Løsningsforslag Kollokvium 1

Transkript

1 Løsningsforslg Kollokvium jnur 015

2 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som økningen i kinetisk energi når et elektron kselereres gjennom et potensilsprng på 1 volt. Vis t 1 ev = J. Hv blir energiøkningen når elektronet kselereres i et potensilsprng på 10 V, 50 kv = V og 1 MV = 10 6 V? Beregn hstigheten elektronene får etter kselersjon i potensilene nevnt ovenfor når utgngshstigheten er v 0 = 0. Svr: Energiøkningen E fr kselersjon v en ldning e over en potensilforskjell U er gitt ved den kinetiske energien ldningen får, E = eu. Med elektronets ldninge = C og et potensile på U = 1 volt, gir dette en energi på E = C 1 V = J som er definert som 1 ev. Altså er energiøkningene E = 10 ev, E = 50 kev og E = 1 MeV i elektronvoltenheten for de tre potensilsprngene. Hstigheten v etter disse kselersjonene er gitt fr den reltivistiske formelen for energi, E = γm e c, hvor 1 γ = ( ) 1/. (1) 1 v c Totlenergien er også gitt fr den kinetiske energien K (som kommer fr kselersjonen gjennom potensilsprnget) pluss hvileenergien m e c, E = K + m e c = eu + m e c. De to uttrykkene kn løses for hstigheten v: v(e) c ( me c = 1 ) ( me c = 1 ) E eu +m e c. () Dette gir følgende hstigheter: ( ) MeV v(10ev) = 1 c = c, 10 ev MeV ( ) MeV v(50kev) = 1 c = 0.41c, 50 kev MeV ( ) MeV v(10mev) = 1 c = 0.941c. 10 MeV MeV Hvis vi i stedet regner ikke-reltivistisk på hstigheten så er den kinetiske energien K = 1 mv, slik t hstigheten blir K v = m. (3)

3 Dette gir v(10ev) = v(50kev) = v(10mev) = 10 ev/0.511 MeV = c, 50 kev/0.511 MeV = 0.44c, 1 MeV/0.511 MeV = 1.98c. Det vil si i det siste tilfellet en hstighet større en lyshstigheten c, som jo må være feil! b) Beregn den potensielle energien for to prtikler med ldning e = C som befinner seg i en vstnd 0.1 nm = m. Vis t enheten elektronvolt er en nturlig enhet i dette tilfelle. Svr: Den potensielle energien mellom to prtikler med ldning e og i vstnd r er gitt ved V e = k e e r, (4) hvor k e = 1 4πǫ 0 er Coulomb konstnten. Dette gir en energi på V e = Nm /C ( C) m = J. (5) I elektronvolt er dette V e = 14.4 ev, slik t elektronvolt er en nturlig enhet i denne situsjonen. c) L oss nt t de to prtiklene ovenfor er et proton og et elektron. Diskutér forholdet mellom grvitsjons- og elektrosttisk potensiell energi i dette tilfelle. (Grvitsjonskonstnten: G N = N m kg.) Svr: Potensiell energi fr grvitsjon blir V g = G N m e m p r = Nm kg kg kg m = J, (6) slik t forholdet mellom de to potensielle energiene er V g = J V e J = (7) Den grvitsjonelle potensielle energien er forsvinnende liten i forhold til den elektrosttiske.

4 d) Beregn hvileenergien for elektronet og protonet. Under hvilke betingelser må vi regne med reltivistiske effekter? Svr: Elektron: E 0 = m e c = MeV, proton: E 0 = m p c = MeV. Reltivistiske effekter oppstår dersom vstnden mellom prtiklene blir så liten t den potensielle energien vi hr regnet ut over blir signifiknt i forhold til hvileenergien. For elektronet må vi for eksempel ned på vstnder rundt m, eller 10 fm, for protonet end mindre. Oppgve Integrlkortslutning Noen integrler er vnskelige, noen integrler er onde, noen integrler er umulige, men det er også en hel del integrler som er superenkle. I lle fll om du tenker deg om litt. I denne oppgven er det meningen t du tenker før du integrerer, og gjør lle deloppgvene på en linje. i) x e sinx coshx dx (8) Svr: Dette så jo komplisert ut, men legg merke til integrsjonsgrensene. Vi hr et bestemt integrl fr x = til x =, noe som ikke kn gi noe bidrg som helst (husk t et integrl først og fremst er et rel under en kurve). Vi hr ltså med en gng x e sinx dx = 0. (9) coshx ii) xe x dx (10) Svr: Her er formen på integrnden viktig. xe x er ntisymmetrisk under et ombytte v x x: xe x ( x)e ( x) = xe x. Vi vet fr klkulus t lle bestemte integrl med ntisymmetrisk integrnd hvor integrsjonsgrensene er symmetriske (om det punktet integrnden er ntisymmetrisk), gir null. Sgt på et mer mtemtisk språk I = xe x dx x x = = xe x ( 1)dx Siden I = I betyr t I = 0, så må integrlet være null. xe x dx = xe x dx = I.(11) iii) x dx (1)

