gir g 0 (x) = 2x + x 2 (x + 3) x x 2 x 1 (x + 3) 2 x 5 + 2x 4 + 6x 3 + x 2 + x + 3 x 2 (x + 3) 2 g(x; y) h(x) F (x; y) =

Transkript

1 Oppgve ) gir b) c) d) e) f() = gir f () = g() = + 3 f)når så blir Merk her t = Tilsvrende er gir g () = + ( + 3) ( + 3) ( + 3) h() = f() gir h () = f () + f() f() = g(; ) gir f () = g + g F (; y) = g(; y) h() F = g (; y)h() h ()g(; y) (h()) F y = g y(; y) h() z = k(t; s) = (3t s) + s og s = y og t @t @ = (3t s)3y + ((3t s) + = 6(3t s)y 8(3t s)y + y = y (6 8)(3 ) + y (3t s) = 3y y = y(3 @y = (3t s)3 + ((3t s) + ) = 6(3t s) 4(3t s) + y = y(3 ) + y

2 Oppgve Vi hr gitt t + y = + y y Ved implisitt derivsjon nner vi d + yy = + y = ( y)y y = y = y

3 3 Oppgve 3 Oppgve ) f(; y) = y 4 + 3y + y f = y fy = 4y f(; ) = 4 3 = fy(; ) = = Oppgve b) mens ltså er f = som tyder på minimum fyy = y som tyder på minimum ff yy fy = 44 y f y = > loklt rundt = ; y = < i punktet = y = Om noen hr evluert f y bre loklt i = ; y = og konkludert med t det er et minimum, så gir det ikke full uttelling. Men om de påpeker t det er et loklt minimum, så er det ott. Om noen hr sett t ff yy fy < for noen verdier v og y og konkluderer med t de tilstrekkelige betingelsene for et globlt minimum ikke er tilfredsstilt så ott. Det beste er selvsgt om de ser t det er et loklt minimum men t de ikke kn konkludere med om det er et globlt minimum 4 Oppgve 4 fyy f ) Kjærneregelen b) h (r) = f (r) + f yy (r) + f r L = f g L = f g = =) f = g L y = fy gy = =) fy = gy c) Ligningen følger som i ) ved bruk v dg=dr = g (r) + gyy (r) + gr = 3

4 Gir d) Vi strter med resulttet i ) g (r) + g yy (r) = g r setter inn for f og f y fr b) h (r) = f (r) + f yy (r) + f r h (r) = f (r) + f yy (r) + f r = g (r) + g yy (r) + f r De to leddene i prentes er venstresiden v ligningen i c h (r) = g (r) + gyy (r) + fr = ( gr) + fr = fr gr = L r Hvor den siste likheten følger rett v de nisjonen v L. 4

5 Obligtorisk innlevering ECON våren Veiledning oppgve 5 ) Med gitt mengde relkpitl, vil vi h n b = ( k), som vi kn løse ut for n æ ö som: -b n k n ( ; k ) ( k ) -b = = ç. Dermed for gitt produktmengde çè ø =, er nødvendig innsts v rbeidskrft på kort sikt bestment v: æ ö -b n ( ; k) = ( k) ç çè ø. b) Kostndsfunksjonen er dermed: -b -b - C(;,, k) = k + n(; k) = k + æ () k ö ç = k + ( k), der çè ø første ledd er den fste kostnden, mens det ndre er den vrible kostnden. Vribel gjennomsnitts eller enhetskostnd (VEK) er dermed: æ ö -b ( k) ç -b çè ø - - VEK = = ( k ) og grensekostnd gitt ved -b C - - ( k ) = = VEK. c) L =, =, 5, og b =, 5. D er kostndsfunksjonen, - (;,, ) Ck = k+ k og profitten er p = p - C( ;,, k). Vi hr t p - = p- ( k) og - =- <. Siden () p p ( k) p = >, vil dette problemet h en positiv løsning bestemt v p - * * ( ) = p- ( k) =, med * p k = = s(, p, k). s k d) Vi hr: = >, p tp k p k stptk (,, ) = spk (,, ) t = =, Veiledning oppgve 6 s p k s(, p, k) =- =- <, s p p = k = > k 4 k - i) Med produktfunksjonen y = F( n, E) = n E, ser vi t en t dobling v innstsfktorene gir en t dobling i produktmengden; F( tn, te) ( tn) ( te) t n E tf( n, E).

