LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:

Transkript

1 LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er Teorem 9, s. 56, Adms.) n n + xn+ for hver x med x < R. Vi skl i det etterfølgende gi et bevis for dette viktige resultt som er forskjellig fr beviset i boksen. Det er flere grunner til dette. Beviset hos Adms unngår begrepet «uniform konvergens» v funksjonsfølger. Dette er et begrep som erfringsmessig fller vnskelig. Men på den nnen side er også beviset på s nokså vnskelig å forstå, så lite er vunnet ved å velge bokens bevis. Dessuten er uniform konvergens et begrep mn møter mnge steder i mtemtisk nlyse, så det kn være nyttig å introdusere idéen så tidlig som mulig. Vi skl strte med å se på n x ( ) s(t) dt n + xn+ = s(t) n t n dt Det gjelder å bevise t det til hver ε >, finnes en n N slik t dette uttrykket er mindre enn ε når N n. En velkjent regneregel (Se Teorem 3(f), s. 292) gir: ( ) s(t) n t n x dt s(t) n t n dt Det er nå nærliggende å tro t siden prtilsummene s N (t) konvergerer mot s(t) i hvert punkt v [, x], så må det finnes et n N slik t når N n, så vil: ( ) N s(t) n t n < ε R I så fll er vi i mål. Vi hr d nemlig for N n : for t [, x] ( ) s(t) n t n x dt s(t) N n t n dt < ε dt = ε R R x < ε siden vi her hr nttt < x < R. (Dersom R < x <, kn vi gå frm på tilsvrende måte.) Det er to tvilsomme punkter i ovenstående rgument!

2 . Vi vet ikke t s(t) dt eksisterer. 2. Vi vet heller ikke t ulikheten ( ) ovenfor holder for smme n (når ε > er gitt) for lle punktene i [, x]. L oss kommentere disse to punktene nærmere:. Dersom vi kn bevise t summefunksjonen s er kontinuerlig på [, x], følger integrerbrheten ut fr Teorem 2, s. 29, Adms. Vi vet selvsgt t hver prtilsum s N (t) = n t n er kontinuerlig på hele tllinjen. Og det er d nærliggende å tro t grensefunksjonen s N er kontinuerlig. Men dette holder ikke generelt! Dette frmgår v følgende eksempel. L: f n (x) = x n ; x [, ]. Dette gir en følge {f n } v kontinuerlige funksjoner som konvergerer mot grensefunksjonen gitt ved:, x < f(x) =, x = Altså er grensefunksjonen diskontinuerlig i x =. ε For å illustrere problemet som kn oppstå med hensyn til ulikheten ( ) studerer vi smme funksjonsfølge som ovenfor (se figur). For x = ser vi t 2 når n 4 for den ngitte ε. For x = 3 4 hr vi t for å oppnå f n ( 2 ) f( 2 ) = f n( 2 ) < ε f n ( 3 4 ) f(3 4 ) < ε 2

3 for smme ε må vi ihvertfll nt n 8. Og lr vi x rykke nærmere, må vi for fstholdt ε > stdig velge n større for å være grntert t n n medfører t f n (x ) f(x ) < ε. når ε holdes fst! De problemene vi hr registrert i. og 2. ovenfor motiverer følgende DEFINISJON: Vi sier t funksjonsfølgen {f n }, konvergerer uniformt mot en funksjon: f n : [, b] R f : [, b] R dersom det til hvert ε < finnes et n = n (ε) N slik t når n n så gjelder: f n (x) f(x) < ε for lle x [, b]. (Betegnelsen n (ε) indikerer t n bre vhenger v ε og ikke v x.) Det vi kller punktvis konvergens kn formuleres slik: Til hvert ε > og hvert x [, b] finnes det et n = n (ε, x) N slik t når n n så vil: f n (x) f(x) < ε At n = n (ε, x) betyr t n svrende til et gitt ε > også vil vhenge v x. Dette illustreres ved eksemplet forn. Når det gjelder symbolbruken lr mn: lim f n(x) = f(x) betegne punktvis konvergens, mens mn gjerne skriver: lim f n(x) = f(x) uniformt på [, b], for å betegne uniform konvergens. Vi kn nå bevise følgende viktige TEOREM A: Ant t funksjonsfølgen {f n } konvergerer uniformt mot f på [, b] og t hver funksjon f n er kontinuerlig. D gjelder følgende: (i) f er kontinuerlig på [, b], (ii) lim f n (x) dx = f(x) dx MERKNAD: Integrerbrheten v f på [, b] følger v (i). 3