5 Svr: Her er poenget t integrnden (og integrlgrensene) er symmetrisk om x = 0. Det vil si t vi får et like stort bidrg fr positive x som negtive, ltså blir [ ] 1 x dx = x dx = xdx = 0 0 x =. (13) 0 iv) π cosxdx (14) Svr: Igjen hr vi en symmetrisk integrnd, ved x x så blir cosx cos( x) = cos x, slik t π cosxdx = cosxdx = [sinx] π 0 = [1 0] =. (15) 0 v) π xcosxdx (16) Svr: Til tross for likheten med forrige oppgve hr vi her med en ntisymmetrisk integrnd å gjøre på grunn v den ekstr x fktoren som er ntisymmetrisk. Vi minner om t produktet v en ntisymmetrisk og en symmetrisk fktor er ntisymmetrisk. Integrlet må derfor bli null. π xcosxdx = 0. (17) vi) x(x b)(x+b)e cx dx (18) Svr: Dette ser også rimelig komplisert ut. Det er imidlertid nok et lite lurespørsmål. Husk t (x b)(x+b) = x b, som er en symmetrisk fktor. e cx er også symmetrisk, mens x er ntisymmetrisk. Produktet v lle tre er d ntisymmetrisk, og integrlet må (igjen!) bli null: x(x b)(x+b)e cx dx = 0. (19) Oppgve 3 Lineærlgebr I lineærlgebr definerer mn et indreprodukt mellom to vektorer u og v som en generlisering v det velkjente sklrproduktet u v. For å unngå smmenblnding med notsjonen til det gmle sklrproduktet kn vi begynne å skrive indreproduktet som u v, hvor vi hr droppet å skrive vektorpilen for enkelhets skyld (en forklring

6 på denne skrivemåten kommer senere i kurset). Et indreprodukt må oppfylle følgende egenskper (hvor k 1 og k er to tll som generelt kn være komplekse): i) u v = v u, (0) ii) u (k 1 v +k w) = k 1 u v +k u w, (1) iii) u u 0, og u u = 0 hvis og bre hvis u = 0. () Bruk dette til å vise t den følgende definisjonen oppfyller lle krvene til et indreprodukt for to funksjoner f(x) og g(x): f g f (x)g(x)dx, (3) dersom de involverte integrlene finnes (ikke er uendelige). Konsekvensen v det du her viser er t funksjoner kn fungere som element i et bstrkt vektorrom, de er en form for vektorer de også! Vi nevner tilslutt t for t integrlet i indreproduktet (3) skl finnes så er det tilstrekkelig t f(x) dx < og g(x) dx <. (4) Vi sier d t funksjonene f og g er kvdrtisk integrerbre på intervllet [,b]. Svr: Vi begynner med å vise egenskp i): f g = = = ( ( f (x)g(x)dx f(x)g (x)dx g (x)f(x)dx ) ) = f g. (5) Egenskp ii) kn vises som ved hjelp v en tredje funksjon h(x): f k 1 g +k h = f (x)(k 1 g(x)+k h(x))dx = k 1 f (x)g(x))dx +k f (x)h(x)dx = k 1 f g +k f h. (6) Det er viktig her t lle integrlene som er involvert fktisk er endelig. Hvis ikke hr jeg ikke uten videre lov til å dele de opp på den måten jeg gjør.

7 For den siste egenskpen så kn vi legge merke til t f f = f (x)f(x)dx = f(x) dx. (7) Siden f(x) 0 for lle verdier v x så må dette integrlet være positivt eller null. Altså må f f 0. Det er bre ekskt null dersom f(x) = 0. 1 Vi må derfor tolke funksjonenf(x) = 0 som en nullvektor i dette vektorrommet. 1 OK d, så bløffer jeg litt her. For de mtemtisk interesserte så må jeg inrømme t det ikke er helt snt. f(x) kn nemlig være forskjellig fr null i enkeltpunkter, og integrlet vil fortstt være null. Fktisk så kn den være forskjellig fr null i uendelig mnge punkter så lenge det er et tellbrt ntll. Vi sier t lle funksjoner som er like bortsett fr i et tellbrt (uendelig) ntll punkter er i smme ekvivlensklsse, og disse regnes med i smme vektor.