Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
|
|
|
- Sondre Våge
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011
2 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens
3 3 Alternerende rekker Definisjon En alternerende rekke er en rekke der hvert ledd er annenhver positivt og negativt. Eksempel ( 1)n+1 n ( 1)n n ( 1) n+1 n +
4 4 Alternerende rekketest Teorem (Leibniz s teorem) Rekken ( 1) n+1 u n n=1 konvergerer hvis hver av følgende tre betingelser er oppfyllt
5 4 Alternerende rekketest Teorem (Leibniz s teorem) Rekken ( 1) n+1 u n n=1 konvergerer hvis hver av følgende tre betingelser er oppfyllt 1 Alle u n -ene er positive.
6 4 Alternerende rekketest Teorem (Leibniz s teorem) Rekken ( 1) n+1 u n n=1 konvergerer hvis hver av følgende tre betingelser er oppfyllt 1 Alle u n -ene er positive. 2 u n u n+1 for alle n N for et tilstrekkelig stort naturlig tall N.
7 4 Alternerende rekketest Teorem (Leibniz s teorem) Rekken ( 1) n+1 u n n=1 konvergerer hvis hver av følgende tre betingelser er oppfyllt 1 Alle u n -ene er positive. 2 u n u n+1 for alle n N for et tilstrekkelig stort naturlig tall N. 3 u n 0
8 5 Den alternerende harmoniske rekken Eksempel (Den alternerende harmoniske rekken) ( 1) n+1 1 n = n=1
9 6 Estimering av alternerende rekker Hvis en alternerende rekke tilfredstiller kriteriene for Leibniz s teorem så estimerer den n-te delsummen s n = u 1 u 2 + u ( 1) n+1 u n rekken med en absoluttverdi av feilen mindre enn det første ubrukte leddet a n+1.
10 7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001
11 7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0, > 0,0001
12 7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0, > 0,0001 u 2 = 0, > 0,0001
13 7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0, > 0,0001 u 2 = 0, > 0,0001 u 3 = 0, > 0,0001
14 7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0, > 0,0001 u 2 = 0, > 0,0001 u 3 = 0, > 0,0001 u 4 = 0, > 0,0001
15 7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0, > 0,0001 u 2 = 0, > 0,0001 u 3 = 0, > 0,0001 u 4 = 0, > 0,0001 u 5 = 0, > 0,0001
16 7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0, > 0,0001 u 2 = 0, > 0,0001 u 3 = 0, > 0,0001 u 4 = 0, > 0,0001 u 5 = 0, > 0,0001 u 6 = 0, < 0,0001
17 7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0, > 0,0001 u 2 = 0, > 0,0001 u 3 = 0, > 0,0001 u 4 = 0, > 0,0001 u 5 = 0, > 0,0001 u 6 = 0, < 0,0001 Da er estimatet av summen lik u 1 u 2 +u 3 u 4 +u 5 = 0,
18 8 Absolutt og betinget konvergens Definisjon (Absolutt konveregens) En rekke a n konvergerer absolutt hvis a n konvergerer. Definisjon (Betinget konvergens) En rekke som konvergerer men som ikke konvergerer absolutt kalles betinget konvergent. Teorem (Absolutt konvergens-test) Hvis a n konvergerer så konvergerer n=1 n=1 a n
19 9 Absolutt konvergens-test Eksempel (Absolutt konvergens-test) ( 1) n+1 1 n 2 n=1 cos n 2 n=1 n 2 ( 1) n+1 n p n=1
20 10 Omstokking av ledd Teorem Hvis n=1 a n konvergerer absolutt og b 1, b 2, b 3,... er en vilkårlig re-arrangering av leddene a 1, a 2, a 3,... så er a n = n=1 n=1 b n
21 Kapittel 8.7. Potensrekker
22 12 Potensrekker Definisjon (potensrekke om x = 0) En rekke på formen c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x c n x n + n=0 kalles en potensrekke om x = 0. Eksempel n=0 x n = 1, når x < 1 1 x
23 13 Potensrekker Definisjon (potensrekke om x = a) En rekke på formen c n (x a) n = c 0 +c 1 (x a)+c 2 (x a) 2 +c 3 (x a) 3 + +c n (x a) n + n=0 kalles en potensrekke om x = a.
24 14 Potensrekker Eksempel Rekken 1 (x 1) + (x 1) ( 1) n (x 1) n +
25 14 Potensrekker Eksempel Rekken 1 (x 1) + (x 1) ( 1) n (x 1) n + 1 Geometrisk rekke ar n med r = (x 1) og a = 1.
26 14 Potensrekker Eksempel Rekken 1 (x 1) + (x 1) ( 1) n (x 1) n + 1 Geometrisk rekke ar n med r = (x 1) og a = 1. 2 Konvergent for r = x 1 < 1. Dvs for 0 < x < 2.
