Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Transkript

1 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2

2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens formelle grunnlg. Derfor er også en god del bevis uteltt, mens det er desto flere eksempler. Kompendiet er under utvikling og lle lesere oppfordres derfor til å komme med konstruktive kommentrer på innhold og utforming, slik t kompendiets neste utgve kn bli bedre enn denne. Noen få vsnitt i kompendiet er merket med en stjerne. Disse er ikke med i pensum i MAT 2, men er ttt med for å utfylle teorien, og knskje v interesse for noen lesere. Blindern, 8. jnur 22 Arne B. Sletsjøe Våren 23 hr kompendiet gjennomgått en krftig oppgrdering. Mengder v trykkfeil er rettet, det er lgt til mye flere eksempler og ntllet oppgver er øket. Blindern, vårsemesteret 23 Arne B. Sletsjøe

3 Innhold Funksjoner i en vribel 3. Monotoni-egenskper og lokle ekstremlpunkter Kritiske punkter Globle ekstremlpunkter Krumning og vendepunkter Integrsjon 6 2. Ubestemt integrsjon Bestemt integrsjon Fundmentlteoremet Riemnnsummer Archimedes beregning v volumet v en kule Trpesmetoden og Simpsons metode Uekte integrler Approksimering Tylorpolynom Restleddsestimter Følger Rekker Rekker som funksjoner Konvergenskriterier Numerisk løsning v differensillikninger Løsning v y + y = e x Løsning v likningen y y 2 = Fsit Kpittel Kpittel Kpittel Kpittel

4 Kpittel Funksjoner i en vribel I det første kpitlet skl vi friske opp teorien for funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere deres kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. For intervller skl vi bruke notsjonen [, b] = {x R x b} for lukkede intervller, (, b) = {x R < x < b} for åpne intervller og (, b] = {x R < x b} og [, b) = {x R x < b} for hlvåpne intervller.. Monotoni-egenskper og lokle ekstremlpunkter Lokle egenskper til en funksjon er egenskper som observeres i små intervller om punkter i definisjonsområdet til funksjonen. Monotoni-egenskpene til en funksjon, dvs. hvor den vokser og hvor den vtr, er en lokl egenskp, det smme gjelder krumning. Kontinuitet, deriverbrhet og mksimums- og minimumspunkter er også lokle egenskper. Definisjon... En funksjon y = f(x) er (strengt) voksende på et intervll I dersom f(x ) f(x 2 ) (f(x ) < f(x 2 )) for lle x < x 2 i intervllet. Funksjonen er (strengt) vtgende dersom f(x ) f(x 2 ) (f(x ) > f(x 2 )) for lle x < x 2 i intervllet. Figur.. To monotone grfer, voksende til høyre og vtgende til venstre. Eksempel... Funksjonen f(x) = x 2 er strengt voksende på intervllet [, ), siden x 2 < x 2 2 når x < x 2. Tilsvrende er funksjonen strengt vtgende på intervllet (, ]. 3

5 Eksempel..2. Funksjonen f(x) = x 3 er strengt voksende overlt, siden x 3 < x 3 2 når x < x 2. Eksempel..3. Eksponensilfunksjonen f(x) = e x, definert på hele tllinj, er strengt voksende overlt. Monotoni kn måles ved den deriverte til funksjonen. Teorem..2. Dersom f (x) > (henholdsvis f (x) < ) på et intervll, så vokser (henholdsvis vtr) f(x) på intervllet. Bevis. L x I. Vi bruker definisjonen v den deriverte v f(x) i x f (x) = lim h f(x + h) f(x) h Setter vi f (x) > og ntr h >, så følger det t f(x + h) > f(x) for lle x I. For h < får vi f(x + h) < f(x) for lle x I. Det følger t funksjonen er voksende på hele intervllet. Eksempel..4. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2. Den deriverte er gitt ved f (x) = 2x, som betyr t funksjonen vokser på intervllet [, ) og vtr på intervllet (, ]. Eksempel..5. Betrkt funksjonen f(x) = e x. Den deriverte er gitt ved f (x) = e x >, som betyr t funksjonen vokser overlt. Eksempel..6. Funksjonen f(x) = sin x, hvor x [ π, π] hr derivert f (x) = cos x. På intervllet [ π 2, π 2 ] hr vi cos x og funksjonen vil derfor være voksende på dette intervllet. Vi er interessert i å finne punkter der funksjonen ntr sin største/minste verdi. I første omgng leter vi etter lokle mksimums- og minimumspunkter, dvs. punkter der funksjonen er større (mindre) enn eller lik lle ndre punkter i nærheten. Dette trenger ikke å gi oss de største (minste) verdiene for funksjonen, som vi skl se senere. Vi skl bruke begrepet i nærheten v x om punkter som er forskjellig fr x, men hvor vstnden til x er så liten som det er hensiktsmessig i det ktuelle tilfellet. Denne vstnden kn være eller den kn være., eller en end mindre verdi. Det viktigste er t det finnes en fst vstnd slik t påstnden vi kommer med er snn for lle y som ikke er lenger fr punktet x enn denne vstnden. Et eksempel på bruk v begrepet i nærheten v er som følger: L f(x) være en kontinuerlig funksjon, dvs. t lim x f(x) = f() for lle i definisjonsområdet til f. F.eks. kn vi l f(x) = x x 2. For x =.9 hr vi f(.9) =.9 (.9) 2 =.9 >. L nå x =.9 + h for en liten verdi for h. D hr vi t f(.9 + h) =.9 + h (.9 + h) 2 =.9 + h.8.8h h 2 =.9.8h h 2 Vi ser t dersom h <. så hr vi f(.9 + h) >. Det betyr t i dette tilfellet vil i nærheten v bety t vstnden til.9 er ekte mindre enn.. 4

6 Definisjon..3. Det er to typer lokle ekstremlpunkter: i) Funksjonen y = f(x) hr et loklt minimum i x = c dersom f(c) er mindre enn eller lik f(x) for lle x i et åpent intervll om x = c. ii) Funksjonen y = f(x) hr et loklt mksimum i x = c dersom f(c) er større enn eller lik f(x) for lle x i et åpent intervll om x = c. En fellesbetegnelse på punkter hvor funksjonen hr lokle mks- eller minimumspunkter er lokle ekstremlpunkter. Figur.2. Figuren indikerer lokle mksimums- og minimumspunkter. Eksempel..7. Funksjonen f(x) = x 2 definert på hele R hr et loklt minimumspunkt i x = siden f(x) > f() for lle x. Eksempel..8. Funksjonen f(x) = cos x definert på hele R hr et loklt mksimumspunkt i x = siden cos x cos = for lle x i nærheten v. Denne funksjonen er periodisk med periode 2π og vi hr derfor også mksimumspunkter for x = 2kπ, for lle hele tll k. Tilsvrende hr vi lokle minimumspunkter for x = π + 2kπ for lle hele tll k, siden cos (π + 2kπ) = cos π = cos x for lle verdier v x. Eksempel..9. Funksjonen f(x) = e x hr ingen lokle ekstremlpunkter siden dens deriverte f (x) = e x > for lle x..2 Kritiske punkter Den deriverte til en funksjon y = f(x) i et punkt x gir oss stigningstllet til tngenten til funksjonen i punktet. I et mksimums- eller minimumspunkt for en deriverbr funksjon (en funksjon er deriverbr i et punkt dersom den hr en derivert i punktet) vil tngenten være horisontl, dvs. tngentlinj hr stigningstll. Det betyr t f (x ) =. Slike punkter er så viktige t de hr fått et eget nvn. Definisjon.2.. Et punkt x = c i definisjonsområdet til en funksjon f(x) klles et kritisk punkt for funksjonen dersom f (c) = eller f (c) ikke eksisterer. Merk t vi bruker betegnelsen kritisk punkt både om punkter der den deriverte er, og om punkter der funksjonen ikke hr noen derivert, f.eks. i knekkpunkter på grfen. Dersom funksjonen f(x) er definert på et lukket intervll [, b], inkluderer vi endepunktene x = og x = b blnt funksjonens kritiske punkter. Dette psser med definisjonen siden den deriverte v en funksjon, formelt sett ikke er definert i endepunktene v et lukket definisjonsområde. 5

