MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
|
|
- Oscar Thoresen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig..4 f ) Skriver om, og får Reger ut ved L'Hopitals regel at cos/) cos/)) = /. cos/) si/) si/) / = / 3 = /) = /. / Dermed divergerer rekka ved divergesteste...7 a) Vi skal vise at Vi deerer fuksjoe f ved l x) = = fx) = l x) og er taylorpolyomee til f omkrig. Vi er først oe deriverte av f: x. f x) = x) f x) = x) f 3) x) = x) 3 f 4) x) = 6 x) 4 Vi ser at vi geerelt får at de -tederiverte av f er f ) x) = )! x). Vi får dermed at taylorpolyomet av grad til f omkrig er For hver har vi T fx) = l ) + k= f k) ) x k = k! k= fx) = T fx) + R fx). k )! k! x k = Vi vil vise at restleddee R fx) går mot år går mot uedelig. Vi bruker Taylors formel med restledd.., side 89), som gir R fx) =! = f +) t) x t) dt =! x t) dt t) + k= x k k! t) +) ) x t) dt 8. februar 4 Side av 7
2 Løsigsforslag Øvig Vi vil e e øvre grese for absoluttverdie av restleddet. Vi begyer med å se på absoluttverdie av itegrade i uttrykket over, altså x t) t) + Vi vil vise at vi for alle x, ) og t mellom og x har x t) t) + x t La oss først ata at x. Vi har xt t side x <, så vi får x t x xt = x t), og dermed har vi x t t = x t t x = x. Så ser vi på tilfellet x <. Da har vi x t. Side både t og x er egative eller ), er xt positiv eller ), så vi har spesielt at t xt. Dermed er t x xt x = x t). Ved å bruke dette, får vi x t t = t x x = x. t Vi har dermed vist at vi har x t t x for alle x, ) og t mellom og x. Fra dee ulikhete får vi x t) t) + = x t x t ) t) + = t t x t Vi har altså vist at ulikhet ) holder. Nå bruker vi de til å e e øvre grese for absoluttverdie av restleddet: R fx) = x t) dt t) + x t) t) + dt x t dt x = x t dt = x l x) Ved å bruke dette, får vi R fx) x l x) ) = l x) x = greseverdie av x blir ull fordi x < ). Dette betyr at R fx) =. Ved å kombiere det vi har vist, får vi å for x, )) l x) = fx) = fx) = T fx) + R fx) ) ) ) ) = T fx) + R fx) = T fx) + x k ) x = = k. k= = ) 8. februar 4 Side av 7
3 Løsigsforslag Øvig b) Vi ka berege l Me vi har også ved å bruke deloppgave a): l = l ) = = ) = l = l l = l = Dermed får vi l = =.. Vi lar x stå for megde avfallsto i kg) som slippes ut daglig. Da vil megde avfallsto i vassdraget etter dager være 3 ) ix. i= Vi vil at dee summe aldri skal overstige, uasett hvor stor er. Side hvert ledd er positivt, vil summe av rekke 3 ) ix i= være større e hver delsum. Det er derfor tilstrekkelig å velge x slik at summe av dee rekke er maksimalt. Vi er summe av rekke ved å bruke setig.. side 6): Vi vil derfor ha som gir 3 ) ix x = 3 = x. i= x, x 8. Svaret blir dermed at fabrikke ka slippe ut maksimalt 8 kg hver kveld... a) Vi får oppgitt at e følge a ) kovergerer i Cesaro-forstad mot et tall a dersom a k = a. k= Vi skal vise at dersom følge a ) kovergerer mot a, så kovergerer de også mot a i Cesaro-forstad. Vi atar at følge a ) kovergerer mot a, altså at Vi skal vise at a = a. ) a k = a. k= Gitt e ε > vil vi altså e e N N slik at ) a k a < ε 3) k= 8. februar 4 Side 3 av 7
4 Løsigsforslag Øvig for alle N. Ata at vi blir gitt e slik ε > og skal e det tilhørede tallet N. La Da es ved )) e N slik at ε = ε for alle N. La N være et aturlig tall slik at Da er a a < ε 4) N > N a k a. ε ε > N k= N k= Vi får, for alle N, ) a k a = a k a = k= k= N = a k a) + N k= N k= N k= N k= N k= a k a + a k a + a k a + ε a k a + ε a k a. ) a k a) a k a) k= k=n + k=n + k=n + a k a ε ved 4) < ε + ε ved ) = ε = ε. Dette betyr at likig 3) er oppfylt for alle N, så vi har a k = a, k= og det betyr at følge kovergerer mot a i Cesaro-forstad... e) Ved delvis itegrasjo får ma at Ma har at π arcta x dx = [xπ arcta x)]b x + x dx bπ π arcta b) arcta b) = = b b /b 8. februar 4 Side 4 av 7
