Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,

Transkript

1 Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende to krav er oppfylt: I) 𝑃 er sann II) Dersom 𝑃 er sann for en 𝑘 ℕ, så er 𝑃 også sann. Da er 𝑃 sann for alle 𝑛 ℕ. La 𝑛 være et naturlig tall, og anta at for hver 𝑛 𝑛 har vi et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet: I) 𝑃 er sann. II) Dersom 𝑃 er sann for alle 𝑚 slik at 𝑛 𝑚 < 𝑘, så er 𝑃 også sann. Da er 𝑃 sann for alle naturlige tall 𝑛 𝑛. Kombinatorikk Dersom vi ønsker å plukke ut 𝑘 elementer fra en mengde av 𝑛 ulike objekter, så kan det gjøres 𝑛 på: forskjellige måter. 𝑘 Binomialformelen: 𝑎 + 𝑎 Mengder og lignende 𝐴 𝐵 A er en delmengde av B. 𝐵 {𝑥 𝐴 𝑥 ℎ𝑎𝑟 𝑒𝑔𝑒𝑛𝑠𝑘𝑎𝑝𝑒𝑛 𝑃} Delmengden B er de elementene i A som har egenskap P. Snittet 𝐴 𝐵 består av alle elementene som er med i begge mengdene. Unionen 𝐴 𝐵 består av alle elementene som er minst i en av mengdene. Trekantulikheten 𝑎+ 𝑎 + 𝑎 𝑎

2 Homogene differenslikninger 𝑥 𝑟𝑥 hvis og bare hvis det finnes et reelt tall C slik at 𝑥 𝐶𝑟 for alle n. 𝑥 + 𝑥 + 𝑐𝑥 0 med reelle koeffisienter Dersom den karakteristiske ligningen 𝑟 + 𝑟 + 𝑐 0 har to forskjellige reelle røtter, 𝑟 og 𝑟, så er den generelle løsningen til differensligningen: 𝑥 𝐶𝑟 + 𝐷𝑟 Dersom den karakteristiske ligningen 𝑟 + 𝑟 + 𝑐 0 bare har en (reel) rot 𝑟 0, så er den generelle løsningen til differensligningen: 𝑥 𝐶𝑟 + 𝐷𝑛𝑟 Inhomogene differenslikninger Anta at 𝑥 er en løsning av den inhomogene, annenordens differenslikningen: 𝑥 + 𝑥 + 𝑐𝑥 𝑓(𝑛) () Da vil de andre løsningene av () være: 𝑥 𝑥 + 𝑥 Der 𝑥 er en vilkårlig løsning av den homogene ligningen 𝑥 + 𝑥 + 𝑐𝑥 0 Konvergens av følger Konvergerer: lim 𝑎 𝑎 Divergerer: lim 𝑎 Definisjon av konvergens Følgen 𝑎 konvergerer mot et tall a dersom det for ethvert reelt tall 𝜀 > 0 (uansett hvor lite), finnes det et tall 𝑁 ℕ slik at 𝑎 𝑎 < 𝜀 for alle 𝑛 𝑁. I såfall skriver vi lim 𝑎 𝑎 Kontinuitet En funksjon 𝑓 er kontinuerlig i et punkt 𝑎 𝐷 dersom følgende gjelder. For enhver 𝜀 > 0 (uansett hvor liten), finnes det en 𝛿 > 0 slik at når 𝑥 𝐷 og 𝑥 𝑎 < 𝛿, så er 𝑓 𝑥 𝑓(𝑎) < 𝜀.

3 Bruk definisjonen av kontinuitet til å vise at funksjonen 𝑓 𝑥 5𝑥 + er kontinuerlig i punktet a. ℎ 𝑥 𝑥 +ℎ skal finne en 𝛿 > 0 slik at når ℎ 𝑥 < 𝛿, så er 𝑓 𝑥 𝑓 𝑓 𝑥 𝑓 <𝜀 5𝑥 + (5 + 5) 5𝑥 ℎ 0 5 ℎ Kan 5 ℎ bli mindre enn 𝜀 ved å sørge for at ℎ 𝑥 er tilstrekkelig liten? Velger 𝛿, da er ℎ 𝑥 𝑎 < 𝛿, og da er 𝑓 𝑥 𝑓 5 ℎ <5 𝜀 𝜀 5 Skjæringssetningen Anta at 𝑓: 𝑎, ℝ er en kontinuerlig funksjon hvor 𝑓(𝑎) og 𝑓() har motsatt fortegn. Da finnes det minst et tall 𝑐 (𝑎, ) slik at 𝑓 𝑐 0. Korollar 5.. Anta at 𝑔: 𝑎, ℝ og ℎ: 𝑎, ℝ er to kontinuerlige funksjoner slik at 𝑔 𝑎 < ℎ 𝑎 og 𝑔 > ℎ. Da finnes det en 𝑐 𝑎, slik at 𝑔 𝑐 ℎ 𝑐 The Intermediate-Value Theorem Anta at 𝑓: 𝑎, ℝ er en kontinuerlig funksjon. Hvis L er et reelt tall slik at 𝑓 𝑎 < 𝐿 < 𝑓() eller 𝑓 < 𝐿 < 𝑓(𝑎), da finnes det i hvertfall et tall 𝑐 (𝑎, ) slik at 𝑓 𝑐 𝐿. Ekstremalverdisetningen Et punkt 𝑎 er et maksimumspunkt for funksjonen 𝑓: 𝐷 ℝ dersom 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑥) for alle 𝑥 𝐷. Vi kaller 𝑎 et minimumspunkt dersom 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑥) for alle 𝑥 𝐷. Med et fellesnavn kaller vi slike punkter for ekstremalpunkter. La 𝑓: 𝑎, ℝ være en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall. Da har 𝑓 både maksimums- og minimumspunkt(er). Definisjonen av grenseverdier Anta at 𝑓 er definert i nærheten av 𝑎. Vi sier at 𝑓(𝑥) nærmer seg som grenseverdi når 𝑥 går mot 𝑎 dersom følgende gjelder. For ethvert tall 𝜀 > 0 (uansett hvor lite) finnes det et tall 𝛿 > 0 slik at 𝑓 𝑥 < 𝜀 for alle 𝑥 slik at 0 < 𝑥 𝑎 < 𝛿. lim 𝑓(𝑥)