7 Figur.3. De mrkerte punktene viser de kritiske punktene. Eksempel.2.. Funksjonen f(x) = x hr et kritisk punkt i x = siden f () ikke er definert i det punktet. Absoluttverdifunksjonen er ikke deriverbr i x = siden grenseverdiene fr høyre og venstre side ikke er like, vi hr for positive verdier v h, og for negtive verdier v h, f( + h) f() h lim = lim h h h h = f( + h) f() h lim = lim h h h h = Figur.4. Grfen til bsoluttverdifunksjonen, f(x) = x med et kritisk punkt i x =. Eksempel.2.2. Alle potensfunksjoner g(x) = x n for n 2 hr kritisk punkt i x = siden f () = n n =. 6

8 Figur.5. Grfen til f(x) = x. Eksempel.2.3. Funksjonen h(x) = x hr ikke et kritisk punkt i x = siden funksjonen ikke er definert i dette punktet. I mnge tilfeller er det smmenfll mellom ekstremlpunkter og kritiske punkter, men det er ikke lltid snt. Imidlertid er det slik t ekstremlpunkter lltid er kritiske punkter, men det er det motstte som ikke nødvendigvis er riktig. Teorem.2.2. Dersom f(x) hr et loklt mksimums- eller loklt minimumspunkt i x = c, så er c et kritisk punkt. Bevis. Vi hr f f(c + h) f(c) f(x) f(c) (c) = lim h h x c hvor vi i det siste uttrykket lr x = c + h være i nærheten v c, dvs. t h er liten. Ant t f(x) hr et loklt mksimum i x = c. Dersom f (c) >, så vil f(x) > f(c) for x > c. Dette er ikke mulig siden c er et loklt mksimumspunkt. Dersom f (c) <, så vil f(x) > f(c) for x < c, som på tilsvrende måte er umulig og vi hr en motsetning. Smme slgs rgument gjelder for lokle minimumspunkter. Teorem.2.3. Hvis f(x) hr et kritisk punkt i x = c, så er dette i) et loklt minimum dersom f (x) skifter tegn fr negtiv til positiv i x = c. ii) et loklt mksimum dersom f (x) skifter tegn fr positiv til negtiv i x = c. Bevis. Følger nokså direkte fr definisjonen v den deriverte ved å nlysere fortegnet til uttrykkene som inngår. Eksempel.2.4. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2. Den deriverte er gitt ved f (x) = 2x, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt i x =. Dette er også et loklt minimumspunkt siden den deriverte til (x) skifter tegn fr negtivt til positivt i x =. Grunnen til t det ikke er en enentydig smmenheng mellom kritiske punkter og ekstremlpunkter, er t det finnes kritiske punkter som ikke er ekstremlpunkter. Det t den deriverte til en funksjon er i et punkt, trenger ikke å bety t punktet er et mksimums- eller minimumspunkt for funksjonen. Det er fullt mulig t den deriverte til funksjonen er i et punkt, smtidig med t funksjonen vokser overlt i nærheten v punktet (se eksemplet under). 7

9 Figur.6. Grfen til funksjonen f(x) = x 3. Eksempel.2.5. Betrkt funksjonen g(x) = x 3. Den deriverte er gitt ved g (x) = 3x 2, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt for x =. Dette er imidlertid ikke noe ekstremlpunkt. Funksjonens deriverte skifter ikke tegn i dette punktet, vi hr g (x) > for lle x. En typisk problemstilling vi møter på, dreier seg om å nlysere monotoniegenskpene og å finnne lokle ekstremlpunkter for en funksjon. Det neste eksemplet illustrerer frmgngsmåten, hvor fortegnsskjem er et sentrlt hjelpemiddel. Eksempel.2.6. Vi skl bestemme monotomi-egenskper og lokle ekstremlpunkter for funksjonen f(x) = 3x 4 4x Vi regner ut den deriverte, fktoriserer og setter den lik ; Vi tegner fortegnsskjem for f (x): f (x) = 2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ) = x < < x < x > 2x x f (x) Hver fktor i uttrykket for den deriverte hr sin egen rd og ±-tegnene ngir tegnet til fktoren i det ngitte intervllet. Tegnene multipliseres smmen i rden til f (x) og i nederste rd er konklusjonen gitt, om hvor vidt funksjonen vokser eller vtr. 8

10 Det betyr t vi hr et loklt minimumspunkt for x =, t funksjonen er vtgende for x < og t den er voksende for x >. Vi hr ikke noe ekstremlpunkt for x =, selv om f (x) =. Den deriverte skifter ikke tegn i dette punktet..3 Globle ekstremlpunkter I motsetning til de lokle egenskpene, som sier noe om funksjonen i en liten omegn om et punkt, vil de globle egenskpene beskrive funksjonen på hele definisjonsområdet sett under ett. Definisjon.3.. (Globle mksimums- og minimumspunkter) i) Funksjonen y = f(x) hr et globlt minimum i x = c dersom f(c) er mindre enn eller lik f(x) for lle x i definisjonsområdet. ii) Funksjonen y = f(x) hr et globlt mksimum i x = c dersom f(c) er større enn eller lik f(x) for lle x i definisjonsområdet. Vi vil omtle funksjonsverdien i de globle minimums- og mksimumspunktene som funksjonens minimums- og mksimumsverdier og smlet som funksjonenes ekstremlverdier. Funksjoner trenger verken å h lokle eller globle ekstremlpunkter. Et eksempel er funksjonen f(x) = x definert på hele tllinj. Den hr ingen ekstremlpunkter fordi for lle punkter x = på tllinj så vil det finnes punkter x i nærheten v slik t f(x) > f() og ndre som oppfyller f(x) < f(). Funksjonen f(x) = x hr heller ingen ekstremlverdier dersom definisjonsområdet er et åpent intervll (, b). På et lukket intervll derimot, hr funksjonen f(x) = x både et globlt mksimumspunkt og et globlt minimumspunkt, nemlig endepunktene i intervllet. Et åpent intervll som (, ) inneholder ikke sine endepunkter. Vi kn finne tll i intervllet som er så nær opp til som vi måtte ønske. Men unsett hvilket tll vi velger, vil det lltid finnes tll mellom det vlgte tllet og. Alle tll i det åpne intervllet (, ) hr ndre tll på begge sider. Dette er krkteristisk for åpne intervller. I det lukkede intervllet [, ] finnes det to tll, og, som kjennetegnes ved t de hr nboer i intervllet kun på sin ene side. En kontinuerlig funksjon vil lltid oppnå sine ekstremlverdier dersom definisjonsområdet er et lukket intervll. Dette er innholdet i ekstremverditeoremet som vi gjengir uten bevis. Teorem.3.2. En funksjon f(x) som er kontinuerlig på et lukket, begrenset inervll [, b], vil oppnå sine mksimums- og minimums-verdier i intervllet. Eksempel.3.. L f(x) = x 2 + 4x 3. Vi skl fine mksimumsverdien til f(x) på intervllet [, ]. Vi observerer t f (x) = 2x + 4 = når x = 2. Men x = 2 er ikke i intervllet, så dette punktet er vi ikke interessert i. Det betyr t de eneste punktene vi trenger å sjekke er endepunktene: f( ) = 8 og f() =. Så den største verdien til f(x) på [, ] er f() =. 9