5 Løsigsforslag Øvig ved L'Hopital. Samtidig har ma med substitusjoe u = x +, x + x dx = u du = [ l + x )] b. Side l + b ) går mot uedelig år b går mot uedelig, så divergerer det opprielige itegralet, og dermed også rekka ved itegralteste...3 d) Her vil vi bruke gresesammelikigstest med /. Vi får at cos/) + / = cos/) + = >. Dermed divergerer rekka. e) Vi skal e ut om rekke = cos ) kovergerer. Vi vil bruke gresesammeligigsteste. Det er imidlertid ikke åpebart hvilke rekke vi bør sammelige med, så vi prøver oss frem med e rekke på forme p = for e eller ae foreløpig ukjet) p, og ser om vi etter hvert ka e ut hvilke p vi bør velge. Vi lar altså a = / p og b = cos. Da får vi ved å bruke l'hôpitals regel to gager) b cos = a p = si ) ) p p si = p p cos = ) ) cos p p) p = pp ) p Vi ser å at det ka løe seg å velge p =, for da får vi b cos = a ) = cos = <. Side vi vet at rekke = / kovergerer, får vi dermed ved gresesammeligigsteste at rekke cos ) kovergerer. = g) Taylorrekke til arcsi x rudt er gitt ved arcsi x = x + x Dermed har ma at arcta/ ) = + /) Dette gjør at vi vil gjette at rekke oppfører seg som rekke for. Gresesammelikigstest gir da arcsi/ ) / = 3 4 / 3 = = <, 4 hvor vi har brukt L'Hopitals regel. Dermed kovergerer rekka. 8. februar 4 Side av 7
6 Løsigsforslag Øvig h) Vi skal e ut om rekke + ) = kovergerer. Vi bruker gresesammeligigsteste med a = / og b = +. Da får vi b + = = a / + ) = + ) + + ) = = + + = + / + = + / + = >. / divergerer, får vi dermed ved gresesammeligigs- Side vi vet at rekke teste at rekke = + ) divergerer. =.. Vi skal vise at N + ) < =N+ 3 < N for et aturlig tall N), og bruke dette til å e e tilærmet verdi for med feil midre e /. = Ved tilsvarede argumetasjo som i beviset for itegralteste se side , spesielt gur.. og gur..) får vi at N+ Vi bereger disse to itegralee: og N N+ dx = x3 R x 3 dx < R dx = x3 R R Når vi setter i dette i 6), får vi N =N+ N+ = R 3 3 < dx. 6) N x3 x 3 dx = [x ] R R R N + ) ) = N+ N + ) x 3 dx = [x ] R = R N R R ) N = N N + ) < =N+ 3 < N 8. februar 4 Side 6 av 7
7 Løsigsforslag Øvig Nå skal vi bruke dette til å e e tilærmet verdi for = med feil midre e /. Vi ser at hvis vi velger oss e N, ka vi splitte opp dee rekke i e edelig sum opp til N og e rekke som starter på N + : Vi ka bruke gjeomsittet av = 3 N 3 = 3 + = =N+ 3 N + ) og N som e tilærmig til summe =N+, side vi vet at de summe skal ligge mellom 3 disse verdiee. Feile blir da maksimalt halvparte av avstade mellom de to verdiee, altså Vi vil derfor ha N ) N + ). N ) N + ) < Ved å prøve oss frem med N =, N =, og så videre, ser vi at dee ulikhete er tilfredsstilt for N = 4. Tilærmige vår blir dermed = 3 = = = = = ) ) + ) 4 + ) februar 4 Side 7 av 7
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 6..5g Ser på forholdet a + /a som er ( + )!4 + ( + ) + ( ) 4( + )! 4( + ) =!4 ( +
DetaljerMA1102 Grunnkurs i Analyse II Vår 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA2 Grukurs i Aalyse II Vår 27 Løsigsforslag Øvig 7 2.5: For hvilke x kovergerer rekke? b) (2x) c) (l x) e) 2 si x 2 b) Dette er
DetaljerVi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall
Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp
DetaljerMA 1410: Analyse Uke 48, aasvaldl/ma1410 H01. Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag
MA 40: Aalyse Uke 48, 00 http://home.hia.o/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskole i Agder Avdelig for realfag Istitutt for matematiske fag Oppgave 8.7:. Vi har f(x) = cosh(x) = ex +e x. f(0) =. Derivasjo gir f (x)
