TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved å bruke trigonometriske identiteter (se f.eks. Rottmann s. 88 eller trigident.pdf). f(x) = cos x g(x) = sin 4 x + sin x h(x) = (sin x sin x). Vi har som med litt regning gir sin mx sin nx = 1 [cos(m n)x cos(m + n)x] sin mx cos nx = 1 [sin(m n)x + sin(m + n)x] cos mx cos nx = 1 [cos(m n)x + cos(m + n)x], f(x) = 1 ( cos x + cos x) 4 g(x) = 7 8 cos x + 1 cos 4x 8 h(x) = 1 cos x 1 cos x + cos x 1 cos 4x. Siden fourierrekken til en funksjon f er den eneste trigonometriske rekken som er lik f er dette nødvendigvis fourierrekkene til f, g, h. a) Hvilke av følgende funksjoner er jamne? Hvilke er odde? Hvilke er hverken jamne eller odde? (i) sin(x ) (ii) 1/(1 x) + 1/(1 + x) (iii) x log x (iv) e x (v) e x e x (vi) x + x Vi skal sjekke hvorvidt f( x) = f(x) (jamn) eller f( x) = f(x) (odde). Får at (i) og (ii) er jamne, (v) og (vi) er odde, mens de resterende er hverken eller. b) Finn alle funksjoner som er både odde og jamne. 1. januar 1 Side 1 av 9

2 Løsningsforslag Øving Dersom en funksjon f er både jamn og odde har vi at f( x) = f(x) og f( x) = f(x). Dermed er f(x) = f(x), så f(x) =. Den eneste funksjonen som er både jamn og odde er altså f(x) =. c) Vis at enhver funksjon kan skrives som en sum av en odde og en jamn funksjon. Hint: f(x) + f( x). La f være en vilkårlig funksjon. Vi ser at funksjonen f(x) + f( x) er odde, mens er jamn. Videre er f(x) f( x) f(x) = f(x) + f( x) + f(x) f( x), som dermed gir f som en sum av en odde og en jamn funksjon. La f(x) = π x for x π. a) Skisser den jamne π-periodiske utvidelsen av f. Finn fourier cosinus-rekken til f Vi har a = 1 π f(x) dx = 1 π π x dx = π 1. januar 1 Side av 9

3 Løsningsforslag Øving og vi får så fourier cosinus-rekken blir a n = π f(x) = π + (π x) cos nx dx = (1 cos nπ) πn = πn (1 ( 1)n ), πn (1 ( 1)n ) cos nx. b) Skisser den odde π-periodiske utvidelsen av f. Finn fourier sinus-rekken til f. Litt regning gir at så fourier sinus-rekken blir b n = π f(x) = (π x) sin nx dx = n sin nx. n 4 Vis at den π-periodiske funksjonen definert ved f(x) = πx x π, x π er en jamn funksjon. (Merk at formelen over spesifiserer funksjonen på intervallet x π.) 1. januar 1 Side av 9

4 Løsningsforslag Øving Funksjonsuttrykket over forteller oss ikke direkte hva f er for negative x- verdier, men siden f er π-periodisk må vi ha at for x (slik at x [, π]) så er f( x) = f(π x) = π(π x) = πx x π = f(x). (π x) π Funksjonen er dermed jamn på [, π], og derfor jamn overalt. 5 a) Finn fourierrekken til den π-periodiske funksjonen gitt på < x < π som f(x) = x. Ser at f er jamn. Dermed er alle koeffisientene b n =. Videre får man at så fourierrekken er a = 1 π a n = 1 π x dx = π x cos nx dx = ( 1) n 4 n, f(x) = π + ( 1) n 4 cos nx. n b) Bruk Parsevals identitet til å vise at 1 π 4 9 = = 1 n 4. 1 Dette er ζ(4) der ζ er den berømte Riemann Zeta-funksjonen 1. januar 1 Side 4 av 9

5 Løsningsforslag Øving Parsevals identitet er: f(x) dx = π For funksjonen i oppgave a) får vi Siden gir (1) at x 4 dx = π [ a + ] a n + b n. [ π 4 ] n 4. (1) x 4 dx = π5 5, 1 n 4 = 1 ( ) π π4 = π Litt repetisjon av komplekse tall: a) Det komplekse tallet z har modulus z = π og argument ( principal argument ) arg(z) = π/6. Skriv z på kartesisk form z = x + yi. Gjør det samme for den konjugerte z til z. Har der r = π og θ = π/6. Får dermed z = re iθ = r(cos(θ) + i sin(θ)) z = π ( ) + i. Den konjugerte er b) Forenkl uttrykket z = π ( ) i. (1 i)( i) ( i)( + i) Vi har (1 i)( i) ( i)( + i) 4 7i = 8 + i ( 4 7i)(8 i) = (8 + i)(8 i) 9 5i = 65 = 1 ( + 4i) 5 c) Skriv z = 1 + i og w = i på polarform. Bruk resultatet til å beregne zw og z/w. 1. januar 1 Side 5 av 9

