Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode

Transkript

1 Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom en hunn produserer på lderstrinn i (fekunditeten) og l l i være overlevelse opp til lder i. Ant t disse prmeterne ikke endrer seg over tid. Dette vil kunne være tilfelle så lenge den totle populsjonsstørrelsen er liten slik t det ikke er konkurrnse om plss og ndre begrensede ressurser. Selv om en slik ntkelse knskje ikke er relistisk vil det kunne være interessnt å undersøke impliksjonen v en disse ntkelsene. Et spørsmål er hvor rskt en slik populsjon vil vokse. L N t,0 betegne ntll nyfødte i år t. Disse nyfødte er vkom v hunner født i tidligere år v ntll hunner født i år tilbke, N t i,0, vil en ndel l i være i live ved tidspunkt t. Hver v disse vil bidr med m i vkom slik t det totle bidrget fr årsklssen født i år tidligere blir N t i,0 l i m i vkom. Totlt ntll vkom født i år t kn dermed skrives som N t,0 = N t i,0 l i m i. (1) Hvordn vil N t,0 endre seg over tid? Det virker rimelig å nt t N t,0 etter hvert vil vokse eller vt eksponentielt med t, ltså t en mulig løsning vil kunne være på formen N t,0 = Ke rt. (2) Setter vi (2) inn i (1) får vi t Ke rt = Ke r(t i) l i m i. (3) 1

2 Deler vi begge sider med Ke rt får vi 1 = e ri l i m i. (4) som er den såklte Euler-Lotk ligningen. Hvis det eksisterer en r som er løsning v (4) betyr det t en løsning på formen (2) vil psse i (1), ltså t populsjonen vil kunne vokse eksponentielt med vekstrte r. Bre når n 2 kn (4) løses ved vnlige metoder for n > 2 ser vi t (4) er en n te grds ligning i e r. Denne må generelt løses numerisk, f.eks. ved bruk v Newton s metode. Vi må d skrive om (4) slik t den er på formen finne f (r), og så bruke itersjonsligningen f(r) = 0, (5) r = r f(r) f (r), (6) for å regne oss frm til løsningen. Euler-Lotk ligningen og lderstrukturerte modeller generelt er nyttige i mnge smmenhenger, f.eks. kn slike modeller brukes i befolkningsfrmskrivninger for å predikere fremtidige befolkningsstørrelser under ulike scenrier. Innen evolusjonsbiologi er slike modeller viktige for å forstå evolusjon v ulike livshistoriestrtegier slike modeller gir oss d innsikt i hv som er årsken til fenomen som ldring, hv som påvirker lder for kjønnsmodning o.l. Alderstrukturerte modeller kn håndteres mer generelt ved bruk v metoder fr lineær lgebr. Dette vil vi se nærmere på senere i kurset. 2 Snnsynlighetsmksimering og Newton s metode L oss tenke oss en levetidsmodell med dødsrte (intensitet) λ(t) = 1 t +, (7) hvor prmeter er en positiv konstnt. Dødsrten, ltså snnsynligheten for t et individ dør i et lite tidsintervll t, t + t, gitt t det er i live ved tidspunkt t vtr ltså med tiden t og går mot null når t går mot uendelig. 2

3 Generelt (se nott om levetidsfordelinger fr brukerkurset i snnsynlighetsregning) er kumultiv fordeling til T uttrykt ved dødsrten gitt ved F T (t) = P (T t) = 1 e R t 0 λ(u)du. (8) For modell (7) får vi etter litt regning t dette blir F T (t) = 1 t +. (9) Deriverer vi får vi t tettheten til T blir f T (t) = (t + ). (10) 2 L oss tenke oss t t 1, t 2,..., t n er observerte levetider fr modellen over og t vi ønsker å estimere prmeteren ved bruk v snnsynlighetsmksimering. Vi trenger d likelihoodfunksjonen, ltså snnsynligheten for dtene gitt, som blir n L() = (t i + ), (11) 2 og log-likelihoodfunksjonen slik t ln L() = n ln 2 I likelihoodfunksjonens mksimum er ln(t i + ) 2. (12) ln L() = 0, (13) n 2 1 t i + = 0. (14) Løsningen v denne ligningen er snnsynlighetsmksimeringsestimtet v. Vi ser t (14) er en (n + 1) te grdsligning i som derfor ikke kn løses ved vnlige metoder med mindre n = 1. Derfor må denne estimeringsligningen løses numerisk. Vi ser t vi hr en ligning på formen f() = 0 slik t vi kn finne løsningen ved å bruke Newton s metode. Vi trenger d f () som blir n (t i + ) 2. (15) En funksjon som tr en vektor v observsjoner som innrgument og beregner SME v, â, ved hjelp v Newton s metode blir dermed: 3