11 Eksempel.3.2. Vi skl finne ekstremlverdiene til funksjonen f(x) = 7 + x 2 på intervllet x 4. Den deriverte f (x) er ldri. Men den er ikke definert i punktet x = 2, så vi regner ut verdien her, f(2) = 7. For endepunktene hr vi f() = 8 og f(4) = 9. Det minste v disse tre verdiene er f(2) = 7, som derfor er minimumsverdien, mens den største er f(4) = 9 som gir oss mksimumsverdien på intervllet [, 4]. Eksempel.3.3. Av lle rektngler med rel 25, og sideknter kortere enn, hvilket hr den minste og hvilket hr den største omkretsen? Vi strter med å formulere problemet mer mtemtisk. Vi lr x være lengden på den ene sideknten. D vil den ndre sideknten h lengde 25 x siden relet skl være 25. Omkretsen blir d gitt ved funksjonen f(x) = 2x x over intervllet (, ]. Denne funksjonen skl vi finne mksimumsverdien til. Vi deriverer og får f (x) = 2 5 x 2 Løser vi likningen f (x) = får vi x = ±5. Punktet x = 5 er ikke med i definisjnsområdet, så det forkster vi. Dermed står vi igjen med ett kritisk punkt, x = 5. Funksjonen er ikke definert i punktet x = (rektnglet kollpser) og vi må sjekke de to kritiske punktene x = 5 og x =. Innsetting gir f(5) = 2 og f() = 25. Dette gir kndidter for mksimum og minimum. Men vi er ikke ferdige end. Siden definisjonsområdet ikke er lukket (men hlvåpent) kn vi ikke bruke ekstremlverdisetningen, og vi må sjekke hv som skjer når x. Det er opplgt t omkretsen vil vokse over lle grenser når den ene sideknten blir veldig liten, og den ndre blir veldig stor. Derfor vil ikke f() = 25 være noe globlt mksimum, men f(5) = 2 er fortstt minimumsverdien. Eksempel.3.4. Vi skl finne det største rektngelet vi kn legge inn grfen til prbelen y = x 2 når y skl være mindre enn en fst verdi. Figur.7. Rektngel i en prbel. L A(x) være relet v rektngelet med grunnlinje 2x (begge sider v y-ksen. Høyden i rektngelet vil være x 2. Det gir rel A(x) = 2x( x 2 ) = 2x 2x 3

12 hvor x ligger i intervllet [, ]. De kritiske punktene vil være endepunktene og punktene der A (x) =. Den deriverte v A(x) er gitt ved A (x) = 2 6x 2 Setter vi denne lik får vi x = ± 3. Vi forkster den negtive løsningen siden den ikke er i definisjonsområdet. Innsetting gir A() = A( ) = og A( 3 ) = ( 4 9 ) Det gir minimumsrel (selvfølgelig) og mksimumsrel ( 4 9 ) Eksempel.3.5. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2 e x x 3 For å finne ut hvor funksjonen vokser, hvor den vtr og hvor den hr sine ekstremlpunkter, må vi se på dens deriverte. I dette tilfellet får vi f (x) = 2xe x x 2 e x = x(2 x)e x Denne informsjonen bruker vi til å tegne et fortegnsskjem for f (x): - < x < < x < < x < 3 3 x x e x f (x) f(x) e e 2 e 3 Skjemet viser t funksjonen vtr på intervllene (, ) og (2, 3) og vokser på intervllet (, 2). Den hr lokle mksimumspunkter i x = og i x = 2, og lokle minimumspunkter for x = og for x = 3. For å finne ut hvilke punkter som gir oss de globle ekstremlverdiene regner vi ut funksjonsverdien i de lokle ekstremlpunktene, og i tillegg i endepunktene til det lukkede intervllet. Verdiene står i nederste linje. Av disse ser vi t x = gir den største verdien, ltså et globlt mksimumspunkt og x = gir minste verdi og dermed svrer til et globlt minimumspunkt..4 Krumning og vendepunkter Neste skritt er å studere funksjonenes krumningsegenskper. Definisjon.4.. En deriverbr funksjon y = f(x) krummer opp (resp. ned) i et intervll (, b) dersom f (x) er voksende (resp. vtgende) i intervllet. Krumning innebærer t stigningstllet til funksjonen endrer seg. Krumning oppover betyr t funksjonen blir brttere, som betyr t stigningstllet øker. Stigningstllet til funksjonen er gitt ved den deriverte, så økende stigningstll betyr t den deriverte v den deriverte er positiv. Den deriverte til den deriverte til en funksjon klles den dobbelt-deriverte og vi skriver f (x).

13 Teorem.4.2. L f(x) være to gnger deriverbr på et intervll I, dvs. t den deriverte f (x) også er deriverbr. i) Dersom f (x) > på I, så krummer grfen oppover. ii) Dersom f (x) < på I, så krummer grfen nedover. Bevis. Bruk Teorem..2 på den deriverte. Definisjon.4.3. Et punkt x = c der funksjonen f(x) skifter krumning fr opp til ned eller motstt, klles et vendepunkt for f. På smme måte som t ekstremlpunkter finnes der den deriverte skifter tegn, finner vi vendepunkter den den dobbelt-deriverte skifter tegn. Teorem.4.4. Dersom x = c er et vendepunkt for f(x), og f (c) er veldefinert, så er f (c) =. Bevis. Et vendepunkt er et ekstremlpunkt for den deriverte, og Teorem.2.2 gir t x = c er et kritisk punkt for f (x). Siden den deriverte v f (x) eksisterer i x = c, så følger det t f (c) =. Eksempel.4.. Funksjonen f(x) = x 3 hr et vendepunkt i x = siden f () = og den dobbeltderiverte f (x) = 6x skifter tegn i x =. Merk t vi kn h f (c) = uten t x = c er et vendepunkt, slik som tilfellet er for funksjonen f(x) = x 4 i punktet x =. Den dobbelt-deriverte er gitt ved f (x) = 2x 2. Den hr et nullpunkt for x =, men f (x) > for både positive og negtive verdier for x. Den dobbelt-deriverte f (x) skifter derfor ikke tegn i dette punktet, og x = er ikke noe vendepunkt. Eksempel.4.2. Vi skl studere krumningsegenskpene til funksjonen f(x) = 3x 4 4x Vi regner ut den deriverte og den dobbelt-deriverte og finner deres nullpunkter. Dette bruker vi til å finne fktoriseringer: f (x) = 2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ) f (x) = 36x 2 24x = 2x(3x 2) For å finne monotoniegenskper tegner vi fortegnsskjem for den deriverte: x < < x < x > 2x x f (x) Vi ser t x = er et kritisk punkt, men ikke noe ekstremlpunkt. 2

