E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

Transkript

1 E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive fg Oppgåv ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgven foreligger på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål.

2 OPPGAVE 1 ) Deriver funksjonene: 1) f ( x) = 3 + cos x ) gx ( ) = sinx b) Finn integrlet: x ln xdx c) Løs likningen ved regning: 6cos x cosx 1 0 x 0, π = d) L X være en binomisk fordelt vribel med n = 50 og p = 0,75. 1) Bestem forventningsverdien µ = EX ( ) og stndrdvviket σ = SD( X ). ) Bestem PX ( 4). e) En bestemt ellipse kn i polrkoordinter skrives på formen 16 r( θ ) = θ 5 + 3cosθ 0, π 1) Skisser grfen til r ved hjelp v lommeregneren. ) Bruk lommeregneren og finn relet v fltestykket vgrenset v grfen. Side 11 v 15 AA654/AA656

3 OPPGAVE Plnet α er gitt ved likningen 8x+ 6y+ 3z = 4 ) Forklr t α går gjennom punktene (3,0,0), (0,4,0) og (0,0,8). b) Finn en normlvektor til α. c) Bestem vstnden fr origo til α. En prtikkel strter i origo. Etter t sekunder er posisjonen gitt ved Alle lengder er målt i meter. t t r() t =,, t 4 6 t 0 d) 1) Hvor lng tid tr det før prtikkelen treffer plnet α? ) Bestem koordintene til punktet der prtikkelen treffer α. e) Hvor lngt beveger prtikkelen seg fr den strter til den treffer α? Visste du t Origo er et ltinsk substntiv vledet v verbet oriri som betyr å reise seg, stå opp, komme fr. Det kn oversettes med opprinnelse eller utgngspunkt. Det er den siste betydningen som benyttes i mtemtikken. Kilde: Mtemtisk etymologi v Rgnr Solvng Side 1 v 15 AA654/AA656

4 OPPGAVE 3 Mrcels bestefr dyrker jordbær. Mrcel vil undersøke om bærkurvene til bestefren holder den nnonserte gjennomsnittsvekt på 500 g. Mrcel plukker ut ti tilfeldige kurver fr dgens innhøsting. Kurvene veier: 480 g, 51 g, 484 g, 496 g, 488 g, 500 g, 508 g, 516 g, 488 g og 478 g. ) Bestem et estimt for gjennomsnittsvekt til kurvene. b) Bestem stndrdfeilen til dette estimtet. c) Finn et 95 % konfidensintervll for gjennomsnittsvekt til kurvene. Kommenter svret. d) Mrcel synes t bredden på konfidensintervllet er for stort. Hv kunne hn h gjort for å få et kortere konfidensintervll? OPPGAVE 4 Du skl besvre enten lterntiv I eller lterntiv II. De to lterntivene er likeverdige ved vurderingen. (Dersom besvrelsen inneholder deler v begge, vil bre det du hr skrevet på lterntiv I, bli vurdert.) Alterntiv I En strømbryter skl slå på gtelyset i en by. Lyset blir slått på T( x ) timer etter midntt, der x er ntll dger etter 31. desember (x = 1 tilsvrer 1. jnur). πx T( x) = 19 4cos 365 ) Finn ved regning når på døgnet lyset blir slått på den 15. mrs, det vil si når x = 74. b) Finn ved regning hvilke dtoer lyset blir slått på klokk 18. c) Hvor mye endres tidspunktet T( x ) per døgn midt i pril? d) Når på året endrer tidspunktet T( x ) seg rskest? Side 13 v 15 AA654/AA656

5 Alterntiv II 1 Figuren viser et kvdrt med sideknt 1. I dette kvdrtet er det innskrevet et nytt kvdrt slik t hjørnene i det nye kvdrtet ligger midt på hver v de fire sidene i det første kvdrtet. 1 I det ndre kvdrtet er det innskrevet et tredje kvdrt etter smme prinsipp, og deretter et fjerde osv. Se figuren. ) Finn relene v de fire første kvdrtene. Vis t summen v disse relene dnner en geometrisk rekke. b) Finn relet v kvdrt nr. 10 og summen v de 10 første kvdrtene. c) Forklr hvorfor rekk konvergerer. Bestem summen v relene når ntll kvdrter går mot uendelig. d) Hvor mnge kvdrter må rekk minst bestå v for t summen v relene skl være større enn 99,9 % v svret i c)? Side 14 v 15 AA654/AA656

6 OPPGAVE 5 En ellipse med store hlvkse og lille hlvkse b er gitt ved likningen x + b y = 1 ) Vis t likningen kn omformes til y =± b 1 x b) Forklr t relet v ellipsen er gitt ved x A= b 1 dx For å kunne beregne dette relet foretr vi et vribelskifte ved å sette x = cost. c) Hv er t når x=, og hv er t når x =? Forklr t dx = sintdt d) Vis t relet v ellipsen nå kn skrives som 0 π sin d sin d A= b t t = b t t π e) Bruk smmenhengen sin t = cos t til å finne en formel for relet v ellipsen. Visste du t Den første som brukte ordet ellipse i den betydning det hr i dg, vr den greske mtemtikeren Apollonius (6 190 f. Kr.) i sin teori for kjeglesnittene (ellipse, hyperbel og prbel). Disse vr tidligere oppdget v den greske mtemtikeren Menikhmos (c. 350 f. Kr.) Kilde: Mtemtisk etymologi v Rgnr Solvng Side 15 v 15 AA654/AA656