27 14 Potensrekker Eksempel Rekken 1 (x 1) + (x 1) ( 1) n (x 1) n + 1 Geometrisk rekke ar n med r = (x 1) og a = 1. 2 Konvergent for r = x 1 < 1. Dvs for 0 < x < 2. 3 Sum lik 1 x
28 15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x:
29 15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) =
30 15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) = 1 2 P 1 (x) = 2 x
31 15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) = 1 2 P 1 (x) = 2 x 3 P 2 (x) = x 2 3x
32 15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) = 1 2 P 1 (x) = 2 x 3 P 2 (x) = x 2 3x P 3 (x) = x 3 + 4x 2 6x
33 15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) = 1 2 P 1 (x) = 2 x 3 P 2 (x) = x 2 3x P 3 (x) = x 3 + 4x 2 6x
34 16 Konvergens av potensrekker Eksempel For hvilke x konvergerer rekkene ( 1) n 1 x n n n=1 = x x x 3 3 (1) x 2n 1 2n 1 n=1 = x x x 5 5 (2) x n n! n=0 = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + (3) n!x n = 1 + x + 2!x 2 + 3!x 3 + 4!x 4 + (4) n=0
35 17 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0
36 17 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0 1 Konvergerer for x = c 0, så konvergerer den absolutt for x < c
37 17 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0 1 Konvergerer for x = c 0, så konvergerer den absolutt for x < c 2 Divergerer for x = d, så divergerer den for x > d
38 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0
39 Setning Konvergensen til 1 Rekken c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0
40 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R
41 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R.
42 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R. 2 Rekken konvergerer absolutt for alle x (R = )
43 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R. 2 Rekken konvergerer absolutt for alle x (R = ) 3 Rekken konvergerer i x = a og divergerer ellers (R = 0)
44 19 Konvergensradius til en potensrekke Definisjon Størrelsen R kalles for konvergensradiusen til potensrekkenrekken. Definisjon Intervallet der potensrekken konvergerer kalles konvergensintervallet til potensrekken
45 20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R
46 20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten
47 20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest
48 20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest
49 20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest eller alternerende rekketest.
50 20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest eller alternerende rekketest. 3 For x a > R, DIVERGERER potensrekken
51 21 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0
52 21 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil.
53 21 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil. Vi deriverer f(x) ved å derivere ledd for ledd f (x) = n c n (x a) n 1 n=1 f (x) = n(n 1) c n (x a) n 2 n=2
54 21 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil. Vi deriverer f(x) ved å derivere ledd for ledd f (x) = n c n (x a) n 1 n=1 f (x) = n(n 1) c n (x a) n 2 n=2 De deriverte konvegerer også for x a < R.
55 22 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0
56 22 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0 1 Da konvergerer c n (x a) n+1 for x a < R. n + 1 n=0
57 22 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0 1 Da konvergerer 2 f(x) dx = c n (x a) n+1 for x a < R. n + 1 n=0 c n (x a) n+1 + C for x a < R. n + 1 n=0
58 23 Multiplikasjon av potensrekker ( ) ( ) ( ) a n x n b n x n = c n x n n=0 n=0 n=0 Hva er c n? Setning n c n = a 0 b n + a 1 b n a n b 0 = a k b n k k=0
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
Rekker, Konvergenstester og Feilestimat
NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag
= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka.
Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1 med Jørgen Endal Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesning 1 (kap.
Potensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Oversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
UNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
MAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102
Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise
Forelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av
Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
Generelle teoremer og definisjoner MA1102 Grunnkurs i analyse II - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA110 Grunnkurs i analyse II - NTNU Lærebok: Kalkulus, Universitetsforlaget, 006, 3. utgave av Tom Lindstrøm Jonas Tjemsland 9. april 015 3 Komplekse tall 3.1 Regneregler
1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
MA1102 Grunnkurs i Analyse II Vår 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i Analyse II Vår 215 Løsningsforslag Øving 5 11.3:3 f n (x) = 2n+1 x? = x 1 2n+1. (Det er muligens en forskjell
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
MA1102 Grunnkurs i Analyse II Vår 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA2 Grukurs i Aalyse II Vår 27 Løsigsforslag Øvig 7 2.5: For hvilke x kovergerer rekke? b) (2x) c) (l x) e) 2 si x 2 b) Dette er
n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:
Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
Taylor- og Maclaurin-rekker
Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva
f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Emnekode: MA 40 Emnenavn: Analyse Dato: 9. desember 999 Varighet: 09.00-5.00 Antall sider inklusivt forside: Tillatte hjelpemidler: Merknader: 2 Alle, også
MAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid
Forelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag på 19. oktober 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
Alternerende rekker og absolutt konvergens
Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem
Løsningsforslag til eksamen i MAT1110, 13/6-07
Løsningsforslag til eksamen i MAT, 3/6-7 Oppgaveteksten er gjengitt i kursiv Oppgave : a) Finn de stasjonære (kritiske) punktene til f(x, ) = x + 4x Løsning: Finner først de partiellderiverte: (x, ) x
Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av
Løsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1
TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om
NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
Løsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z
Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle
Løsning til prøveeksamen i MAT2400, V-11
Løsning til prøveeksamen i MAT400, V-11 Oppgave 1 a) Vi ser at den deriverte f (x) = 1 1+x alltid er mindre enn eller lik 1 i tallverdi. Gitt to punkter x, y R, finnes det ifølge middelverdisetningen en
Oblig 3 - fasit. 1. Avgjør hvilken konvergenstest som vil avgjøre konvergensen til rekka (og stopp der; du skal ikke utføre testen): n ln n.
