2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π

Transkript

1 Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x dx = x x 4 ln x + C b) c) 5 x + LF: Vi utfører polynomdivisjon 5 x + x x + dx = = x8/5 8/5 x x + dx x /5 + + / x + dx + x + ln x + + C = 5x8/5 + x 4 + ln x + + C 4 πx e x dx LF: Vi benytter substitusjon med u = x πx e x dx = π 9 ex + C d) t t + dt LF: Vi forsøker med substitusjonen u = t +. D er t = (u )/ og dt = du/. t (u )/ dt = t + u du = u / u / du 9 ( ) 9 5 u5/ u / (t + )5/ (t + )/ + C = + + C 5

2 En beholder er konstruert som rotsjonslegemet om y-ksen v grfen til funksjonen y = x / for x mellom og. Bestem volumet til en væske som fyller beholderen til en høyde h. Hint: Endringsrten til volumet med hensyn til høyden dv/dh er gitt ved tverrsnittrelet ved høyde h. Finn et uttrykk for dette som en funksjon v høyden h. Benytt så integrsjon til å nne V (h). LF: Volumet til væsken ved høyde h er en funksjon V (h). For høyden y mellom og H = / er endringsrten V (y) lik det horisontle tverrsnittrelet ved høyde h. Dette relet er lik pi gnget med rdius x(y) kvdrert. Siden y = x / så er x uttrykt ved y gitt ved x = y /. Derfor hr vi t dv dy = π(y/ ) = πy Vi kn integrere med hensyn til høyden for å nne V (h). Ved bunnen v beholderen er volumet lik så r V () =. Vi hr derfor t for h /. V (h) = V (h) V () = h dv dy dy = h πy dy = πh 4 /4 Et legeme beveger seg lngs en rett vei. Hstigheten i et gitt tidspunkt er gitt som følger ) v(x) = x x < x x 5 x < x 5 b) x x +.5 for x mellom og. Vi skiller gjerne mellom frt og hstighet. Hstigheten (eng. velocity) er vektoren med både retning og størrelse, mens frten er størrelsen til hstigheten (eng. speed). (I dgligtle skilles det gjerne ikkje mellom begrepene.) Bestem følgende i hvert v de to tilfellene: Distnse kjørt (diernsen mellom strt og sluttpunkt). Distnse tilbkelgt (hvor lng strekning bilen hr kjørt). Bestem gjennomsnitsfrten og gjennomsnithstigheten. LF: Siden vi beveger oss lngs en rett linje er det bre to retninger, represetnert ved fortegnet, til hstigheten. Frten er bsoluttverdien til hstighetsfunksjonen. (Vi benytter ikkje enheter i denne oppgven.) I del ) er hstigheten postiv eller null hele tiden så foryttingen er lik totldistnse tilbkelgt (med retning gitt ved positiv retning til koordintsystemet).

3 Distnsen tilbkelgt er lik x dx + x dx x dx = [x /] + [x ] + [5x x /] 5 = 8/ = 4/ Gjennomsnitlig frt er derfor (4/)/5 = 4/5.7. Gjennsomsnitlig hstighet er tilnærmet lik.7 i positiv retning. b) Her vil hstigheten både være positiv og negtiv. Distnsen tilbkelgt er lik Distnsen foryttet er lik x x +.5 dx x x +.5 dx Vi nner ut hvor v(x) = x x +.5 er positiv og negtiv. Nullpunktene er løsningene til likningen x x +.5 = De er x = ± 9 5 = ± Nullpunktene er x = / og x = 5/. Siden grfen til x x +.5 er en prbel som vender oppover vet vi t v(x) er positiv mellom og / smt mellom 5/ og. Mellom / og 5/ er v(x) negtiv. Vi evluerer (regner ut) integrlene x x +.5 dx = x / x / +.5x = 7/ 7/ +.75 = =.75 / x x +.5 dx 5/ / x x +.5 dx x x +.5 dx = x x +.5 dx + 5/ / 5/ x x +.5 dx = x x +.5 dx =.75 [x / x / +.5x] 5/ / =.75 [4/( 8) (/)(4/4) +.5] =.75 + / =.5 / = + / = Gjennomsnittsfrten er Gjennomsnitshstigheten er.5 (størrelsen er.5 og retningen er i negtiv retning i koordintsystemet).