14 For å finne krumningsegenskpene tegner vi fortegnsskjem for den dobbelderiverte: x < < x < x > 2 3 2x x f (x) opp vendepunkt ned vendepunkt opp Konklusjonen står i nederste linje. Eksempel.4.3. Ant t vi skl gå til et punkt A ute i snden og t vi befinner oss ved punktet D på veien illustrert ved linj DC (se figuren). Veien er rett og b gir vstnden fr A til det nærmeste punktet C på veien. Avstnden fr punktet D til punktet C kller vi. Ant t vi kn holde frten v lngs veien og w < v ute i snden. Hvor lngt skl vi gå lngs veien før vi svinger ut i snden for å bruke kortest mulig tid mellom D og A? Vi kller punktet hvor vi svinger ut i snden for B og lr vstnden fr B til C være x. Det betyr t vi beveger oss en vstnd x lngs veien, og ved Pythgors vil vstnden fr B til A være x 2 + b 2. Tid er gitt ved vstnd delt med frt, og vi får smlet tid gitt ved funksjonen f(x) = x v + x2 + b 2 Vi skl finne minimum v f(x) når x ligger mellom og. Vi setter f (x) = og får = f (x) = v + x w x 2 + b 2 Det gir w x 2 + b 2 = vx Vi kvdrerer begge sider og får som ved litt enkel lgebr gir w w 2 (x 2 + b 2 ) = v 2 x 2 x = wb v2 x 2 Dette gir oss det kritiske punktet vi leter etter og (nokså opplgt) minimumspunktet. 3

15 Vi merker oss t ikke inngår i dette uttrykket, noe som betyr t vi lltid skl gå til det smme punktet, uvhengig v utgngspunkt, men under en forutsetning, t det kritiske punktet ligger inne i intervllet [, ]. Dersom dette ikke er tilfelle hr vi ikke noe kritisk punkt inne i intervllet, og d vil minimumsverdien bli å finne i et v endepunktene. De to verdiene der er gitt ved f() = v + b w Nå hr vi f() = 2 + b 2 f() 2 f() 2 = 2 v 2 + 2b vw + b2 w b 2 w 2 w = 2 v 2 + 2b vw 2 w 2 = 2 ( v 2 w 2 ) + 2b vw = 2 (w 2 v 2 ) 2bvw v 2 w 2 Siden w < v vil dette uttrykket lltid være negtivt, noe som betyr t f() > f() og minimum vil være i x =. Oppsummert, vi skl lltid gå lngs veien til et wb punkt som ligger i vstnd v2 fr C, og deretter gjennom snden. Dersom x 2 vi strter nærmere C enn denne vstnden skl vi gå rett ut gjennom snden. Oppgver til kpittel Oppgve. I de følgende oppgvene, i) finn lle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoni-egenskpene til funksjonene ved å se på fortegnet til f (x), iii) finn lokle ekstremlpunkter, iv) bestem de intervllene der funksjonene krummer, henholdsvis opp og ned, v) finn funksjonenes vendepunkter ) f(x) = x 2 3x + 2 b) f(x) = (x ) 2 (x + 2) c) f(x) = 2 + (x ) 4 d) f(x) = x + x 2 e) f(x) = 2x + cos x Oppgve 2. I de følgende oppgvene, i) finn lle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoni-egenskpene til funksjonene ved å se på fortegnet til f (x), iii) finn lokle ekstremlpunkter, iv) bestem de intervllene der funksjonene krummer, henholdsvis opp og ned, v) finn funksjonenes vendepunkter, vi) finn globle mks og min ) f(x) = x 3 4x, x [, 2] 4

16 b) f(x) = (x2 4) (x 2 9), x [, 2] c) f(x) = x sin x, x [, 2π] d) f(x) = sin 2 x, x [ π, π] Oppgve 3. L funksjonen f være definert for lle relle tll x ved hvor er en konstnt. f(x) = e 2 (x )2 ) Avgjør hvor f vokser og hvor de vtr. Finn eventuelle ekstremlpunkter for f. b) Finn eventuelle vendepunkter for f og undersøk hvor grfen til f krummer opp og hvor den krummer ned. Oppgve 4. Funksjonen f(t) er gitt ved f(t) = t ln t t, 4 t 3 Avgjør hvor funksjonen f vokser og hvor den vtr og finn ut hvor i definisjonsområdet den ntr sin største/minste verdi. Oppgve 5. Finn dimensjonene til rektngelet med størst rel når omkretsen er gitt lik. Oppgve 6. Du hr 6 meter gjerde til rådighet og skl bruke det til å gjerde inn et rektngel lngs med en rett fjellside (hvor du ikke trenger å sette opp gjerde). Hv er det største relet du kn gjerde inn? Oppgve 7. Et budfirm hr følgende begrensning på hvilke rektngulære pkker de kn levere: Summen v lengden og omkretsen må ikke overstige 8cm. Ant t du skl sende en pkke som er kvdrtisk i den ene enden. Hv er det mksimle volumet til en kseptbel (for budfirmet) pkke? Oppgve 8. Et firm produserer små notisblokker med festlige motiv på forsiden. Dersom prisen for hver blokk er kroner vil firmet ikke få solgt noen, men for hver krone de reduserer prisen vil de kunne selge 5 blokker. De fste kostndene ved produksjonen (uvhengig v ntll) er kr. 3, og produksjonsprisen pr. blokk er 2 kroner. Hv bør prisen være for t firmet skl tjene mest mulig på blokkene? 5

17 Kpittel 2 Integrsjon Mtemtiske modeller som beskriver nturvitenskpelige fenomener er i mnge tilfeller ensbetydende med å gi en eller flere differensillikninger. For å løse differensillikninger er utfordringen veldig ofte å finne funksjoner med en gitt derivert, dvs. det vi kller nti-derivsjon. Et eksempel på dette er hstighet og kselersjon. Akselersjon er definert som endring v hstighet, og måles med den deriverte v hstighetsfunksjonen. Akselersjonen til et legeme er styrt v krftlover som vi tenker oss t vi kjenner fullt ut, og oppgven blir å finne en hstighetsfunksjon med en derivert funksjon som psser inn i den ktuelle krftloven. Dette klles å nti-derivere funksjonen eller ubestemt integrsjon. I dette kpitlet skl vi studere bestemte integrler. Bestemte integrler beregnes ved å evluere ubestemte integrler over et intervll slik t svret blir et tll og ikke en funksjon. Dette tllet skl vi tolke som relet mellom grfen og x-ksen, eller i mer generelle tilfeller som den kkumulerte verdien for en funksjon over et tidsrom, strekning eller nnet vlg v rgumentet x (eller t). Det bestemte integrlet til en funksjon som beskriver et legemes kselersjon som funksjon v tiden, vil gi oss hstighetsendringen til legemet i det ktuelle intervllet. Et svært viktig resulttet er fundmentlteoremet (introdusert v Newton og Leibniz) som knytter smmen bestemt og ubestemt integrsjon, eller derivsjon og integrsjon. Når vi hr gitt en funksjon, kn vi lltid regne ut dens deriverte, men det er ikke nødvendigvis mulig å finne et enkelt uttrykk for den nti-deriverte til funksjonen. Vi skl se på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien v et bestemt integrl når vi ikke kn finne en nti-derivert til den ktuelle funksjonen. Videre skl vi t for oss noen ulike fysiske tolkninger v det bestemte integrl. Det er ikke lltid t denisjonsområdet til en funksjon er et lukket intervll og d må vi gjøre noen modiksjoner mht. denisjonen v det bestemte integrlet. Det er heller ikke lltid slik t funksjonen vi skl integrere er begrenset, men vi kn likevel regne ut et rel under grfen. Dette vil involvere bruk v grenseverdier. 6

