Alternerende rekker og absolutt konvergens

Transkript

1 Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne forelesnngen skal v kun gjøre 2 tng: V skal se på en egen metode for å vurdere alternerende rekker. V skal ntrodusere en sammenlgnngsmetode der rekker som kke alltd er postve blr sammenlgnet med postve rekker for å avgjøre konvergens.

2 Rekker: Metode 0, Alternerende rekke-test I boka: Kapttel 8.5, Theorem 8, The Alternatng Seres Test. Regel/Formel: ( Lebnz test ) Rekka S = ( ) u = u u 2 + u 3 u = konvergerer dersom følgende tre betngelser er oppfylt ( alle fall for alle n N for en vss N):. u 0 2. u u + 3. lm u = 0 Merk: Går rekka stedet for er det bare å gange med så har du e rekke som passer formelen, så du trenger egentlg kke ta hensyn tl om rekka starter på + eller -, så lenge den alternerer. Regel/Formel: ( Felestmat ) For e rekke av typen regelen over kan tllegg s n hvor god tlnærmng delsummen s n = ( ) u er tl summen av rekka, S. V har: fel = S s n u n+ = Altså: Felen du får ved å stoppe etter å ha lagt sammen de n første termene er kke større enn verden på term n +. Eksempel: (8.5.2) ( )? = 3 2 Svar: Rekka alternerer, så v tester for de tre betngelsene Lebnz test.. u = 3 2 > 0 2. Sden + > er ( + ) 3 2 > 3 2, og da er 3. lm 3 2 = lm ( ) 3 ( 2 = lm ) 3 2 = 0 (+) 3 2 <

3 Rekka tlfredsstller de tre betngelsene, og v vet derfor at Rekka konvergerer Eksempel: (8.5.6) ( ) ln? =2 Svar: V tester for de tre betngelsene Lebnz test.. u = ln > 0 når > 2. Denne er ltt mer jobb. Se på f(x) = ln x. Hvs den derverte av denne funksjonen x er mndre enn 0 fra og med en vss verd av x, er ln x ln(x+). V derverer, og får x x+ f (x) = ln x, som er mndre enn 0 når x >. Så da holder ulkheten u x 2 u +. ln l 3. lm Hop == lm = 0 (Gjør l Hoptal-mellomregnngen som en øvelse) Rekka tlfredsstller de tre betngelsene, og derfor vet v at Rekka konvergerer Eksempel: (8.5.46) Spørsmål: S = ( ) + 0 = n Hvor stor felberegnng gjør v ved å bruke s n = ( ) + som tlnærmng tl S? 0 = Svar: Rekka tlfredsstller de tre betngelsene Lebnz test. Da ser felestmat-regelen Fel = S s n u n+ = 0 n+ Eksempel: (8.5.48) Spørsmål: S = + t = ( ) + t, 0 < t < =0 Hvor stor felberegnng gjør v ved å bruke s n = n =0 ( ) t som tlnærmng tl S = +t?2 Denne oppgaven forbereder oss på potensrekker og Taylor-rekker. 2 V kjenner gjen uttrykket som formelen for e geometrsk rekke med a = og r = t. 3

4 Svar: Når 0 < t < tlfredsstller rekka de tre betngelsene Lebnz test. Da ser felestmat-regelen at s n kke lgger mer enn u n+ unna S: Fel = S s n u n+ = t n+ 4