4 4 I denne oppgven kn dere benytte nummeriske metoder både til å nne skjæringspunkt og til å evluere integrler (hvis nødvendig).. Bestem relet til legemet vgrenset v grfene til (x )/ og ln(x). LF: L f(x) = ln(x) (x )/. D er f (x) = /x /. Funksjonen er vtgende for < x < og økende for x >. Funksjonen er kontinuerlig, den hr derfor mksimlt to nullpunkter. Det er opplgt t x = er et nullpunkt. Vi benytter Newtons metode (eller hlveringsmetoden) til å nne end et nullpunkt til. Det er tilnærmet lik Arelet vgrenset v grfene til de to funksjonene er gitt ved integrlet v f(x) mellom de to nullpunktene. Det er tilnærmet lik ln(x) (x )/ dx = x ln(x) x (x ) / = (ln(6.7448) ) + + ( ) /6 = Bestem volumet til legemet som fremkommer ved å rotere om x-ksen regionen vgrenset v grfene til funksjonene e x og e x. LF: De to grfene skjærer hverndre når e x = e x. Dette skjer presis når eksponentene er like x = x. Så x = og x =. Området vgrenset v grfene er regionen mellom grfene fr x = til x =. I dette området er e x størst så volumet er lik π π (e x ) (e x ) dx = e 4x e x dx Det nnes ingen elementær funksjon som er ntiderivert til (ndre leddet i) integrnden. Vi benytter numerisk integrsjon og nner t volumet er tilnærmet lik Finn de bestemte integrlene (ekskt) ) x x + dx LF: Vi benytter substitusjonen u = x +. D er du = xdx. x u() x + dx = u() / u du = 5 u / du = u / 5 = 5 4

5 b) c) sin(x ) + cos (x) dx Hint: Integrlet fr til v en odde (integrerbr) funksjon er. LF: Siden sin(x ) er en odde (integrerbr) funksjon så er integrlet sin(x ) dx =. Integrlet vårt er derfor lik cos (x) dx = cos(x) + dx = sin(x) 4 + x = sin(4) Her hr vi benyttet en trigonometrisk likhet for å skrive om integrnden slik t det blir lettere å nne en ntiderivert. ln(x) dx Dette er et uegentlig integrl. Funksjonen ln(x) går mot når x nærmer seg fr positiv side. Integrlet er lik lim + ln(x) dx Delvis integrsjon med ln(x) hvor u settes lik og v = ln(x) gir Grensen ln(x) dx = x ln(x) x = ln() ln() + lim ln() = + siden ln(x) går mot mye sktere enn går mot. Integrlet er derfor lik lim ln() ln() + = ( ln()) = Finn volumet til legemet som fremkommer ved å rotere regionen mellom x-ksen og grfen til x fr x = til x =, om y-ksen. Hint: Hvordn ser legemet ut? LF: Legemet ser ut som en sylinder med rdius og høyde hvor det er freset ut en hlvkule med rdius i toppen. Volumet er derfor lik π π/ = 4π/ Vi kn og benytte skivemetoden til å nne volumet. D får vi t volume er πx ( x ) dx = π(x + ( x ) / / ) = 4π/ 5

6 . Finn buelegden til kurven gitt ved g(x) = e x fr x = til x =. Er svret du får rimelig? Bruk gjerne numerisk integrsjon. Buelengden er lik L = + e x dx Den rette linjen fr strt til slutt-punkt hr lengde + ( e + ) = Dette gir et nedre estimt for buelengden. Nummerisk integrsjon gir (her er Simpsons metode benytt med delintervller L Eg hdde opprinnelig bre tenkt t denne siste deloppgven skulle løses numerisk. Men noen v dere hr påpekt t det går nt å nne en ntiderivert som en elementær funksjon. Eg viser hvordn mn kn nne de ntideriverte. Vi benytter en generell i stede for tllet i eksponenten + e x dx Vi benytter substitusjonen u = + e x. D er u = e x = (u ). Integrlet blir omgjort til u (u ) du Vi fjerner roten ved å benytte substitusjonen v = u eller u = v. D er du = vdv og vi får v (v ) vdv = v (v ) dv = Vi benytter polynomdivisjon smt delbrøksoppsplting + v dv = ( ( + / v )) dv = v + ( ) v + / ln v v + + C Vi uttrykker v ved hjelp v x som v(x) = + e x og får + e x dx = + e x + + e ln x + e x + + C 6