18 2. Ubestemt integrsjon Lemm 2... Dersom en funksjon f(x) oppfyller f (x) = for lle x i definisjonsområdet, så er funksjonen konstnt, f(x) = C. Bevis. Resulttet følger direkte fr definisjonen v den deriverte. Teorem Dersom F (x) og F 2 (x) begge er nti-deriverte til smme funksjon på et intervll (, b), så er de like på en konstnt nær, dvs. F (x) F 2 (x) = C. Bevis. Vi vet fr lemmet over t dersom funksjonen f oppfyller f (x) = for lle x, så er funksjonen konstnt. Lr vi f(x) = F (x) F 2 (x) og bruker denne kunnskpen, så følger resulttet. Dette er grunnen til t vi lltid må legge til en integrsjonskonstnt når vi nti-deriverer. Definisjon L f(x) være en funksjon. Fmilien v lle nti-deriverte til f(x) klles det ubestemte integrlet til f(x). L F (x) være en slik ntiderivert. Vi skriver f(x) dx = F (x) + C hvor C er en vilkårlig konstnt. Eksempel 2... Det ubestemte integrlet v potensfunksjonen er gitt ved x n dx = n + xn+ + C Eksempel Det ubestemte integrlet v funksjonen f(x) = ln x er gitt ved ln x dx = x ln x x + C siden den deriverte v x ln x x + C med hensyn på x ved produktregelen er ln x + x x = ln x. 2.2 Bestemt integrsjon Vi strter med å definere det bestemte integrlet v en positiv funksjon over et intervll. Definisjon L y = f(x) være en positiv funksjon definert på et intervll [, b]. D er S = b f(x) dx definert som relet over intervllet [, b] mellom x-ksen og grfen til f. 7

19 Figur 2.. Bestemt integrl tolket som rel. Mn kn vise t følgende generelle regler gjelder for bestemte integrl: Lineritet: b (αf(x) + βg(x))dx = α b f(x)dx + β b g(x)dx Additivitet: Degenerert rel: c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx = f(x)dx De to siste er nokså opplgte ut i fr definisjonen, mens den første følger fr et tilsvrende resultt for ubestemte integrl. I tillegg til disse tre definerer vi et bestemt integrl beregnet i motstt retning, b f(x)dx = b f(x)dx For å beregne det bestemte integrlet til en vilkårlig funksjon (ikke kun positiv), deler vi opp intervllet i delintervller slik t funksjonen enten er positiv eller negtiv på delintervllene. For en negtiv funksjon g(x) < setter vi b g(x)dx = hvor g(x) nå er en positiv funksjon. b ( g(x))dx 8

20 Figur 2.2. Integrlet er summen v relene med positivt tegn over x-ksen og negtivt tegn under. Eksempel Vi skl beregne det bestemte integrlet Vi deler opp integrlet i to deler 2π sin x dx = 2π π sin x dx sin x dx + 2π π sin x dx Vi vet t sin x = sin (x π). Det betyr t for hver x mellom π og 2π så finnes en u = x π mellom og π hvor funksjonen sin x hr kkurt smme verdi, men med motstt fortegn. Dermed vil relet mellom grfen og x-ksen for de to delene være nøyktig likt, men med motstt fortegn. Til smmen vil derfor integrlet bli nullet ut og vi hr 2π sin x dx = 2.3 Fundmentlteoremet Vi sier t en funksjon er integrerbr over et intervll I = [, b] dersom vi kn beregne det bestemte integrlet b f(x)dx ved hjelp v reglene gitt i forrige seksjon. De ller fleste funksjonene vi skl h med å gjøre vil være integrerbre. Spesielt er lle kontinuerlig funksjoner integrerbre. Neste skritt er å finne metoder for å beregne bestemte integrl. Det viktigste hjelpemiddelet vil være det såklte fundmentlteoremet for differensilog integrlregningen. Dette resulttet setter i system det vi hr sgt så lngt om derivsjon og nti-derivsjon og gir oss linken mellom ubestemt og bestemt integrsjon. Teorem L f(x) være en integrerbr funksjon på et intervll [, b], og l F (x) være en nti-derivert til f(x). D hr vi F (x) = d dx x 9 f(t) dt = f(x)

21 og b f(x)dx = F (x) b = F (b) F () Merk: Dette er den mest fundmentle egenskpen ved integrlet og fktisk den egenskpen som er grunnlget for hele differensil- og integrlregningen. Merk t vi også bruker notsjonen [F (x)] b = F (b) F () Begge deler vil bli brukt i det som følger. Figur 2.3. Fundmentlteoremet for differensil- og integrlregningen. Figuren illustrerer fundmentlteoremet. Vi lr A(x) være relet under grfen fr x = og ut til en vilkårlig x. Den reltive tilveksten fr x til x + h er gitt ved (se figur) A(x + h) A(x) f(x) h = f(x) h h hvor uttrykkene blir like når h. Den deriverte v det bestemte integrlet som relfunksjon er ltså funksjonen selv. En prktisk nytte v fundmentlteoremet er t vi kn beregne rel ved å nti-derivere funksjoner. Ved å kombinere fundmentlteoremet med regnereglene for ubestemte integrl får vi følgende liste over spesielle integrsjonsregler for bestemt integrsjon: 2

22 b b b b b x k dx = k + (bk+ k+ ) x dx = ln b ln = ln b e kx dx = k (ekb e k ) sin x dx = cos b + cos cos x dx = sin b sin Eksempel Vi kn bruke dette til å beregne integrlet v sin x over intervllet x 2π som vi hr sett på tidligere. 2π sin x dx = cos (2π) + cos = + = I tillegg til de spesielle integrsjonsreglene hr vi noen generelle integrsjonsteknikker, substitusjon og delvis integrsjon. Disse er helt nloge med tilsvrende teknikker for å regne ut ubestemte integrl. Substitusjon: b f(g(x))g (x)dx = F (g(b)) F (g()) hvor F (x) er en nti-derivert til f(x), og delvis integrsjon b f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b b Eksempel Vi skl beregne det bestemte integrlet Vi bruker delvis integrsjon π π x cos x dx = [u v] π u = x u = x cos x dx = [x sin x] π π u v dx v = cos x v = sin x π f (x)g(x)dx sin x dx = [x sin x + cos x] π = π sin π + cos π cos = 2 Eksempel Vi skl beregne det bestemte integrlet 2 xe x2 dx 2

23 Vi bruker substitusjon 2 xe x2 dx = = 2 2 ex2 2x dx u = x 2 du = 2x dx x = gir u = x = 2 gir u = eu du = [ 2 eu ] 4 = 2 (e4 ) Vi kn bruke det bestemte integrlet til å beregne relet mellom to kurver y = f(x) og y = g(x), der f(x) g(x) på hele intervllet [, b]: b [f(x) g(x)]dx = [Arelet mellom f og g] Figur 2.4. Arelet mellom grfene til y = x 2 og y = x 3. Eksempel Eksempel (x 2 x 3 )dx = [ 3 x3 4 x4 ] = 3 4 = 2 (x 3 x 2 )dx = [ 3 4 x x 3 2 ] = = 2 Det er ikke tilfeldig t de to siste eksempene gir smme svr. Hvorfor? 2.4 Riemnnsummer Vi skl se på en måte å beregne et rel under grfen til en funksjon og som også kn være med på å illustrere fundmentlteoremet. Vi tenker oss t vi deler opp intervllet [, b] i delintervller med delingspunkter (klles ofte en prtisjon v intervllet) = < <... < n = b 22

