1 Mandag 8. mars 2010
|
|
- Kari Christophersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs mer generelle kurver i plnet. Vi skl se hvordn vi beregner verdien v et vektorfelt lngs en kurve og hvordn vi integrerer opp disse verdiene for å klkulere integrlet lngs hele kurven. Et v hovedresulttene for kurveintegrler sier t integrlet v et konservtivt vektorfelt lngs en lukket kurve er null, lterntivt t kurveintegrler i et konservtivt felt kun vhenger v endepunktene. Vi skl se nærmere på dette resulttet. Integrere vektorfelt Kjerneregelen for funksjoner i flere vrible Konservtive felt efinisjon 1.1. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (x(t), y(t)) en prmetrisering v kurven i det smme plnet. Verdien v vektorfeltet F lngs er en funksjon i to vrible gitt ved F T = P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t) Eksempel 1.2. L f(x, y) være en funksjon i to vrible og nt t den prmetriserte kurven gitt ved r(t) = (x(t), y(t)) beskriver en nivåkurve for funksjonen, dvs. t f((x(t), y(t))) = c, c en konstnt. Grdienten til f dnner et vektorfelt f i plnet. er verdien v vektorfeltet f lngs nivåkurven lik. Vi kn se dette ved å regne ut f T r (t) = f x x (t) + f y y (t) = d dt f((x(t), y(t))) = d dt c = der overgngen fr ndre til tredje linje er kjerneregelen for derivsjon. Alterntivt kunne vi dedusert dette direkte siden vi vet t grdienten til en funksjon står normlt på nivåkurvene til funksjonen, og dermed også normlt på tngentene til nivåkurvene, og det er kkurt sklr-produktet mellom disse to vektorene vi regner ut. Hvis vi hr to (deriverbre) funksjoner f : R R 2 og g : R 2 R, der f(t) = (x(t), y(t)), så vil komposisjonen h = g f : R R være en funksjon h(t) = (g(x(t), y(t)) i en vribel. enne funksjonen kn vi derivere ved hjelp v kjerneregelen: Teorem 1.3. L h(t) være gitt som over. hr vi h (t) = g f (t) = f x x (t) + f y y (t) Eksempel 1.4. L f(t) = (R cos t, R sin t) og g(x, y) = xy. hr vi h(t) = g(f(t)) = R 2 cos t sin t og h (t) = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t Bruker vi kjerneregelen på den smme funksjonen får vi siden x = R cos t, og y = R sin t. h (t) = (y, x) ( R sin t, R cos t) = R sin t( R sin t) + R cos tr cos t hr vi smlet nok bkgrunn til å kunne integrere et vektorfelt lngs en kurve.
2 efinisjon 1.5. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (x(t), y(t)), t b en prmetrisering v kurven i det smme plnet. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs er gitt ved F T dt = b (P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)) dt Eksempel 1.6. L F(x, y) = ( y, x) være et vektorfelt i plnet (tngentfeltet til konsentriske sirkler) og r(t) = (R cos t, R sin t), t 2π, en sirkulær kurve. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs er gitt ved F T dt = = 2π 2π ( R sin t)( R sin t) + R cos t R cos t dt R 2 (sin 2 t + cos 2 t) dt = 2πR 2 Eksempel 1.7. L F(x, y) = (2y, x) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (t, 1 2 t2 ), t 1. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs er gitt ved F T dt = 1 (t ( t)t) dt = Hvorfor blir dette? Kurven er prbelen y = f(x) = 1 2 x2. Tngentvektoren i punktet (x, y) hr stigningstll f (x) = x, dvs. tngentvektorfeltet hr retning (1, x). et oppgitte vektorfeltet hr retning (2y, x). Prikkproduktet v disse to retningene er (1, x) (2y, x) = 2y x 2. Men på kurven y = 1 2 x2 er dette tllet lik, og vektorfeltet hr derfor ingen verdi lngs med kurven. Nå hr vi kommet frm til et hovedresultt i vektornlysen. Resulttet dreier seg om kurveintegrler i konservtive felt. Vi strter med en funksjon f(x, y) og ser på grdienten F = f. ette er et konservtivt felt. Vi lr være en lukket kurve i plnet, gitt ved en prmetrisering r(t) = (x(t), y(t)), t b slik t r() = r(b). hr vi F T dt = = = b b b F(r(t)) (x (t), y (t)) dt f x (r(t)) x (t) + f y (r(t)) y (t) dt d dt f(r(t)) dt = [f(r(t))]b = f(r()) f(r(b)) = ermed hr vi bevist følgende teorem: Teorem 1.8. Kurveintegrlet i et konservtivt felt F, lngs en lukket kurve er ; F T dt = Korollr 1.9. Kurveintegrlet i et konservtivt felt er kun vhengig v potensilets verdi i kurvens endepunkter. Eksempel 1.1. En viktig nvendelse v dette teoremet/korollret er grvitsjonsfeltet rundt jord. 2
