S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

Transkript

1 Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd er 0 D blir femte ledd 30 b De tre første rektgeltllee k illustreres som edefor: c Side disse tllee heter rektgeltllee, er det kskje fruktbrt å spørre seg om de er i slekt med trekttllee Sistevte er tllfølge, og hr formele 3,6,0,5, T = ( +) Vi observerer t vi k få rektgeltllee ved å multiplisere trekttllee med Altså er formele for det -te rektgeltllet T ( ) = = + Det femte leddet i tllfølge k frmstilles som edefor, etter møster v de fire første i lærebok: b De fem første leddee er, 6,5, 8, 45 Differsee blir 5,9,3, Differse mellom sjette og femte ledd i de opprielige følge vår blir ltså, så det sjette leddet blir 45 + = 66 De seks første leddee er derfor, 6,5, 8, 45, 66 c Av figure ser vi t tllee er bygd opp v et kvdrt i midte (blå kuler) og e trekt på hver side (orsje kuler) Trektee kommer ikke med før ledd ummer to Det -te -te leddet i følge vår er ltså bygd opp v det -te kvdrttllet og to gger det ( ) ( ) trekttllet: = + = + = ( ) Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side v 8

2 Utvlgte løsiger oppgvesmlige 5 Vi observerer t differse mellom leddee er 6,9,,5, Altså øker de med 3 for hvert ledd Vi k fie formele for ved å skrive opp de første leddee, og se om vi ser oe møster: = = + 3 = + 3 = + 33 = = + 34 = Det ser ut til t det -te leddet er gitt ved = Vi trekker fr og legger til 3, og får = Vi drr smme og fktoriserer D får vi = + 3 ( ) Summe v de første turlige tllee er trekttll ummer (se eksempel side 80) ( + ) 3( + ) Det gir = + 3 = b Vi ser t leddee er bygd opp som , , , Vi k derfor skrive det -te leddet som = Rekk er bygd opp ved t verdie v et gitt ledd oppås ved å legge til verdie v det foregåede leddet Det este leddet i rekk blir d 4 + = 3 b 3 er det tredje leddet i rekk, ltså S er summe v de tre første leddee, ltså = 30 3 c Vi bruker her digitlt verktøy De eksplisitte formele for det -te leddet i rekk er = 3,5 0,5 00 ( ) Vi fier deretter t S = 3,5 0,5 = = 0 Vi ser t hvert ledd er hlvprte v det foregåede Det femte leddet blir ltså = = = b Vi k skrive leddee som 000 0, , ,5 + Formele blir 000 0,5 = c Det siste leddet er oppgitt til 5 Dette tilsvrer det 5 leddet delt på 8 Side 8 8 =, tilsvrer dette sju hlveriger v det 5 leddet Rekk hr ltså 5+ = ledd d Fier S = 3999,0 med et digitlt verktøy 8 Dette tilsvrer summe v de turlige tllee fr 34 til 398 Vi bruker digitlt verktøy og får S = = =34 Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side v 8