5 Rekker: Metode, Absolutt konvergens I boka: Kapttel 8.5, Theorem 0, The Absolute Convergence Test. Regel/Formel: ( Absolutt konvergens-test ) Hvs a konvergerer, så konvergerer a Denne konvergens-testen er altså på mange måter en latmanns-test: Den ser at hvs v har e rekke der v både trekker fra og legger tl termer kan v late som om v bare legger sammen termene, og se om v kan bruke noen av konvergens-testene for postve rekker. Metoden er så enkel at den er lett å undervurdere, men den er essensell når v kommer tl potensrekker og Taylor-rekker, eller når v har lyst tl å rearrangere rekker for å gjøre dem lettere å regne på. På grunn av at metoden er så vktg har den avstedkommet en egen defnsjon: Defnsjon E rekke a konvergerer absolutt dersom a konvergerer. Defnsjonen ser altså kke noe annet enn at hvs v bruker regelen over, den absolutte konvergens-testen, så får v postvt svar. En mndre nyttg defnsjon som dere vl støte på oppgavene er Defnsjon 2 E rekke a konvergerer absolutt. konvergerer betnget dersom den konvergerer, men kke Altså: E rekke konvergerer betnget når: Den konvergerer, men v kke klarer å bruke absolutt konvergens-test for å vse det. Metode:. Undersøk rekka ved absolutt konvergens-test, altså ved å teste om a konvergerer. Hvs testen gr postvt svar, ser v at rekka konvergerer absolutt. Merk at v ofte må bruke nye konvergens-tester gjen for å teste om a konvergerer. 2. Hvs absolutt konvergens-test kke konkluderer med at rekka konvergerer, kan v kke konkludere med at rekka dvergerer, men kun at en måte å teste konvergens på felet. Undersøk konvergens med en eller flere andre metoder: (a) Hvs en annen konvergens-test gr postvt svar, ser v at rekka konvergerer betnget. (b) Hvs en annen konvergens-test gr negatvt svar, dvergerer rekka. (c) Hvs heller kke de andre testene gr noen konklusjon, vet v kke om rekka konvergerer eller dvergerer. 5

6 Eksempel: (8.5.) Svar: = ( ) + absolutt eller betnget, eller dvergerer den? 2. Absolutt konvergenstest: V bruker absolutt konvergenstest, og trenger altså å sjekke om konvergerer. 2 = Sjekk av : Rekka er e p-rekke med p = 2 >, og konkluderer derfor. 2 = V konkluderer: Rekka konvergerer Eksempel: (8.5.20) Svar: =2 ( ) + ln( 3 ) absolutt eller betnget, eller dvergerer den?. Absolutt konvergenstest: V bruker absolutt konvergenstest, og trenger altså å sjekke om ln( 3 ) konvergerer. =2 Sjekk av ln( 3 ) : V skrver opp formelen for termene: a = =. For å ln( 3 ) 3 ln =2 fnne ut om konvergerer, bruker v grensesammenlgnngstesten. 3 ln Bruker grensesammenlgnngstesten: V må fnne en b å sammenlgne med. V husker lsta n n > n! > k n > n p > (ln n) q > k > (ln n) q > n p > k n > n! > n n Det fnnes ngen forenklnger v kan gjøre på a for å lage b. Det neste v da kan gjøre er å lete ltt tl høyre eller venstre på lsta. V går tl høyre, og prøver b = : a n c = lm b n = lm 3 ln = lm 3 ln 6 l Hop = lm 3 =

7 V er altså case 3 grensesammenlgnngstesten, c =. Vdere vet v at b = er e p-rekke med p =, så den dvergerer. Konklusjon av grensesammenlgnngstesten: V kan konkludere at 3 ln dvergerer. Merk: V må kke nå konkludere at ( ) + ln( 3 ) dvergerer! V kan kun = konkludere med at en gtt konvergenstest - den absolutte konvergenstesten - kke førte frem. Kanskje vl andre tester vrke? V prøver Annen konvergenstest: ( ) + er e alternerende rekke. V tester på de ln( 3 ) =2 tre betngelsene Lebnz test: (a) u =. Sden ln x > 0 for x >, blr u 3 ln postv. (b) ln x er en voksende funksjon, så da er en avtagende funksjon. Derfor er u u +. (c) V anser det som kjent at lm ln ln x Rekka vår konvergerer altså. V kan da konkludere: Rekka konvergerer betnget. Eksempel: (8.5.30) Svar: = 0, så da er lm u = 0. ( 5) absolutt eller betnget, eller dvergerer den? =. Absolutt konvergens-test betyr å prøve om 5 konvergerer. Men det er en = geometrsk rekke med r = 5 >, så den dvergerer. 2. Annen konvergens-test: V skal nå undersøke om rekka kunne konvergere betnget, ved å anvende en annen konvergenstest. Den lestteste testen er gjen testen for geometrsk rekke, for rekka selv er e geometrsk rekke med r = 5. Sden r = 5 = 5 >, dvergerer rekka. 7