3 ette er et konservtivt felt der potensilet kun er vhengig v vstnden til jords sentrum, dvs. høyden over hvoverflten. Kurveintegrler i et grvitsjonsfelt måler energiforbruk lngs kurven. Resulttet sier d t energiforbruket ved å bevege seg fr et punkt til et nnet punkt kun vhenger v differnsen mellom de to punktenes høyde over hvoverflten. Eksempel Et eksempel på et ikke-konservtivt krftfelt er feltet som over et område beskriver vindretning og -styrke. Vi ntr t det i området befinner seg noen store steiner, fyr, trær e.l. Skl mn bevege seg mot vinden, og mn ønsker å bruke minst mulig krefter, prøver mn å gå mn mest mulig i le v steinene eller trærne, der motvinden er svkest. Energiforbruket lngs en kurve i dette vindfeltet er presis kurveintegrlet lngs kurven, og det er som vi lle hr erfrt, vhengig v vlg v vei, dvs. feltet er ikke konservtivt mrs 21 ette er siste forelesning i denne vdelingen. Nå skl vi knytte smmen ll den teorien vi hr vært igjennom og formulere det i det som klles Stokes teorem. ette teoremet er ett v mtemtikkens viktigste og mest feirede resultt og hr utllige nvendelse innen mtemtikk og nturvitenskp, ikke minst i fysikk. Resulttet hr mnge vrinter, med ulike nvn, Greens teorem og ivergensteoremet er to v dem. Vi skl ikke gå inn på bevisene for disse resulttene, men heller konsentrere oss om hvordn de kn brukes i ulike smmenhenger og forsøke å forstå hv som ligger skjult i formlene i helt konkrete nvendelser. Vektornlyse, Stokes teorem Greens teorem Stokes teorem ivergensteoremet 3
4 Fysiske nvendelser enne forelesningen dreier seg om et v mtemtikkens mest berømte resultter, nemlig det som klles Stokes teorem. Stokes teorem ble først formulert v vitenskpsmnnen Willim Thompson ( ), eller Lord Kelvin, i 185, men hr fått nvn etter Sir George Gbriel Stoke ( ). Begge disse to stt dype spor etter seg innen mtemtikk og nturvitenskp. Imidlertid heter den 2-dimensjonle versjonen v Stokes teorem som vi skl se på Greens teorem, oppklt etter George Green ( ). Green formulerte dette resulttet i det oppsiktsvekkende essyet An Essy on the Appliction of Mthemticl Anlysis to the Theories of Electricity nd Mgnetism fr Essyet er oppsiktsvekkende v to grunner. For det første fordi det inneholder nye og bnebrytende resultter, for det ndre fordi det er skrevet v en legmnn. Green hdde fktisk bre ett års skolegng! Teorem 2.1. L være en positivt orientert, lukket kurve i plnet gitt ved prmetriseringen r(t) = (x(t), y(t)) og l være det området som kurven omslutter. L f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt. hr vi (P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)) dt = ( Q x P ) dx dy y Mo. den totle sirkulsjonen til feltet over et område er lik med kurveintegrlet til feltet lngs rnd til området. ersom feltet er konservtivt vil begge sider i likheten være, venstresiden fordi lukkede kurveintegrl i et konservtivt felt er, høyresiden fordi integrnden er for et konservtivt felt. Eksempel 2.2. Betrkt det sirkulære vektorfeltet f(x, y) = ( y, x) og sirkelen r(t) = (R cos t, R sin t), t 2π. Vi hr tidligere sett t venstresiden er lik 2πR 2. Høyresiden kn vi også regne ut, ( x x ( y)) dx dy = (1 + 1) dx dy y = 2 rel() = 2πR 2 4
