MA1102 Grunnkurs i Analyse II Vår 2015

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i Analyse II Vår 215 Løsningsforslag Øving :3 f n (x) = 2n+1 x? = x 1 2n+1. (Det er muligens en forskjell i definisjonen av de to uttrykkene ovenfor for negative x. Med x 1 m, m N mener man ofte det komplekse tallet z med minst argument slik at z m = x. Hvis x er positiv, vil z være et reelt positivt tall. Hvis x er negativ mener man med m x (mte-roten av x) det reelle negative tallet y slik at y m = x. m Altså, x = ( x) 1 m og uttrykket er dermed bare definert når m er oddetall. Det er viktig å være klar over denne forskjellen når man bruker matematisk software. I matlab kan dette illustreres slik: (-8)ˆ(1/3) = i nthroot(-8,3) = -2. Alt dette er ikke kritisk for oppgaven. Forskjellen mellom punktvis og uniform konvergens er like tydelig ved å bare definere domenet til å være [, ).) a) Vis at {f n } konvergerer punktvis mot en funksjon f. b) Vis at f ikke er kontinuerlig. c) Konvergerer {f n } uniformt? Løsning: a) Ettersom 2n + 1 er et oddetall vil domenet til f n være R for alle n. Anta først at x >. Da vil f n(x) x 1 2n+1 = x = 1. Figur 1: n=1, n=2, n=4 28. februar 215 Side 1 av 5

2 Anta så at x <. Da vil f n(x) fordi x er et positivt tall. Tilslutt, hvis x = er 2n+1 x = ( x) 1 2n+1 = 1 f n(x) 1 2n+1 =. Funksjonsfølgen konvergerer altså punktvis mot funksjonen 1, hvis x > f(x) :=, hvis x = 1, hvis x <. Løsning: b) Grensefunksjonen f er åpenbart ikke kontinuerlig i x =. Vi har f.eks. at x x f(x) 1 = 1 = f(). Løsning: c) Nei. Vi har at f n er kontinuerlig for alle n. Så hvis {f n } konvergerte uniformt mot f så ville f også vært kontinuerlig ved teorem Vi kan også sjekke dette direkte: d R(f, f n ) sup{ f(x) x 1 2n+1 : x R} sup{ f(x) x 1 2n+1 : x (, 1]} sup{ 1 x 1 2n+1 : x (, 1]} 1 = 1. Den første likheten følger av definisjonen av avstanden mellom to funksjoner. Ulikheten følger av at vi finner supremum på en mindre mengde. Den tredje likheten følger av at 1 er det minste tallet som alltid er større enn avstanden mellom 1 og x 1 2n+1 for alle x (, 1], (x 1 2n+1 går mot når x går mot ). 11.3:7 f n (x) = nxe nx2. Vis punktvis konvergens mot en funksjon f på R. Avgjør om det er uniform konvergens i hvert av de tre intervallene [, ), [a, ), [, b] der a > og b >. Løsning: 28. februar 215 Side 2 av 5

3 Figur 2: n=1, n=2, n=4, n=8 Punktvis: f n () = for alle n. Anta x, f n(x) nxe nx2 = x = x n, e nx2 1 x 2 =. e nx2 [ / ] l Hôp Følgen konvergerer altså punktvis mot funksjonen f(x) på R. (Symbolet brukes her for å betone at f er identisk lik. Det er ingen feil i å definere en funksjon f som f(x) =, men visuelt kan dette kanskje forveksles med ligningen for nullpunktene til funksjonen). Uniform: d [, )(f, f n ) sup{ f(x) nxe nx2 : x} sup{nxe nx2 : x}. Vi må finne supremum (maximum) til f n (x) = nxe nx2 på [, ) for en gitt n: Funksjonen er positiv for x >, starter i for x = og går mot når x går mot uendelig. Videre er f n(x) = ne nx2 + nxe nx2 ( 2nx) = ne nx2 (1 2nx 2 ) (.1) og vi ser at det er ett kritisk punkt i x = 1/ 2n. Funksjonen må dermed ha et maksimum der. Nå er f(1/ 2n) = n 2n e 1/2 = n 2e, så d [, )(f, f n ) sup{ f(x) nxe nx2 : x} Konvergensen er altså ikke uniform. sup{nxe nx2 : x} n 2e = =. 28. februar 215 Side 3 av 5

4 Anta nå at a >. Fra utrykket for den deriverte i (.1), ser vi at for store nok n vil f n være synkende for alle x [a, ). Dermed vil f n ha maxverdi f n (a) = nae na2 og og konvergensen er uniform. d [a, )(f, f n ) sup{nxe nx2 : a x} nae na2 = På intervallet [, b] vil konvergensen ikke være uniform pga. at det kritiske punktet alltid vil ligge i intervallet for store nok n. 11.4:2 f n (x) = { n < x < 1/n ellers. a) Vis at {f n } konvergerer punktvis mot en funksjon f. b) Vis at f n(x) dx f(x) dx. Løsning: a) Hvis x så er f n (x) =. Hvis x > så finnes en (stor nok) N slik at 1/n x for alle n > N. Dermed er også da f n (x) = og grensefunksjonen er nullfunksjonen f(x). Løsning: b) Vi har at f(x) dx = dx =, men f n (x) dx /n n 1 = 1. n dx ) ( 1 n 11.4:3 f n (x) = nxe nx2. Vis at f n f punktvis mot en funksjon f, men at f n (x) dx f n(x) dx = f(x) dx. 28. februar 215 Side 4 av 5

5 Løsning: Dette er samme funksjonsfølge som i oppgave 11.3:7 der vi viste at f(x). Høyre side blir selvsagt, mens f n (x) dx = n = n 2 = n 2 ( 1 n xe nx2 dx, e nu du ) 1 e nu = 1 2 (1 e n ) 1 2 sub: u = x 2, du = 2x dx, samme grenser når n. Grafene i figur 2 forklarer dette fenomenet: Selv om grafen blir smalere blir den også høyere for hver n. Dette skjer på en slik måte at integralet (arealet under grafen) konvergerer mot en positiv verdi og ikke mot null. 28. februar 215 Side 5 av 5