3 Utvlgte løsiger oppgvesmlige 3 Rekk er ritmetisk fordi de hr e fst differse mellom hvert ledd b Differse i rekk fier vi ved å trekke verdie v ett ledd fr verdie v det este, feks d = = 9 0 = 9 c Vi tr utggspukt i det første leddet For å fie det tiede må vi legge til differse i gger Altså blir 0 = + 9 d = = 9 For å fie det tjuede k vi t det tiede leddet og legge til differse ti gger, ltså 0 = = 8 d Formele for leddee i e ritmetisk rekke hr forme = + d( ) Med våre verdier får vi d = Dette blir e ritmetisk rekke med d = 50 og = 50 Det vil si t hu sprer ( ) = + d = i uke ummer Vi k bruke sumformele for ritmetiske rekker for å fie ut hvor mye hu sprer i løpet v uker: S = = = b Vi setter i = 9 i uttrykket vi kom frm til i oppgve, og får S 9 = = 350 Ae sprer ltså 350 kr i løpet v i uker c Vi setter S = 6000 Det gir = 0 = 8,9 = 3,9 Her må være positiv, så Ae bruker 4 uker på å å 6000 kr på koto 4 Vi vet t ritmetiske rekker k skrives som ( ) = + d I rekk vår er = og d = 4 =, så formele for det -te leddet blir = + ( ) = b Vi må løse ulikhete > 500 Vi setter i uttrykket for og får ulikhete > 500 Deler vi hver side med sju, får vi t >,4 Altså må mist være c Igje må vi løse ulikheter > 00 for > 00, eller 5 < 000 for Dette betyr t < 000, eller 4 er større e 00 og midre e 000 for [ 5,4] d De tresifrede, positive tllee som er delelige på sju må være de -verdiee vi ft i forrige deloppgve Atllet v dem må tilsvre tllet -verdier i området 5,4, ltså 8 Det er ltså 8 tresifrede, positive tll som er delelige med sju [ ] 46 Rekk er geometrisk fordi forholdet mellom to boledd er det smme for lle leddee b Kvotiete fier vi ved å dele verdie v et gitt ledd på verdie v det foregåede, 30 feks k = = = 3 0 c Vi tr utggspukt i det første leddet For å fie det tiede leddet må vi gge dette 9 med kvotiete i gger: 0 = 0 3 = Det tjuede leddet k vi fie ved å 0 0 gge det tiede med kvotiete ti gger: = =,6 0 0 Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side 3 v 8

4 d Formele blir = Utvlgte løsiger oppgvesmlige Det k vi se ved å skrive om rekk til 5 Vi k skrive dgsdoserige til Ftomet som e geometrisk rekke De første dge får heste grm medisi, de dre dge får h = grm, og så videre til dg sju, d dose er redusert til = grm 6 Vår oppgve blir å fie hvilke verdi v som gjør t heste får i seg totlt 40 grm medisi i løpet v de sju dgee 0,5 Vi bruker sumformele for geometriske rekker og setter S = = 40 0,5 0,5 Det gir = 40 = 0, Det betyr t dose de første dge er = 0, grm 0,5 0, De sjuede dge er dose (i grm) = = 0, Like etter t det tiede beløpet er stt i, hr Kut fått ett års reter på det iede beløpet, to års reter på det åttede, og så videre til i års reter på det første 9 Dette der rekk , , ,05 Vi hr ltså e geometrisk rekke med = 0, = 6000 og k =, 05 0, 05 Sumformele gir S0 = ,36, 05 = b Ved utgge v det tiede året hr h ikke gjort oe flere iskudd, så rekk hr fortstt ti ledd Vi må t hesy til t lle iskuddee hr forretet seg med ett 3 0 ytterligere år Rekk blir å 6000, , , ,05 0, 05 Summe blir S0 = 6000,05 = 9 40,, 05 Stregt ttt er det ikke ødvedig å summere rekk i dee deloppgve Det holder å se t summe i forrige deloppgve vr sldoe ved begyelse v året Når retee legges til i desember, blir sldoe,05 gger dee summe: 5 46,36,05 = 9 40, Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side 4 v 8

5 Utvlgte løsiger oppgvesmlige 6 For å fie termibeløpet ser vi på summe v åverdiee v lle termibeløpee Vi kller termibeløpet T T T T Nåverdiee der de geometriske rekk , 0, 0, 0 0 T, 0 Summe v rekk er S0 =, 0, 0 Summe må være lik låebeløpet, så vi setter S 0 = og løser for T Det gir T =4 38 Termibeløpet blir ltså 4 38 kr b Etter åtte år er åverdie v de to gjeståede betligee S = + = 5 43, 0, 0 Det vil si t det gjestår 5 43 kr v gjelde 64 Vi ser t sluttverdie v iskuddee der de geometriske rekk , , ,05 0, 04 Summe v rekk blir S 0 = 0 000,04 = 4 864, 04 Albert hr kr på koto ett år etter det siste iskuddet Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side 5 v 8