4 Derivasjon 𝑓 𝑎+ℎ 𝑓 𝑎 𝑓 𝑥 𝑓(𝑎) 𝑓 𝑎 + 𝑥 𝑓(𝑎) lim lim ℎ 𝑥 𝑎 𝑥 𝑓 𝑎 lim 𝑓 𝑔 𝑎 𝑓 𝑎 𝑔 𝑎 𝑓 𝑎 𝑔 𝑎 𝑔 𝑎 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝐷 ln 𝑓 𝑥 Middelverdisetningen Anta at funksjonen 𝑓: 𝑎, ℝ er kontinuerlig, og at den er deriverbar i alle indre punkter 𝑥 𝑎,. Da finnes det et punkt 𝑐 𝑎, slik at 𝑓 𝑐 𝑓 𝑓(𝑎) 𝑎 Asymptoter Grafen har en vertikal asymptote når grenseverdien lim 𝑓 𝑥 er lik eller og lim 𝑓 𝑥 er lik eller Linjen 𝑦 𝑎𝑥 + er en skråasymptote for funksjonen 𝑓 når 𝑥 dersom avstanden mellom linjen og funksjonsgrafen går mot null når 𝑥 går mot : lim 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 + ± 0 Metode for skråasymptoter: I) Beregn lim () Dersom lim II) Dersom grenseverdien ikke finnes, er det ingen asymptote. () 𝑎, så: Beregn lim 𝑓 𝑥 𝑎𝑥. Dersom denne grensen ikke finnes er det ingen asymptote. Dersom lim 𝑓 𝑥 𝑎𝑥, så er 𝑦 𝑎𝑥 + en asymptote for 𝑓 når 𝑥 Injektive funksjoner Anta at 𝑓: 𝐷 𝑉 er injektiv. Vi definerer den omvendte funksjonen 𝑔: 𝑉 𝐷 ved å la 𝑔(𝑦) være det entydig bestemte elementet 𝑥 𝐷 slik at 𝑓 𝑥 𝑦. Sagt med symboler er altså: 𝑔 𝑦 𝑥 dersom 𝑓 𝑥 𝑦

5 Derivasjon av injektive funksjoner Anta at 𝑓 er en kontinuerlig, strengt monoton funksjon som er deriverbar i punktet 𝑥 med 𝑓 𝑥 0. Da er den omvendte funksjonen 𝑔 𝑓 deriverbar i punktet 𝑦 𝑓 𝑥, og 𝑔 𝑦 𝑓 𝑥 Cotangens and shit "# 𝐷 tan 𝑥 "# "# 𝐷 cot 𝑥 "# tan 𝑥 "# cot 𝑥 "# 𝐷 arcsin 𝑥 𝑥 𝐷 arccos 𝑥 𝑥 𝐷 arctan 𝑥 + 𝑥 𝐷 arccot 𝑥 + 𝑥 𝐷 sin 𝑥 cos 𝑥 𝐷 cos 𝑥 sin 𝑥 Definisjon av integralet Anta at 𝑓: 𝑎, ℝ er en begrenset funksjon. Dersom integrerbar på 𝑎,. sin 𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 + 𝐶 tan 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 cot 𝑥 + 𝐶 sin 𝑥 Omdreiningslegemet rundt x-aksen 𝑉 𝜋 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 sier vi at 𝑓 er

6 Omdreiningslegemet rundt y-aksen 𝑉 𝜋𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Lengden til en graf + 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 𝐿 Integrasjon 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑓 𝑢 𝑔 (𝑢) 𝑑𝑢 𝑢 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 I substitusjon 𝑢 𝑚 3 + (𝑚 ) ( + 𝑢 ) (𝑚 ) 𝑑𝑢 + 𝑢 Annet 𝑥 ± 4𝑎𝑐 𝑎 𝑥 + 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑥 + +𝑐 𝑥+ +𝑐