24 og t vi velger ut et punkt x i i hvert delintervll, ltså x i [ i, i+ ]. D vil summen (som vi kller en Riemnnsum, etter den tyske mtemtikeren Bernhrd Riemnn) n f(x i )( i+ i ) i= være en god pproksimsjon til integrlet b f(x)dx, og bedre jo flere delingspunkter vi velger. Vi sier t vi pproksimerer funksjonen ved hjelp v trppe- funksjoner. Trppefunksjoner er funksjoner som er stykkvis konstnte og derfor ser litt ut som trppetrinn. Fordelen med å bruke trppefunksjoner er t det er enkelt å regne ut relet under grfen. Smtidig kn vi lge dem på en slik måte t når vi gjør en finere og finere oppdeling, dvs. t trinnene blir flere og flere og smlere og smlere, så vil grenseverdien gi oss det relet vi egentlig vil beregne. Vi kn fktisk i mnge tilfeller definere b n f(x)dx = lim f(x i )( i+ i ) n i= Vi skl i lle eksempler holde oss til uniforme oppdelinger, dvs. der i+ i = x er den smme for lle i. Figur 2.5. Trppefunksjon som pproksimerer en funksjon, med x i som venstre endepunkt i hvert delintervll. I noen tilfeller kn vi bruke trppefunksjoner direkte til å beregne et bestemt integrl, men ofte vil dette involvere veldig mye regning. For en dtmskin er ikke mye regning noe problem og gode numeriske tilnærminger til et bestemt integrl kn derfor lett gjennomføres med dtmskiner. I det neste eksempelet skl vi beregne relet v en treknt, med grunnlinje g og høyde h. For enkelthet skyld lr vi treknten være rettvinklet. En vilkårlig treknt kn lltid deles opp i rettvinklede treknter og ved å summere rel kn vi lett generlisere formelen til å gjelde for lle treknter. Eksempel Vi lr treknten ligge med den rette vinkelen inn mot x- og y-ksen. Grunnlinjen vil d ligge lngs x-ksen fr til g, og høyden opp til hypotenusen fr et punkt x på grunnlinjen vil være gitt ved y = h g (g x). Dette 23

25 er kkurt likningen til en rett linje som går gjennom punktene (g, ) og (, h). Det betyr t vi må beregne det bestemte integrlet g h (g x)dx g Vi deler opp grunnlinjen i n like store deler, med x = g n : Vi skl beregne < g n < 2g n < 3g n < < (n )g n n f(x i ) x i= < ng n = g med x i som høyre endepunkt i delintervllene, dvs. x i = ig n og med f(x) = (g x). Dette gir oss relet under trppefunksjonen gitt ved h g h g (g g n ) g n +h g (g 2g n ) g (n )g (g ) g n n n + + h g = h g g n ((n )g g ( (n ))) n = gh n (n n(n )) n 2 = gh n ( 2 n 2 ) = gh 2 gh 2n gh 2 dvs. relet er gitt ved gh 2, som forventet. når n I det neste eksemplet skl vi bruke summeformelen n 2 = Eksempel Vi skl beregne x 2 dx n(n + )(2n + ) 6 ved hjelp v Riemnnsummer. Prtisjon v enhetsintervllet, med x = n : Vi skl beregne < n < 2 n < 3 n < < n n n f(x i ) x i= < n n = 24

26 med x i som høyre endepunkt i delintervllene, dvs. x i = i n og f(x) = x2. Dette gir oss relet under trppefunksjonen gitt ved ( n )2 n +( 2 n )2 n + ( 3 n )2 n + + (n n )2 n dvs. = n 3 ( (n) 2 ) = (n + )n(2n + ) n 3 6 = 2n3 + 3n 2 + n 6n 3 = 3 + 2n + 6n 2 3 når n x 2 dx = Archimedes beregning v volumet v en kule Selv om differentil- og integrlregningen er v nyere dto, bre 3-4 år gmmel, vr mn inne på mnge v de smme tnkene i det gmle Hells, for mer enn 2 år siden. Ideen med trppefunksjoner, som ligger til grunn for Riemnnsummene vr ikke ukjent for Archimedes, og hn brukte et tilsvrende prinsipp for å utlede formelen for volumet v en kule. Archimedes stilte opp et prktisk eksperiment: Figur 2.6. Illustrsjon v Archimedes oppsett for utregning v volumet v en kule. 25

27 Archimedes oppsett er som følger: Alle legemene som inngår hr smme tetthet, stt til. I opphenget henger det en tverrgående, msseløs stng. På høyre side henger en sylinder med rdius i grunnflten og høyde. Sylinderen henger på høyknt. På venstre side, i vstnd henger to legemer, en kule med rdius 2 og en kjegle med høyde og rdius i grunnflten, begge lik. Dersom systemet er i blnse er dette nok til å beregne volumet v kul. Tyngdepunktet til sylinderen hr rmlengde 2, dvs. et moment på π2 2. Armen på venstre side hr lengde og momentet er (V + 3 π2 ), der V er volumet v kul. Dersom systemet er i blnse gir dette V = 4 3 π( 2 )3, som er volumet v kul slik vi kjenner det. Så det gjenstår å vise t systemet er i blnse. Vi skl smmenlikne tynne skiver på de to figurene, v tykkelse dx. Størrelse dx er en slgs grenseverdi for x, når denne blir mindre og mindre. Vi snkker om uendelig tynne skiver. Disse skivene hr ikke noen synlig tykkelse, men når vi legger uendelig mnge v dem oppå hverndre, får vi likevel noe med et ordentlig volum. L x. På høyre side hr vi en skive i vstnd x, som gir et moment på x π 2 dx. På venstre side er det litt mer regning. Kjeglen måler vi ovenifr, slik t skiv ved dybde x gir et moment på πx 2 dx. Kul deler vi også ovenfr, ved Pythgors blir rdius i skiv ( 2 )2 ( 2 x)2 = x x 2, dvs. et bidrg til momentet på π(x x 2 )dx. Dette er i blnse siden π 2 x dx = πx 2 dx + π(x x 2 )dx På denne finurlige måten klrte ltså Archimedes for over 2 år siden å regne seg frm til formelen for volumet v en kule. 2.6 Trpesmetoden og Simpsons metode Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, spesielt på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Vi skl gi to metoder for å gjøre slike numeriske tilnærminger v et bestemt integrl. Den første er trpesmetoden (tilnærminger med trpeser eller lineær pproksimsjon). Vi deler intervllet I = [, b] i n like store deler D hr vi følgende formel, b f(x)dx = ( f( ) 2 = < <... < n = b + f( ) + f( 2 ) + + f( n ) + f( n) ) x + E T 2 der E T er et restledd som gir vviket i tilnærmingen, dvs. det som mngler for t summen på høyresiden skl være lik integrlet på venstresiden. Teorem Ant t f (x) eksisterer og er kontinuerlig på intervllet [, b] og t f (x) hr mksimumsverdi K på intervllet. D er feilen E T i trpesmetoden begrenset ved K(b )3 E T 2n 2 26

28 Det er et viktig poeng ved dette restleddet. Siden nevneren i uttrykket er proporsjonlt med n 2, så vil en dobling v ntll punkter i tilnærmingen gi en feil som er rundt en fjerdedel. Tredobling v ntll punkter vil gi en feil som er rundt en ni-del osv. Det betyr t jo finere oppdeling vi hr, dvs. jo flere delingspunkter, jo bedre blir pproksimsjonen. Trpesmetoder bserer seg på t vi tilnærmer integrnden med stykkvis lineære funksjoner, og så regner ut integrlet v disse funksjonene i stedet for den originle funksjonen. Dersom integrnden er en lineær funksjon i utgngspunktet burde den selv være sin egen beste pproksimsjon, og trpesmetoden burde gi oss et ekskt svr. Eksempel Vi skl bruke trpesmetoden på integrlet x dx med n delingspunkter. Det gir x dx ( 2 + n + 2 n + + n + n 2 ) n = n ( 2 (n )n n + 2 ) = 2 som er det smme som vi ville fått ved å finne en nti-derivert og så sette inn. Eksempel Vi skl estimere integrlet 2 + x4 dx ved trpesmetoden med fire like store delintervller. Vi hr x =.5 og derfor x =, x =.5, x 2 =, x 3 =.5 og x 4 = 2. Det gir 2 + x4 dx ( ).5 Setter vi f(x) = + x 4 får vi f (x) = = ( ) x3 og f +x (x) = 6x2 +2x 6 4 (+x 4 ) 3 2. Ved å derivere end en gng er det reltivt enkelt å se t den dobbelt-deriverte hr sitt mksimum for x = og t vi hr f (x) < 3. Det gir E T < 8 =.25. Det betyr t x4 dx Eksempel Vi skl estimere integrlet +x 2 dx ved trpesmetoden med fire like store delintervller. Vi hr x = 4 og derfor x =, x = 4, x 2 = 2, x 3 = 3 4 og x 4 =. Det gir 2 + x 2 dx ( ( + 4 )2 + ( 2 )2 + + ( 3 + ) 4 ) = ( )

