Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Transkript

1 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs

2 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2

3 1 Innledning Mennesket hr lltid htt behov for å finne størrelsen til geometriske figurer og llerede i de tidligste kildeskriftene fr Egypt og Mesopotmi finner vi oppskrifter for å løse slike problemer mtemtisk. Den første dokumenterte systemtiske metoden for å bestemme reler ble utviklet v greske mtemtikere i oldtiden, i første rekke v Eudoxos (c f. Kr.) og Arkimedes ( f. Kr.). Den grunnleggende ideen vr å tilnærme det geometriske omtrådet med små figurer som det vr lett å beregne relet til, for eksempel rektngler. Ved å velge stdig bedre pproksimsjoner kunne mn ved denne metoden finne den virkelige størrelsen til mnge geometriske figurer som grenseverdien v de tilnærmede størrelsene. Denne metoden hdde likevel sine klre begrensninger fordi noen reler vr vnskelige å tilnærme, og ikke minst fordi det regneteknisk ble uhåndterlig for kompliserte reler. Det virkelig store gjennombruddet for intergrlregning slik vi kjenner det i dg kom med Newton ( ) og Leibniz ( ). De viste t derivsjon og integrsjon er motstte regnerter og t mn kn integrere ved å ntiderivere. Dette er kjent som nlysens fundmentlteorem. Anlysens fundmentlteorem gjorde t integrlregning gikk fr være spesifikke relberegninger ved hjelp v grenseverdier til en generell metode ved hjelp v ntiderivsjon. I denne oppgven vil vi se på integrler som en grenseverdi v rektngler hvor vi lr bredden gå mot null. Deretter vil vi illustrere nlysens fundmentlteorem ut fr en enkel figur før vi vil gi et forenklet bevis for teoremet. 2 Integrsjon Vi vet hvordn vi kn regne ut relet til rektngler og volumet v rette prismer. Hv relet (eller volumet) til ndre objekter er, som ikke er like pene, de uten rette knter, er ikke like åpenbrt. Slike reler kn tilnærmes ved hjelp v rektngler. I denne teksten ser vi på Riemnn-integrlet, siden ndre integrsjonstyper ikke er pensum i videregående skole. Vi ønsker å finne relet under grfen til f på intervllet [, b]. Tnken er t vi deler opp intervllet [, b] i flere delintervll, og regner ut et rel v rektngler som ligger knt i knt på disse delintervllene. De punktene som vi bruker som delepunkter på intevllet [, b] blir tilsmmen en mengde punkter. Den mengden kller vi prtisjonen P. Her hr vi t P = {x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n } = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b 3

4 Figur 1: Grfen til en funksjon f. Ved hjelp v prtisjonen P hr vi nå kunne dele opp intervllet [, b] i n lukkede delintervll. Før vi går videre trenger vi også å minne om hv supremum og infimum er. Når vi ser på en funksjon på et lukket og begrenset intervll er supremum den største verdien funksjonen ntr på intervllet, mens infimum er den minste verdien. Vi skriver supremum og infimum slik M = sup {f(x) : x [, b]} m = inf {f(x) : x [, b]} Vi tr for oss en funksjon som er positiv på [, b]. Argumentsjonen blir lik om funksjonen skifter fortegn, men det gjør forklringen enklere hvis vi holder oss til det positive tilfellet. Hvis vi for hvert delintervll lger rektngler med bredde x i x i 1 og høyde M, blir relet til det i-te rektngelet M i (x i x i 1 ). Om vi summerer lle rektnglene får vi det vi definerer som øvre trppesummen til prtisjonen P. Ø(P ) = n M i (x i x i 1 ) i=1 På smme måte får vi nedre trppesum ved t høyden til rektnglene er 4

5 Figur 2: Supremum (M) og infimum (m) til f på intervllet [, b]. Figur 3: Arelet v rektnglene er den øvre trppesummen til prtisjonen. infimum til funksjonen på delintervllene. N(P ) = n m i (x i x i 1 ) i=1 5

6 Figur 4: Arelet v rektnglene er den nedre trppesummen til prtisjonen. Vi ser t den øvre og nedre trppesummen vhenger v hvilken prtisjon vi velger. Ideen er t om vi velger oss en prtisjon hvor vstnden mellom delepunktene går mot null vil øvre og nedre trppesum nærme seg hverndre. Om vi tr den største nedre skrnken til de øvre trppesummene vil vi få det som klles øvreintegrlet b f(x) dx = inf(ø(p )) Nedreintegrlet er supremum v de nedre trppesummene b f(x) dx = sup(n(p )) Om vi nå hr t øvreintegrlet er det smme som nedreintgrlet er f integrerbr på [, b], og vi definerer integrlet som b f(x) dx = b f(x) dx = b f(x) dx Med integrlet definert kn mn undersøke hvilke funksjoner som er integrerbre, ltså for hvilke funksjoner denne prosessen fører frm. Svret i første omgng blir t lle kontinuerlige funksjoner definert på et lukket og begrenset intervll er integrerbre, siden infimum og supremum lltid vil eksistere. Siden funksjonen er kontinuerlig er også krvet om t øvre og nedre trppesum skl konvergere mot smme verdi oppfylt. 6