6 Løsningsforslag Øving Har z = 1 + i = e πi/4 w = i = e πi/. Får som er det samme som zw = e i(π/4+π/) = e 5πi/4, zw = ( 1/ i/ ) = (1 + i), som forventet. Får som er det samme som z/w = z/w = ei(π/4/) = eπi/4 ( 1 + i ) = 1 (1 + i). d) Finn argumentet (principal argument) θ, θ < π til tallet (1 + i) 19. Skriver først 1 + i = e πi/4. Får (1 + i) 19 = 19 e π19i/4. Vinkelen 19π/4 kan skrives som π/4 + 4π, og argumentet er θ = π/4. e) Finn de tre kubikkrøttene til z = 1 + i. Ser etter tall w som er slik at w = 1 + i = e πi/4. Skriv w = re iθ. Vil altså ha r e iθ = e πi/4, som gir r = 6, θ = π 4, Dette gir oss prinsipalroten De to andre røttene er w 1 = 6 e πi/4. w = 6 e i π/4+π = 6 e 11πi/1 w = 6 e i π/4+4π = 6 e 19πi/1. Husk at vi krever < θ π der θ er argumentet En kunne også ha funnet w 1 og w ved å bruke at de tre røttene danner en ekvilateral trekant på sirkelen med radius (hvis du ikke allerede har gjort det, tegn inn vinklene π/4, 11π/1 og 19π/1 på enhetssirkelen. Ser du trekanten?). 1. januar 1 Side 6 av 9

7 Løsningsforslag Øving 7 Finn både den komplekse og den reelle formen på fourierrekken til den π-periodiske funksjonen { 1, < x < f(x) = 1, < x < π. Vis at de er identiske. odde) og Den reelle fourierrekken har koeffisienter a = a n = (siden funksjonen er b n = π = { 4 nπ, 1 sin nx dx n odde, n jamn Dermed er fourierrekken (sin x + 1 sin x + 15 sin 5x + ) f(x) = 4 π = π 1 ( 1) n sin nx. n Den komplekse fourierrekken har koeffisienter c = 1 π så den komplekse fourierrekken blir pi 1 dx 1 π c n = 1 1e inx dx π = 1 ( e inπ 1 ) inπ = i nπ (( 1)n 1) f(x) = n= n 1 dx = () i nπ (( 1)n 1) e inx. () Vil vise at dette er sammme rekken som i (). Ser at n = k gir leddet i(( 1) n 1) e ikx kπ i summen (), som sammen med leddet med n = k adderer til i(( 1) n 1) kπ i(( 1) n 1) e ikx kπ ( e ikx e ikx) = i(( 1)n 1) i sin kx kπ = (1 ( 1) n ) sin kx, π k 1. januar 1 Side 7 av 9

8 Løsningsforslag Øving slik at den komplekse fourierrekken () kan skrives som f(x) = π 1 ( 1) n sin nx. n En alternativ fremgangsmåte for å finne den komplekse fourierrekken er å substituere inn i rekken (). sin nx = einx e inx i 8 Funksjonen f er definert på intervallet < x < π ved, < x < π f(x) = x, π < x < π π, < x < π Finn de trigonometriske polynomene F N (x) av grad N = 1,,, 4 som minimerer det kvadratiske avviket E N mellom f og F N E N = [f(x) F N (x)] dx. Angi numeriske verdier for det minste avviket E når N = 1,,, 4. Vi vet at delsummene S N til fourierrekken til f gir oss de beste tilnærmingene (minimererer kvadratisk avvik). Funksjonen er odde, og litt regning gir oss koeffisientene b n = { ( 1) n 1 πn, n odde ( 1) n 1 n, n jamn (4) De beste tilnærmingene er altså S 1 (x) = π sin x S (x) = π sin x + 1 sin x S (x) = π sin x + 1 S 4 (x) = π sin x + 1 sin x sin x 9π sin x 9π sin x 1 sin 4x. 4 Det kvadratiske avviket mellom delsummene S N og f kan skrives som [ ] π N EN = f(x) S N (x) dx = f(x) π a + (a n + b n). 1. januar 1 Side 8 av 9

9 Løsningsforslag Øving Vi får E N = / / = π 1 4 π x dx a + N,,5,... 1 n 4 π N,,5,... N n=,4,6,... ( ) πn + 1 n. N n=,4,6,... +frac1n Har E1 1. E.5 E.8 E januar 1 Side 9 av 9