6 Utvlgte løsiger oppgvesmlige b Igje ser vi på sluttverdiee v iskuddee De der de geometriske rekk (0 000,05 ),04 + (0 000,05 ), (0 000),04 9, 04 Rekk hr 0 ledd, = 0000,05,04 og k =, 05 Sumformele for geometriske rekker gir, 04 9, 05 S0 = 0000,05,04 = , 04, 05 Bete hr kr på koto ett år etter det siste iskuddet 0 6 Vi må rege ut åverdie v lle betligee Iree skl gjøre De k beskrives som e geometrisk rekke med tolv ledd: , 0045, 0045, 0045, ,0045 = = Summe er S,0045,0045 Side dette er mer e kottbeløpet, løer det seg for Iree å betle kott Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side 6 v 8

7 499 b Hvis første betlig vr om tre år, ville det stå, 0045 for summe Det betyr t summe v åverdiee ville bli 9 Utvlgte løsiger oppgvesmlige 499 i stedet for 3,0045 i uttrykket ,0045 = Altså blir det billigere å vete ett år e å vete tre måeder, me kott betlig er fortstt det billigste c Vi tr t det er vbetligsordige fr deloppgve det er skk om, og setter x,0045 S = = ,0045,0045 3,0045 Løser vi dee likige med hesy på x, får vi x = 4999,0045 = 433,0045 Avbetligsbeløpet må ltså ed i 433 kr per måed for t de to tilbudee skl være like mye verdt 3, 0 8 Vi fier først kvotiete: k = = = Summe v e uedelig, koverget 3, , 60 geometrisk rekke er gitt ved S = Med våre verdier er S = = 3,4 k 0,889 b For hver sprett beveger blle seg like lgt opp som ed, ltså to gger høyde i sprette Vi får rekk 3,60 + 3,0 +, ltså smme rekke som i deloppgve Vi hr llerede fuet summe v de, så blle beveger seg 3,4 m før de fller til ro c Blle beveger seg først,60 m mot gulvet I de første sprette år de, 60 m 0, 40 = 0, 64 m over gulvet Igje beveger de seg to gger høyde i hver sprett, så vi får rekk, 8 +,8 0,4 +,8 0,4 + for blles totle bevegelse etter, 8 t de treffer gulvet første gg Summe v rekk er S = =,33 0,40 Hvis vi ser bort fr de første hlvsprette fr,60 m, blir ltså blles totlt tilbkelgte distse,3 m Tr vi de første høyde med, får vi,3 m +,60 m = 3,3 m Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side v 8

8 Utvlgte løsiger oppgvesmlige 5 Vi ser på åverdie til utbetligee , , ,05 De der rekk ,0,0,0, , 05 Dette er e geometrisk rekke med = og k =, 0, 0 Vi ser t k er positiv og midre e, så rekk kovergerer Hvis tll ledd går mot uedelig, blir summe S =, , 05 =, 0 Fodet må være på mist kr hvis utbetligee skl kue fortsette i ll frmtid, 05 b Hvis vkstige er 4 % per år, vil kvotiete i rekk bli k = Dette er større, 04 e, så rekk divergerer Summe v åverdiee v utbetligee går mot uedelig, så det fis ikke oe strtbeløp som er stort ok til å forhidre t fodet går tomt før eller side 8 Arelet v det store kvdrtet er Kvdrtet er oppstykket i deler som hr rel,,,, og vi ser v figure t jo flere v disse bitee vi tr med, desto ærmere 4 8 kommer vi t hele relet er med Derfor må summe v de uedelige geometriske rekk være b Det frgede området utgjør e tredel v relet v kvdrtet, det vil si 3 Vi ser t hvert ledd er e firedel v det foregåede Utvider vi rekk i det uedelige, k vi skrive Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side 8 v 8