4 ht <- function(t,=1,tol=1e-6) { n <- length(t) forrige <- -1 while (bs(-forrige)>tol) { forrige <- <- - (n/-2*sum(1/(t+)))/(-n/^2+2*sum(1/(t+)^2)) print() } return() } 3 Inversjonsmetoden L oss fortsette eksempelet i del 2. For å undersøke om vår estimeringsmetode fungerer trenger vi å beregne et estimt â på grunnlg v simulerte dt. D bør estimtet â ligge nærme den snne verdien v dersom utvlgsstørrelsen n er stor. Vi hr tidligere lget oss dt fr ulike fordelinger ved å bruke innebygde funksjoner i R for å simulere fr kjente fordelinger. Fordelingen gitt ved (10) svrer imidlertid ikke til noen fordeling som R kjenner. Vi trenger derfor en metode for å simulere fr (10). Mer generelt skl vi se på en metode for å simulere fr kontinuerlige fordelinger ved bruk v den såklte inversjonsmetoden. Metoden bygger på t vi er i stnd til å simulere U Unif(0, 1) (dette kn vi gjøre med funksjonen runif i R). Hvis vi kn finne en pssende trnsformsjon Y = g(u) slik t Y får fordelingen vi søker hr vi løst problemet. Vi kn d simulere fr fordelingen til Y ved å simulere fr uniform fordeling og så beregne Y = g(u). L F (y) være den kumultive tettheten til fordelingen vi ønsker å simulere fr. Trnsformsjonen vi søker, g, skl h intervllet fr 0 til 1 som definisjonsområdet og smme verdiområde som vribelen Y. Dette vil være tilfelle for den inverse v den kumultive fordelingsfunksjonen til fordelingen vi søker, F 1, denne trnsformerer tll på intervllet fr 0 til 1 til tll som ligger i verdiområdet til Y. Får vi rett fordeling om vi lr Y = F 1 (U)? Kumultiv tetthet til trnsformsjon blir F Y (y) = P (Y y) = P (F 1 (U) y) = P (U F (y)) = F U (F (y)). (16) 4

5 Fordi U hr kumultiv tetthet F U (u) = u for 0 u 1 blir kumultiv tetthet til Y F Y (y) = F (y), (17) ltså hr Y fordelingen vi søker. 3.1 Generell lgoritme Hvis vi kjenner kumultiv fordeling F (y) til en vribel Y og den inverse v F kn vi ltså simulere en relissjon v Y på følgende måte: 1. Simuler U Unif(0, 1). 2. Beregn Y = F 1 (U). 3.2 Eksempel I levetidsmodelleksempelet i del 2 hdde vi t I følge inversjonsmetoden skl F T (t) = 1 t +. (18) T = F 1 T (U) (19) hr rett fordeling dersom U Unif(0, 1). Ligning (19) er ekvivlent med t ltså trnsformsjonen U = F T (T ), U = 1 T +, (20) T = U 1 U. (21) Bruker vi denne metoden kn vi simulere 100 observsjoner fr (10) på følgende måte. L oss nt t = 5. > <-5 > u <- runif(100) > t <- *u/(1-u) > rnge(t) [1] e e+03 > hist(t[t<50],breks=20) 5

6 Histogrm of t[t < 50] Frequency t[t < 50] Fordi dødsrten λ(t) (7) går mot null når t blir stor får fordelingen en lng tynn øvre hle. I eksempelet over blir den lengste simulerte levetiden hele 1294 lngt større enn der lle fleste observsjonene. 1 Det er hensiktsmessig å t bort disse observsjonene fr histogrmmet. Vi kn nå undersøke om estimtoren vår fr del 2 fungerer > ht(t) [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] Vi ser t lgoritmen konvergerer rimelig rskt og t estimtet ser ut til å bli liggende i nærheten = 5 slik det bør når n er stor. 1 Det kn og nevnes t forventningen ikke eksisterer. Forsøker vi å beregne forventningen E(T ) = 0 tf T (t)dt finner vi t dette integrlet ikke konvergerer. 6