4 BEVIS: (i) Det gjelder å bevise t til hvert ε > og fstholdt x [, b] finnes en δ > slik t når x [, b] og x x < δ så er f(x) f(x ) < ε. Siden lim f n (x) = f(x) uniformt, må det finnes n = n (ε), slik t n n medfører t f n (x) f(x) < ε/3 for lle x [, b]. Vi fstholder så et n n. Siden hver f n er kontinuerlig, finnes det et δ > slik t når x [, b] og x x < δ, så gjelder: f n (x) f n (x ) < ε/3 Vi hr d for x [, b] og x x < δ: f(x) f(x ) = f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. Siden ε > og x [, b] vr fritt vlgt, betyr dette t f er kontinuerlig på hele [, b]. (ii) Her gjelder det å bevise t for hver ε > finnes det et n N slik t når n n, så vil: f n (x)dx f(x)dx < ε (Her bør en merke seg t integrerbrheten v f på [, b] følger v (i).) Siden lim f n(x) = f(x) uniformt, vet vi t det finnes n N slik t når n n, så vil: f n (x) f(x) < ε/(b ) for lle x [, b]. Vi hr d for n n : f n (x)dx f(x)dx = FORELØPIG TILBAKEBLIKK: (f n (x) f(x))dx f n (x) f(x) dx < ε dx = ε. b Ser vi på de «tvilsomme» punkter i beviset for nnen del v Teorem 9, (det vi betegnet som. og 2. forn), ser vi t vi er i mål dersom vi kn bevise følgende TEOREM B: Hvis potensrekken n= n x n hr konvergens-intervll ( R, R) med summefunksjon s(x), så vil lim n x n = s(x) n= uniformt 4

5 på hvert lukket delintervll [, b] som er inneholdt i ( R, R). MERKNAD: Dette resultt gir d både t s er kontinuerlig og dermed integrerbr på [, x] - og t ulikheten ( ), s.2, holder på [, x]. BEVIS: Vi kn for å forenkle rgumentet nt t det lukkede intervll vi ser på er [, x], der < x < R. (Den mer generelle situsjonen omtlt i teoremet bevises helt nlogt.) Lr vi t [, x] hr vi: n t n n x n Siden n= n x n konvergerer bsolutt for hver x ( R, R), (Teorem 7, s , Adms), konvergerer rekken n= n x n. Dvs. t for ε > finnes det et n slik t N n impliserer t n=n n x n < ε. Dette gir for hver t [, x] : N s(t) n t n n t n n x n < ε n= n=n n=n Altså hr vi t: lim n t n = s(t) N n= uniformt på [, x]. MERKNAD: Vi hr nå fullført beviset for den siste påstnden i Teorem 9. Den første delen som gjelder derivsjon ledd for ledd, s (x) = n n x n for hvert x i konvergensintervllet, følger nå nokså greit v.h.. fundmentlteoremet kombinert med følgende LEMMA: Hvis potensrekken n= n x n konvergerer i ( R, R), så vil også potensrekken: konvergere i dette intervllet. n n x n BEVIS FOR LEMMA: Vi ntr for enkelhets skyld t < x < R. L y (x, R). Vi hr d: n n x n x n = n n y n y Vi hr t lim n x/y n = siden x < y og lim t t/ t = når > (3.4 Adms). Altså finnes det n N slik t når n n så vil n x/y n <. Altså hr vi for n n t n n x n n y n 5

6 Konvergens v rekken n y n gir d t rekken n n x n konvergerer. n= Ut fr det vi hr vist tidligere kn d rekken n n x n med sum S(x) integreres ledd for ledd på intervllet [, x], < x < R. Dette gir: S(t)dt = n n t n dt = n x n = x + 2 x n x n + = s(x) Derivsjon gir d ut fr fundmentlteoremet: S(x) = s (x) eller siden forutstt t f er kontinuerlig. s (x) = n n x n d x f(t)dt = f(x) dx HISTORISK MERKNAD: Niels Henrik Abel (82 829) oppdget t A.L. Cuchy ( ) hdde begått den feil t hn tok det for gitt t dersom en følge {f n } v kontinuerlige funksjoner konvergerte punktvis mot en grensefunksjon f, så måtte f også være kontinuerlig. Vårt eksempel viser t dette er glt. Begrepet «uniform konvergens» ble introdusert v P. Seidel (82 896) og G. Stokes (89 93) uvhengig v hverndre i 847. Men det vr K. Weierstrss (85 897) som først så betydningen v dette begrep og brukte det systemtisk i sine forelesninger i Berlin. 6