29 I dette tilfellet kn mn vise t f (x) < og vi får E T < Vi kn røpe t den fktiske verdien v integrlet er π , så vi ser t vi holder oss innenfor feilestimtet x 2 dx = π Den ndre metoden vi skl se på klles Simpsons metode. Den benytter seg v kvdrtisk pproksimering, dvs. t vi tilnærmer funksjonen stykkvis med 2. grdspolynom (selv om det ikke er helt enkelt å se t det er det som ligger under). Her må n være et prtll. I Simpsons metode bruker vi tilnærmingen b f(x)dx (f( ) + 4f( ) + 2f( 2 ) + 4f( 3 ) + 2f( 4 ) hvor feilen vi gjør er gitt ved et restledd E S f( n 2 ) + 4f( n ) + f( n )) x 3 Teorem Ant t f (4) (x) eksisterer og er kontinuerlig på intervllet [, b] og t f (4) (x) hr mksverdi K på intervllet. D er feilen E S i Simpsons metode begrenset ved K(b )5 E S 8n 4 Her inneholder nevneren n opphøyd i fjerde potens. Det betyr t en økning i ntll delingspunkter gir en drmtisk forbedring i pproksimsjonen i forhold til trpesmetoden. Siden Simpsons metode bserer seg på tilnærming med 2. grdspolynomer kn det være interessnt å prøve å beregne integrlet v et 2. grdspolynom. Eksempel Vi ser på integrlet x2 dx med delingspunkter. Det gir x 2 dx ( + 4 (.) (.2) (.9) 4 + ). 3 = ( ). 3 = 9. = 3 3 Dette er det smme vi hdde fått dersom vi hdde nti-derivert og så stt inn. Eksempel Vi skl finne en tilnærmet verdi for e x2 dx med n delintervller ved Simpsons metode. Først med n = 2: e x2 dx ( f(x ) + 4f(x ) + f(x 2 ) ) x 3 = ( e + 4e 4 + e ) 6 =

30 Med n = 4: e x2 dx ( f(x ) + 4f(x ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) ) x 3 = ( e + 4e 6 + 2e 4 + 4e e ) 2 = Restleddet sier i dette tilfellet, etter noe regning, og vi får E S ( ) = e x2 dx Eksempel Vi vslutter med å estimere integrlet +x dx ved Simpsons metode med fire like store delintervller. Igjen hr vi x = 4 2 og derfor x =, x = 4, x 2 = 2, x 3 = 3 4 og x 4 =. Det gir + x 2 dx ( ( )2 + ( 2 ) ( 3 + ) 4 ) = ( ) 2 2 = I dette tilfellet kn mn vise t f (4) (x) < 24 og vi får E S < , som betyr t Uekte integrler dx x2 Bestemte integrl er definert for begrensede funksjoner over begrensede intervller. Imidlertid er det i mnge tilfelle mulig å definere bestemte integrler selv om vi verken hr begrenset definisjonsområde eller en begrenset funksjon. Begge deler defineres gjennom grenseverdier. Definisjon Vi sier t L er grenseverdien v en funksjon f(x) når x dersom for lle vlg v ɛ >, så kn vi finne en δ > slik t dersom x < δ, så er f(x) L < ɛ. Vi skriver lim f(x) = L x Litt nnerledes definisjon når = : 29

31 Definisjon Vi sier t L er grenseverdien v en funksjon f(x) når x dersom for lle vlg v ɛ >, så kn vi finne en M slik t dersom x > M, så er f(x) L < ɛ. Vi skriver lim f(x) = L x Vi hr gitt en funksjon f(x) definert over et ubegrenset område, f.eks. et hlvåpent intervll [, ). Vi definerer f(x) dx = lim b under forutsetning v t grensen eksisterer. b f(x) dx Eksempel Betrkt funksjonen f(x) = x s, s >, definert på intervllet [, ). D hr vi x s dx = lim b = b x s dx = lim b s + (b s+ s+ ) s + s+ siden b s+ når b og s + <. Eksempel e x dx = lim b b e x dx = lim b ( e b + e ) = e Det ndre lterntivet for uekte integrler er i de tilfellene der definisjonsområdet er begrenset, men funksjonen er ubegrenset. Eksempel Betrkt funksjonen f(x) = x s, < s <, definert på intervllet (, ]. D hr vi x s dx = lim = s + siden s+ når og s + >. Oppgver til kpittel 2 Oppgve. Regn ut de bestemte integrlene. ) 3 x2 dx b) 3 3 x2 dx c) 2 4x3 dx d) 2 2 4x3 dx x s dx = lim s + ( s+ s+ ) 3

32 Oppgve 2. Regn ut de bestemte integrlene. ) 2 (t + ) dt b) (x + )2 dx c) x 3 dx d) π (x + sin x)dx Oppgve 3. Regn ut de bestemte integrlene ) e 2 e b) 4 x (ln x) dx x + x dx c) 2π sin t sin (ωt) dt, ω ± d) xe3x2 dx e) xe2x dx Oppgve 4. Finn relet vgrenset v grfen til f, x-ksen og den rette linj (x = ). ) f(x) = 5x og x = b) f(x) = 3x 2 og x = c) f(x) = sin x og x = π 2 Oppgve 5. Finn relet vgrenset v grfen til f, x-ksen og de to rette linjene. ) f(x) = x og x =, x = 4 b) f(x) = x + x og x =, x = 2 c) f(x) = x 2 og x =, x = 3 Oppgve 6. Regn ut relet mellom de grfene, vgrenset v de to rette linjene. ) f(x) = x 3, g(x) = 3x 2 6 og x =, x = 2 b) f(x) = x 4, g(x) = 2x 2 og x =, x = c) f(x) = e x, g(x) = e x og x =, x = ln 2 d) f(x) = cos x, g(x) = sin x og x =, x = π 4 e) f(x) = x 2, g(x) = x + 2 og x =, x = 2 Oppgve 7. Regn ut relet mellom grfene til f og g, vgrenset v de to rette linjene. ) f(x) = 9 x 2, g(x) = x 2 + og x = 2, x = 2 b) f(x) = 4 + x, g(x) = 2 + 4x og x =, x = 2 3