5 Eksempel 2.3. Vi skl beregne integrlet y 2 dx + 3xy dy = y 2 x (t) + 3xyy (t) dt rundt øvre hlvprt v enhetssirkelen med sentrum i origo. Vi hr y 2 dx + 3xy dy = ( x 3xy y y2 ) dx dy = (3y 2y) dx dy = = = 1 1 x [ 1 2 y2 ] 1 x 2 y dy dx dx = 1 2 = 1 2 [x 1 3 x3 ] 1 1 = y dx dy (1 x 2 ) dx Eksempel 2.4. Vi kn uttrykke relet v et område som et kurveintegrl: 1 2 y dx x dy = 1 2 ( x x ( y)) dx dy y = 1 dx dy = rel() Eksempel 2.5. Vi lr kurven være firknten gitt v hjørnene (, ), (1, ), (, 1) og (1, 1). Vi skl beregne kurveintegrlet (5 xy y 2 ) dx + (x 2 2xy) dy Ved Greens teorem er dette ensbetydende med å regne ut dobbeltintegrlet v 2x 2y + x + 2y = 3x over firknten. 3x dx dy = 3 rel() x = 3 2 Vi strter med en funksjon f(x, y) i to vrible. Fr denne dnner vi et vektorfelt f, grdienten til f. ette vektrofeltet beskriver retningen som funksjonen endrer seg. Vektorfelt som er grdient v en funksjon kller vi konservtive. Testen på om et vektrofelt er en grdient er gitt ved betingelsen Q x P y =. Utrykket Q x P y klles sirkulsjonen til vektorfeltet. ermed blir kriteriet for konservtivitet t feltet ikke hr sirkulsjon. Integrerer vi sirkulsjonen over et lukket og begrenset område i plnet sier Greens teorem t vi får det smme som når vi integrerer feltet lngs med omrisskurven til området. 3 Onsdg 17. mrs 21 Oppgve 3.1. ) Vis t vektorfeltet F(x, y) = (e y, xe y ) er konservtivt. b) Finn et potensil for vektorfeltet gitt i ) c) Regn ut kurveintegrlet v vektorfeltet gitt i ) lngs en rett linje mellom punktene ( 1, 1) og (1, 1). Oppgve 3.2. Vis t vektorfeltet F(x, y) = (y, xy x) ikke er en grdient. Finn også en vei slik t f ds. 5
6 Oppgve 3.3. Et område i (x, y)-plnet er vgrenset v en kurve gitt ved rette linjer gjennom de fire hjørnene (, ), (2, ), (, 2) og (2, 2). Beregn kurveintegrlet (mot klokk) y 2 dx + x dy ved å bruke Greens teorem. 6
MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal
Detaljer1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske
DetaljerMultippel integrasjon
Kittel 4 Multiel integrsjon Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte oersjoner. de foregående kitlene hr vi sett ulike måter vi kn derivere funksjoner i flere vrible. Neste skritt er
Detaljer1 Mandag 18. januar 2010
Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte
Detaljer1 Mandag 25. januar 2010
Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
Detaljerx 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,
Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
Detaljer2 π[r(x)] 2 dx = u 2 du = π 1 ] 2 = π u 1. V = π. V = π [R(x)] 2 [r(x)] 2 dx = π (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx = 117π 5.
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 6 Avsnitt 6. 7 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er π[r(x)] 2 dx 3 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er L u
Detaljera 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.
MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler
DetaljerMAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06
MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 En-vribel klkulus I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning
Detaljer2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π
Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x
Detaljer1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
DetaljerMAT 100A: Mappeeksamen 4
. november, MAT A: Mppeeksmen Løsningsforslg Oppgve ) Vi bruker produktregelen: f (x) x rctn x + x + x Siden x og rctn x hr smme fortegn, og x ldri er negtiv, er f (x) positiv overlt, bortsett fr t f ().
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside
Detaljer1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis
DetaljerMidtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Oppgver på side 3 10. Svrtbell på side 11. Sett tydelige
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i
DetaljerM2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon
M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved
DetaljerTillegg om integralsatser
Kpittel 7 Tillegg om integrlstser 7.1 Integrlstser, fundmentlstser Fr et mtemtiske snspunkt er integrlstser beslektet med b f) d = fb) f) b β dr = βr b ) βr ) der den første klles nlsens fundmentlteorem,
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerIntegrasjon av trigonometriske funksjoner
Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 15, (13).