Oblig 3 - fasit. Avgjør hvilken konvergenstest som vil avgjøre konvergensen til rekka og stopp der; du skal ikke utføre testen): a) b) c) d) e) n n ln n n te-terms-test. Den divergerer. n + 6 3 n n n 3
Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017
Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning
x 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.
TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =
Anvendelser av potensrekker
Anvendelser av potensrekker Forelest: 6 Okt, 2004 Vi kan bare skrape på toppen av isfjellet som er anvendelsene av potensrekker En spesielt viktig anvendelse er innenfor enhver form for differensialligninger
Figur 2: Fortegnsskjema for g (x)
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 998 Oppgave a) g) = e ) = e ) Figur : Fortegnsskjema for g) g) > 0 for < 0 og > og g) < 0 for 0 <
Institutionen för Matematik, KTH
Institutionen för Matematik, KTH Lösningsforslag till tentamen, 200-2-7, kl. 8.00-.00. 5B04, Envariabel. Uppgift. Den karakteristiske ligningen r 2 r + 2 0 kan omskrives som (r )(r 2) 0. Den generelle
Eksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n 3
TMA4 Høst 26 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4.2.8 Vi setter f(x) = x 2 3. Da blir f (x) = 2x, og iterasjonen blir f (x n ) = x n x2 n 3 2x n () Siden vi har
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 n x 1 n x 2 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
R2 Eksamen V
R V011 R Eksamen V011-1.05.011 Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) 1) Kjerneregel: fx sin u, u x f x cosu 4 cosx ) Produktregel (og kjerneregel på cosx): g x x cosx x sin x xcosx x sin x ) Kjerneregel:
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon
SIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag
SIF53 Matematikk 1, 6. desember 2 Oppgave 1 Dreid om y aksen: iv). Dreid om x = 1: iii). Oppgave 2 Om bredden på rektanglet er 2x og høyden er y finner vi for det ukjente arealet A og den kjente omkretsen
x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover
Prt I M1101 1 Grunnleggende 1.1 Noen symboler Union A B i A og/eller B Snitt A B i både A og B Element i B er et element i B Undersett A B A er et undersett v B Skikkelig undersett A B A er et undersett
Oppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.
Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)
Derivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen
3 Oversikt over Mtemtikk Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens v ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivsjon Sekntsetningen Integrsjon Differensilligninger Kurver i plnet Rekker
. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sin θ = 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 00 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 3.7 99 Vi deriverer to ganger: = A cos (ln ) B sin (ln ) = A cos (ln ) A sin (ln ) + B sin (ln ) B cos (ln
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Prøveeksamen 2 Eksamensdag: Onsdag 14. November 2014. Tid for eksamen:
Forelesning i Matte 3
Forelesning i Matte 3 Determinanter H. J. Rivertz Institutt for matematiske fag 1. februar 008 Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære radoperasjoner Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.
Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker analysedelen av pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på anvendelser av teorien enn på
EKSAMENSOPPGÅVE. Kalkulator, Rottmanns tabellar og 2 A4 ark med eigne notater (4 sider).
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: Mat-2, Kalkulus 2 Dato: 2. mai 28 Klokkeslett: 9.-. Stad: Asgårdvegen 9 Lovlege hjelpemiddel: Kalkulator, Rottmanns tabellar og 2 A4
Test, 2 Algebra. Innhold. 2.1 Tallfølger. R2, Algebra Quiz
Test, Algebra Innhold. Tallfølger.... Tallrekker.... Uendelige geometriske rekker... 7. Induksjonsbevis... 0 Grete Larsen. Tallfølger ) En rekursiv formel uttrykker et ledd i en tallfølge ved hjelp av
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
9 + 4 (kan bli endringer)
Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 29. april 25 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) 2x 3 4/x dx b) c) 2 5