33 c) f(x) = 2 x, g(x) = e x og x =, x = ln 2 Oppgve 8. Regn ut relet v området mellom kurvene y = x 2 + x + og y = 2x 2 + 4x + 7 mellom skjæringspunktene for de to kurvene. Oppgve 9. Estimer integrlet ved å bruke trpesmetoden, med like store delintervller og det oppgitte ntllet delintervller. ) e x dx, og n = 4 b) 2 +x dx, og n = 6 2 c) x2 dx, og n = d) +x dx, og n = 8 2 Oppgve. Finn en tilnærmet verdi for integrlet 2 x dx ved Simpsons metode, først med n = 2, deretter n = 4, og så n = 8. Smmenlikn svret med ln 2. Hvordn endrer restleddet seg? Oppgve. Følgende dt er kjent for en funksjon f(x). Vi skl estimere 4 f(x) dx ) Ved trpesmetoden b) Ved Simpsons metode x f(x) Oppgve 2. ) Gi et estimt for integrlet 4 x4 9x x 2 7x dx ved å bruke trpesmetoden og Simpsons metode med x =. b) Beregn integrlet 4 x4 9x x 2 7x dx ekskt. Oppgve 3. Finn en tilnærmet verdi for integrlet x dx ved Simpsons metode, først med n = 2, deretter n = 8. Oppgve 4. Regn ut de uekte integrlene ) e x dx b) c) x dx x 2 dx d) 2 x 5 dx Oppgve 5. Regn ut de uekte integrlene ) e x dx b) x 3 dx 32

34 c) d) 3 x 2 (x 3 +) 2 dx (x 2) 3 dx Oppgve 6. Avgjør om de uekte integrlene eksisterer. ) 2xe x2 dx b) x (x 2 ) 3 2 dx Oppgve 7. Beregn følgende uekte integrler: ) (ln x)2 dx b) 4 x dx 33

35 Kpittel 3 Approksimering Mnge funksjoner kn være vnskelige å håndtere, f.eks. er det ikke spesielt enkelt å regne ut funksjonsverdiene til funksjonen f(x) = e x2, lngt mindre å integrere den smme funksjonen. En metode til å studere slike funksjoner er å tilnærme dem med kjente og mer nvendelige funksjoner. Det vnligste er å bruke polynomer eller hrmoniske funksjoner, dvs. sinus- og cosinus-funksjoner. Vi skl se på hvordn vi kn pproksimere med polynomer. En første tilnærming er å tilnærme funksjonen med en lineær funksjon, men det blir litt snevert. D må vi gå videre med polynomer v høyere grd. Vi skl se hvordn dette kn gjøres, og også studere hvor stort vvik fr originlfunksjonen disse pproksimsjonene gir. 3. Tylorpolynom Hvis vi kjenner verdien v en kontinuerlig og deriverbr funksjon og dens deriverte i et punkt, så kn vi nslå verdien til funksjonen i nærliggende punkter. Eller i en mer prktisk setting: Hvis vi er ute og går, så vil posisjon og frt på ett tidspunkt si mye om hvor vi kommer til å være et pr sekunder senere. Men hvis ikke bevegelsen er rettlinjet med konstnt frt, kn vi si lite om hvor vi vil være minuter senere. Posisjon og frt i ett punkt vil bestemme en lineær funksjon som beskriver en bevegelse, som i et kort tidsrom fller smmen med vår bevegelse. Tilsvrende kn vi gjøre for en funksjon y = f(x). Vi velger ut et punkt x og beregner den deriverte til f(x) i dette punktet, f (x ). Disse dtene gir opphv til en lineær funksjon, y = T f (x), T f (x) = f(x ) + f (x )(x x ) som klles den lineære pproksimsjonen til f i x. Den lineære pproksimsjonen definerer en rett linje og grfen til den lineære pproksimsjonen tngerer funksjonen i punktet (x, f(x )). 34

36 Figur 3.. Tngentlinj til et punkt på grfen. Eksempel 3... L f(x) = sin x. D hr vi t f() = og f () = cos =. Den lineære pproksimsjonen v sinus i er gitt ved y = x. Eksempel Betrkt funksjonen f(x) = 2x + 3 som llerede er lineær. Vi hr d t f(c) = 2c + 3, og f (c) = 2. Det gir T f (x) = 2c (x c) = 2c+3+2x 2c = 2x+3, og den lineære pproksimsjonen til en lineær funksjon er funksjonen selv. Eksempel Vi skl se på lineære pproksimsjoner v f(x) = x 2 + x + i to forskjellige punkter, c = og c = 2. I tilfelle c = hr vi f() = 3 og f () = 3 og vi får vi T f (x) = 3 + 3(x ) = 3x. For c = 2 derimot hr vi f(2) = 7 og f (2) = 5, som gir T f (x) = 7 + 5(x 2) = 5x 3. Vi merker oss t de to lineære pproksimsjonene ikke er like. Neste skritt er å prøve å finne polynomer som ikke bre hr smme verdi og derivert som sin x i x =, men også smme ndre-derivert (ltså smme krumning), og tredje-derivert, osv. Definisjon 3... L f være en n gnger deriverbr funksjon i punktet x =. Et polynom T f (x) som er slik t T f () = f() og som i tillegg oppfyller T (j) f () = f (j) () j =, 2,..., n klles Tylor-polynomet v grd n for funksjonen f. Tylor-polynom er oppklt etter sin opphvsmnn, den engelske mtemtikeren Brook Tylor (685-73). Tylor g en formel for å beregne Tylorpolynomet til en funksjon. 35

37 Teorem L f være en n gnger deriverbr funksjon i punktet x =. Tylorpolynomet til f v grd n er gitt ved T f (x) =f() + f ()(x ) + f () 2! + + f (k) k! (x ) 2 + f (3) () (x ) 3 3! (x ) k + + f (n) () (x ) n n! Bevis. Det er lett å forvisse seg om t T f (x) og f(x) hr smme verdi og smme (høyere) deriverte i punktet x =. Vi skl gjøre et eksperiment v litt smme type som vi gjorde med hensyn til lineær pproksimsjon v lineære funksjoner. Nå skl vi se på en kvdrtisk pproksimsjon v en kvdrtisk funksjon, og gjøre nlysen i to forskjellige punkter. Vi husker t de lineære pproksimsjonene ble forskjellige. Eksempel Vi betrkter igjen polynomet f(x) = x 2 + x +. Vi hr f (x) = 2x + og f (x) = 2. Det gir for c = : Setter vi inn for c = 2 får vi T f (x) = f() + f ()(x ) + 2 f ()(x ) 2 = 3 + 3(x ) + 2 2(x )2 = 3 + 3x 3 + x 2 2x + = x 2 + x + T f (x) = f(2) + f (2)(x 2) + 2 f (2)(x 2) 2 = 7 + 5(x 2) + 2 2(x 2)2 = 7 + 5x + x 2 4x + 4 = x 2 + x + Mo, de to Tylorpolynomene blir like i dette tilfellet. Tr vi som utgngspunkt t Tylorpolynomet v grd 2 er det polynomet v grd 2 som best tilnærmer funksjonen er ikke dette spesielt overrskende, siden en funksjon lltid er den beste mulige pproksimsjonen v seg selv. Eksempel Vi skl finne Tylorpolynomet til f(x) = + x = ( + x) 2 v grd 3 i punktet x =. Vi hr f() = og videre Dette gir f (x) = 2 ( + x) 2 f () = 2 f (x) = ( 2 ) 2 ( + x) 3 2 f () = ( 2 ) 2 = 4 f (3) (x) = ( 3 2 )( 2 ) 2 ( + x) 5 2 f (3) () = ( 3 2 )( 2 ) 2 = 3 8 T f (x) = + 2 x 2! 4 x ! 3.2 Restleddsestimter 8 x3 = + 2 x 8 x2 + 6 x3 Målet med Tylorpolynomene er å pproksimere en gitt funksjon med enklere funksjoner, i vårt tilfelle med polynomer. Jo høyere grd vi går til, jo bedre tilnærming får vi. Dessuten vil tilnærmingen lltid være best helt i nærheten v punktet vi utvikler om. Spørsmålet er hvor stor feil vi gjør når vi ersttter funksjonen med et Tylorpolynom. Svret ligger i følgende teorem: 36