7 Før vi går videre til nlysens fundmentlteorem skl vi se et eksempel på en ikke-integrerbr funksjon. { 1 hvis x er rsjonl f(x) = 0 hvis x er irrsjonl Denne funksjonen er ikke kontinuerlig, men den hr supremum og infimum! Unsett vlg v prtisjon vil ethvert intervll inneholde både både rsjonle og irrsjonle tll. Denne funksjonen vil derfor lltid h en øvre trppesum Ø(P ) = 1 og en nedre trppesum N(P ) = 0 Funksjonen er ikke integrerbr fordi øvre og nedre trppesum ldri vil møtes. Vi vil ikke få t differnsen mellom nedre og øvre sum går mot null selv om vi lger inndelingen finere og finere. Det finnes ltså funksjoner som er så uregelmessige t de ikke kn integreres. 3 Anlysens fundmentlteorem Anlysens fundmentlteorem er et svært viktig teorem innen mtemtikken som knytter smmen integrsjon og derivsjon. Vi vil her presentere teoremet, gi en begrunnelse for t det stemmer, og deretter gi et forenklet bevis. Vi strter med selve teoremet. Teorem 3.1. Ant t f : [, b] R er kontinuerlig. D er f integrerbr på ethvert intervll [, x] der x b og funksjonen F (x) = x f(t) dt er en ntiderivert til f på [, b]. Vi kn illustrere nlysens fundmentlteorem ved hjelp v figur 5. Vi ntr t vi hr en funksjon f(x) over intervllet [, b] og vi lr relet under grfen fr til x være A(x). Ved å legge til x, får vi relet A(x + x). Dersom vi lr x være tilstrekkelig liten, vil x f(x) dnne et rektngel med rel tilnærmet likt A(x + x) A(x): A(x + x) A(x) f(x) x Denne tilnærmingen blir bedre jo mindre x er. Vi deler på x på begge sider v likhetstegnet: A(x + x) A(x) f(x) x Grenseverdien v dette når x går mot null er den deriverte til A. Vi får dermed t A (x) = f(x) 7

8 Figur 5: Arelet under grfen. når x går mot null. Dette er en indiksjon på hvorfor relet under grfen er gitt ved den ntideriverte til funksjonen. Dette er derimot ikke et mtemtisk bevis, men ment som en illustrsjon som kn være enkel å bruke i undervisning for å fremme forståelse hos elevene. Vi vil nå gi et forenklet bevis for nlysens fundmentlteorem. Bevis. Ant t vi strter med en kontinuerlig funksjon f(x). Mn kn d vise t denne også er integrerbr, for dette viser vi til [1]. D vil M = sup {f(t) : t [x, x + x]} Vi får t m = inf {f(t) : t [x, x + x]} x m x+ x x f(t) dt x M Siden vi ntr t f er integrerbr finnes en funksjon F (x) som gir oss relet under grfen. D vil F (x + x) F (x) = x+ x x f(t) dt. Vi deler med x og får F (x + x) F (x) m M x 8

9 Tr vi nå grensen når x 0 vil både m og M gå mot f(x), ltså F (x + x) F (x) f(x) lim f(x) x 0 x Dette viser t F (x) er en ntiderivert til f(x), og beviset er fullført. Læreplnen for mtemtikk R2 sier t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v bestemt integrl som grense for en sum og ubestemt integrl som ntiderivert. Det vi hr gått gjennom i denne teksten dekker dette fr et lærersynspunkt. I og med t elevene skl kunne gjøre rede for definisjonen v ubestemt integrl som en ntiderivert, tenker vi t det er nyttig t vi viser nlysens fundmentlteorem gjennom den illustrsjonen som vi hr med i denne oppgven. Beviset for nlysens fundmentlteorem som vi hr gitt inneholder imidlertid notsjon og definisjoner som er ukjent for de fleste elever i videregående skole. Vi hr presentert det mtemtiske beviset her fordi det er viktig t lærerne kjenner til det, slik t de kn være fleksible i sin forklringsmåte. 9

10 4 Refernser [1] Lindstrøm, T. (1995). Klkulus. 3. utgve. Oslo: Universitetsforlget. [2] Utdnningsdirektortet. Lærepln i mtemtikk for relfg - progrmfg i studiespesiliserende utdnningsprogrm - kompetnsemål. Hentet fr [3] Wikipedi. Integrl. Hentet fr 10