på en øy som er formet som en halvsirkel. Øyas diameter er 200 meter. Vi vil at parkens areal skal være størst mulig. Hva blir dens bredde og lengde? x meter Lengde = x 2 Bredde = x A = 2x x 2 A 2 = x 2 4x 4 2AA = x 16x 3 = meter

32 16 Areal - optimering Problem En rektangulær formet park skal anlegges på en øy som er formet som en halvsirkel. Øyas diameter er 200 meter. Vi vil at parkens areal skal være størst mulig. Hva blir dens bredde og lengde? x meter 200 meter Lengde = x 2 Bredde = x A = 2x x 2 A 2 = x 2 4x 4 2AA = x 16x 3 = 0 x = 100/ 2 70,71 meter.

33 Kapittel 4.6. Ubestemte former og L Hôpitals regel

34 18 Repetisjon om grenser Regel (Grenser av brøkuttrykk) Hvis så er f(x) og g(x) er kontinuerlig i x = c og g(c) 0 lim x c f(x) g(x) = f(c) g(c)

35 18 Repetisjon om grenser Regel (Grenser av brøkuttrykk) Hvis så er f(x) og g(x) er kontinuerlig i x = c og g(c) 0 Eksempel lim x c f(x) g(x) = f(c) g(c) x lim x 0 cos x = 1 1 = 1

36 19 Ubestemt form 0/0 og / Hvilke grenseuttrykk er på ubestemt form 0/0 og / : sin x 1 lim x 0 x 2 lim x 2 x 2 x lim x sin x x ln x 4 lim x e x

37 19 Ubestemt form 0/0 og / Hvilke grenseuttrykk er på ubestemt form 0/0 og / : sin x 1 lim : 0/0 x 0 x 2 lim x 2 x 2 x lim x sin x x ln x 4 lim x e x

38 19 Ubestemt form 0/0 og / Hvilke grenseuttrykk er på ubestemt form 0/0 og / : sin x 1 lim : 0/0 x 0 x x 2 2 lim x 2 x 2 : Ingen av dem (grensen er 0/2 = 0) 2 3 lim x sin x x ln x 4 lim x e x

39 19 Ubestemt form 0/0 og / Hvilke grenseuttrykk er på ubestemt form 0/0 og / : sin x 1 lim : 0/0 x 0 x x 2 2 lim x 2 x 2 : Ingen av dem (grensen er 0/2 = 0) 2 sin x 3 lim : Ingen av dem. (Grensen går mot 0, sandwich x x teoremet) ln x 4 lim x e x

40 19 Ubestemt form 0/0 og / Hvilke grenseuttrykk er på ubestemt form 0/0 og / : sin x 1 lim : 0/0 x 0 x x 2 2 lim x 2 x 2 : Ingen av dem (grensen er 0/2 = 0) 2 sin x 3 lim : Ingen av dem. (Grensen går mot 0, sandwich x x teoremet) ln x 4 lim x e x : /