6 t mrginl teknisk substitusjonsbrøk er vtkende ser vi v: For gitt produktmengde vil MTSB F de n n E E dn F n n E E produktmengde y = y, fr produktfunksjonen hr t. Siden vi, for gitt æy ö y æy ç y ö çè ø = ( ne) ne = E ç = =, vil çè ø n n vtkende i n. MTSB é y ù = n. Vi ser t denne er êë úû ii) Kostndsminimeringsproblemet til bedriften er: { } Min n + E F( n, E) = ( gitt) der ( ne, ) FnE (, ) = ne. Siden vi hr nttt t dette problemet hr indre løsning, vet vi t det finnes en konstnt l slik t den kostndsminimerende fktorkombinsjonen ( n, E ) må oppfylle følgende betingelser, med som gitt kvntum: (,, ) (, ) Ln E l Fn E l = - l = - = n n n (,, ) (, ) Ln E l Fn E l = - l = - = E E E der Lgrngefunksjonen er LnE (,, l) = n+ E-l é ê ne- ù ë ú. Vi kn eliminere û Lgrngemultipliktoren og kommer frm til tngeringsbetingelsen : F ( n, E ) n MTSB( n, E ) = F ( n, E ) =, der MTSB ngir den mrginle tekniske E substitusjonsbrøk. Denne ngir det mrginle tekniske bytteforholdet for gitt produksjon; dvs. hvor mnge enheter energi som kn frigjøres per enhets økning i rbeidsinnstsen, og uten t produksjonen endres. Tngeringsbetingelsen, smmen med produksjonskrvet = F( n, E) = ne, gir oss to likninger til å bestemme fktorfunksjonene eller betingede fktoretterspørselsfunksjonene n (;,) og E (;,). Disse betingelsene må gjelde unsett hvor mye som skl produseres (gitt t vi hr indre løsning). Med den spesifiserte produktfunksjonen, følger det t tngeringsbetingelsen kn skrives som E = ; dvs. E = N, uvhengig v som n betyr t substitumlen i dette tilfelle er en rett linje (eller stråle) gjennom origo.

7 Sett E = n inn i produktfunksjonen, og med gitt produktmengde, finner vi: = ne = n = n = n, som vi kn løse for -.5 æ ö ç,5 n (;,) = = = ç =. Dermed følger çè ø E (;,) = = =. For gitt produktmengde (gitt isokvnt) og for gitte fktorpriser (eller mer korrekt gitt fktorprisforhold), kn løsningen illustreres som i figur 3.9 i bok. iii) Kostndsfunksjonen, C (;,), er nå den minimerte verdien v smlet fktorutlegg: (;,) (;,) (;,) ( ) ordnes, og vi finner: C = n + E = +. Dette kn -,5.5 -,5,5,5,5 C( ;, ) = é ù é ù f(, ) ê + = + = = ë úû êë úû der f (, ) er enhetskostndsfunksjonen som er uvhengig v produksjonssklen. C f(, ) -,5,5 iv) Derivsjon gir: = = = = n(;,) ; dette er Shephrd s lemm. Siden vi hr n (;,) f = =, følger det direkte t n f = f = < pg. substitusjon; ser også t dette holder. Siden høyere lønn fører til mindre bruk v rbeidskrft, må energibruken gå opp for t smme C produktmengde skl oppnås; dermed siden = E (,,) = f, må E = f >. Viktig å få frem betydningen v substitusjon. Veiledning oppgve 7 m Vi hr t f er homogen v grd m hvis vi kn skrive: ftntk (, ) = t fnk (, ). m ) Derivsjon v ftntk (, ) = t fnk (, ) med hensyn på t (proporsjonl fktorvrisjon) gir:

8 f ( tn, tk) ( tn) f ( tn, tk) ( tk) ( tn) t ( tk) t ftntk (, ) ftntk (, ) ( tn) ( tk) (, ) m- + = mt f ( n, k) m- n + k = mt f n k Beregn denne for t =, som gir: pssuslikningen. b) L m =. Vi hr d: fnk (, ) fnk (, ) n + k = mf( n, k) som er n k ftntk (, ) ( tk) m fnk (, ) = t ( tk) k k ftntk (, ) m fnk (, ) ftntk (, ) m- fnk (, ) t = t = t ( tk) k ( tk) k (, ) (, ) (, ) Når m =, må ftntk fnk fnk = t = ( tk) k k Dette betyr t for en produktfunksjon som er homogen v grd én, vil grenseproduktivitetene være upåvirket ved en proporsjonl fktorvrisjon (bevegelse lngs en fktorstråle). Dermed vil substitumlen, som for gitt fktorprisforhold, viser smlingen v lle punkter lngs hvilken MTSB (lik forholdet mellom grenseproduktivitetene) er konstnt og lik det gitte fktorprisforholdet, være en fktorstråle (en rett linje).