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..7 (..7) Kurven r( t) (, t, t), t ligger i - plnet. Dette gir lterntiv b eller f. Setter inn t som gir punktet (, ) som bre er med i lterntiv f. Vi
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
Detaljer6. Beregning av treghetsmoment.
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 6 Beregning v treghetsmoment 61 Definisjoner Først de grunnleggende definisjonene: Momentkse r m en liten punktformet prtikkel
DetaljerMultippel integrasjon. Geir Ellingsrud
Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert
Detaljer1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u,
TMA0 Høst 205 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg 3.5.30: Vi bruker erivsjonsregelen for cos x, x cos x =, x 2 smmen me kjerneregelen for erivsjon. For å forenkle utregningen
DetaljerIntegrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle
DetaljerProjeksjon. Kapittel 11. Ortogonal projeksjon i R 2. Skalarproduktet i R n. w på v. Fra figuren ovenfor ser vi at komponenten til w ortogonalt på v er
Kpittel Projeksjon En projeksjon er en lineærtrnsformsjon P som tilfredsstiller P x P x. for lle x. Denne ligningen sier t intet nytt skjer om du benytter lineærtrnsformsjonen for ndre gng, og mn kn tenke
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk 0 EMNENUMMER: REA04 EKSAMENSDATO:. desember 008 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER
DetaljerEksamen R2, Va ren 2014, løsning
Eksmen R, V ren 04, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler er tilltt. Oppgve ( poeng) Deriver funksjonene ) f sin Vi bruker kjerneregelen på sin,
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 1
Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2007
Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen Mat1110 våren 2004 Oppgave 1 (a) Elemetære rekkeoperasjoner anvendt på den utvidete matrisen til systemet gir oss:
Løsningsforslg til prøveeksmen Mt våren 4 Oppgve () Elemetære rekkeopersjoner nvendt på den utvidete mtrisen til systemet gir oss: b b b b b Setter vi = og b = får vi d mtrisen: som gir likningssystemet:
DetaljerMidtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl (Versjon B)
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Midtsemesterprøve fredg 13. mrs 2009 kl 1415 1615. (Versjon ) Oppgver på side 3 9. Svrtbell på side 11. Sett
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9
Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne
DetaljerNORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME
NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE nstitutt for mtemtiske relfg og teknologi EKSAMEN FYS135 - ELEKTROMAGNETSME Eksmensdg: 12. desember 2003 Tid for eksmen: Kl. 14:00-17:00 (3 timer) Tilltte hjelpemidler: B2 - Enkel
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken
Detaljer2 Differensiering. 2.1 Geometrien til reelle funksjoner. 2.3 Derivasjon. 2.2 Grenser og kontinuitet
Generelle teoremer og definisjoner MA03 Flerdimensjonl nlyse - NTNU Lærebok: Vetor Clulus, 6 utgve v Jerrold E Mrsden og Anthony Tromb Jons Tjemslnd 8 pril 05 Geometrien til euklidske vektorrom Vektorer
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA4 Mtemtikk Høst 8 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 6 5..5 Gjennomsnittet v f(x) = x på intervllet [, ] er lik relet A under grfen dividert
DetaljerI = (xy + z 2 ) dv. = z 2 dv. 1 1 x 1 x y z 2 dz dy dx,
TMA5 Mtemtikk Vår 7 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 8 Alle oppgvenummer referer til 8 utgve v Adms & Essex Clculus: A Complete Course 57: Vi
DetaljerLøsningsforslag, Midtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl Oppgavene med kort løsningsskisse
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Fsit side 12. Oppgvene med kort løsningsskisse
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a =
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslg til ving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, s elektronets kselersjon blir = e m E lts mot venstre. b) C Totlt elektrisk felt i
DetaljerLøsningsforslag, Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl Oppgavene med kort løsningsforslag (Versjon A)
Institutt for fysikk, NTNU FY100 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve fredg 1. mrs 2009 kl 1415 1615. Fsit side 10. Oppgvene med kort løsningsforslg
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:
DetaljerNumerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater
Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå
DetaljerTema 2: Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3 ST :44 (Gunnar Taraldsen)
Tem 2: Stokstiske vribler og snnsynlighetsfordelinger Kpittel 3 ST1101 2019-01-13 12:44 (Gunnr Trldsen) Det nts i nottet t S er et utfllsrom utstyrt med en snnsynlighet P (A) for enhver hendelse A F. F
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens
DetaljerDerivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen
3 Oversikt over Mtemtikk Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens v ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivsjon Sekntsetningen Integrsjon Differensilligninger Kurver i plnet Rekker
DetaljerRandkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.
Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVESITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: FYS1120 Elektromgnetisme Eksmensdg: 5. oktober 2015 Tid for eksmen: 10.00 13.00 Oppgvesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tilltte hjelpemidler:
DetaljerMAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:
DetaljerKalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen
Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer
DetaljerØving 9. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromgnetisme år 2009 Øving 9 eiledning: Mndg 09. og fredg 13. (evt 06.) mrs Innleveringsfrist: Fredg 13. mrs kl. 1200 (Svrtbell på siste side.) Opplysninger:
DetaljerTom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,
Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens formelle
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 6
Løsningsforslg Kollokvium 6 25. februr 25 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 6. Oppgve Diskusjonsoppgve Diskuter følgende spørsmål med hverndre og prøv å bli
DetaljerIntegrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon
Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får
Detaljer75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag
75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;
DetaljerLøsningsforslag SIE4010 Elektromagnetisme 5. mai 2003
Oppgve 1 Løsningsforslg SIE4010 Elektromgnetisme 5. mi 2003 ) Av symmetrigrunner må det elektriske feltet være rdielt rettet og uvhengig v φ, E = E(r)u r.vilrs være overflten til en sylinder med rdius
Detaljer1 Mandag 22. februar 2010
1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant
DetaljerEneboerspillet. Håvard Johnsbråten
Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte
DetaljerØving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.
Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
Detaljerdy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr
Detaljergir g 0 (x) = 2x + x 2 (x + 3) x x 2 x 1 (x + 3) 2 x 5 + 2x 4 + 6x 3 + x 2 + x + 3 x 2 (x + 3) 2 g(x; y) h(x) F (x; y) =
Oppgve ) gir b) c) d) e) f() = 5 4 3 gir f () = 3 6 + 3 g() = + 3 f)når så blir Merk her t = Tilsvrende er gir g () = + ( + 3) ( + 3) 5 + 4 + 6 3 + + + 3 ( + 3) h() = f() gir h () = f () + f() f() = g(;
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Integrasjon.
De grunnleggende definisjonene L oss strte med følgende prolem: Gitt en ontinuerlig funsjon y = f der f for [, ] Beregn relet A som er vgrenset v grfen til f, -sen, og de to vertile linjene = og = Vi n
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerMAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).
MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense
DetaljerNumerisk Integrasjon
Numerisk Integrsjon Anne Kværnø Mrch 1, 018 1 Problemstilling Vi skl ltså finne en numerisk tilnærmelse til integrlet for en gitt funksjon f (x). I(, b) = f (x)dx Teknikken vi skl diskutere klles numeriske
Detaljer9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler
96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerR1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka
R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e
Detaljer(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).
Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,
Detaljer2 Symboler i matematikken
2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerIntegrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016
Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos
DetaljerEksempel Funksjonen f (x)=x 3 er strengt voksende. vokser på intervallet [0, ) og avtar på intervallet
Kpittel Derivsjon I det første kpitlet skl vi friske opp teorien for funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere deres kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. For intervller
DetaljerR2 eksamen våren 2014. (19.05.2014)
R Eksmen V04 R eksmen våren 04. (9.05.04) Løsningsskisser (Versjon 3.0.4) Del - Uten hjelpemidler Oppgve ) fx sinu; u 3x Kjerneregel: f x f uu x cosu3 3 cos3x b) e x e x med kjerneregel som i ) Produktregel:
DetaljerKapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.
Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70
DetaljerBioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode
Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom
DetaljerIntegral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)
Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sinπ sinh π 4 + loglog loglog + C cos + sin π s e Γs n n s Γsζs π + sin +cos log + cos i Del I. Brøk................................... Trigonometriske funksjoner.....................
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerSensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)
Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t
Detaljer