Detaljers = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1
TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om
DetaljerMA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka 8/5-2/5 Øyvid Rya (oyvidry@i.uio.o) May 28, 200 Oppgave 2.4. Rekke er betiget koverget, side + divergerer, mes de altererede rekke kovergerer etter teste for altererede
DetaljerTMA4120 Matte 4k Høst 2012
TMA41 Matte 4k Høst 1 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag til oppgaver fra Kreyzig utgave 1: 11.1.18 Fuksjoe er lik for < x
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsigsforslag Øvig 3 Review Exercises, side 454 Vi starter med å tege e figur av e skål med va: z A(z)
Detaljere n . Videre er det en alternerende følge, da annenhvert ledd er positivt og negativt. Vi ser også at n a n = lim n e n = 0. lim n n 1 n 3n 2 = lim
TMA400 Høst 206 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 9 9..8 Vi er gitt følge { ( ) } {a }. e De første leddee i følge er a e, a 2 2 e 2, a e, a 4 4
DetaljerTMA4100 Høst Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA400 Høst 206 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 2 2..0: Vi bruker eisjoe for ikke-vertikale tagetlijer sie 97 i læreboke). Tagetlije gjeom et pukt
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1110, våren 2012
Løsigsforslag til prøveeksame i MAT, våre Oppgave : Vi har A = 3 III+I I+II 3 ( )II 3 3 Legg merke til at A er de utvidede matrise til ligigssystemet. Vi ser at søyle 3 og 4 i de reduserte trappeforme
DetaljerUtvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008
Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))
DetaljerUkeoppgaver, uke 42, i Matematikk 10, Bestemt integrasjon. 1
Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Høgskole i Gjøvik Avdelig for igeiørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 2 I løpet av uke blir løsigsforslag lagt ut på emeside http://www.hig.o/toel/allmefag/emesider/rea2
DetaljerLøsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011
Løsigsforslag Eksame MAT vår OPPGAVE Gitt følge {a } defiert rekursivt ved a = 5, a + = a + 6, =,,, 3,.... (a) Vis (for eksempel ved iduksjo) at {a } er stregt avtagede og edtil begreset. (b) Avgjør om
DetaljerTMA4125 Matematikk 4N
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA425 Matematikk 4N Løsigsforslag - Øvig 9 Fra Kreyszig, avsitt.5 3 Vi skal fie temperature u(x, t) i e stav (L = π, c = ) som er
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs i aalyse II Vår 09 9 Vi har rekke Dette er e geometrisk rekke som beskrevet på side 50 i læreboka, med x (side ) Spesielt
DetaljerTotalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21%
TMA4100 Høste 2007 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Kommetarer til eksame Dette dokumetet er e oppsummerig av erfarigee fra sesure av eksame i TMA4100 Matematikk
DetaljerVelkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkomme til oversiktsforelesiger i Matematikk 1 med Jørge Edal Følger, rekker, og potesrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesig 2 (kap. 9.3 9.4) Dages økkelbegrep: Sammeligigsteste Gresesammeligigsteste Forholdsteste
DetaljerOM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z
OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke
Detaljer8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.
Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal
DetaljerSIF53 Matemati Esame gir = 4 =:5 (legde νa delitervallee) og deleutee x =,x =:5, x =,x 3 =:5 ogx 4 =. Med f(x) = +x 4 fνar vi tabelle: x : :5 :
SIF53 Matemati Esame 8..999 Norges teis-aturvitesaelige uiversitet Istitutt for matematise fag Lsigsforslag X = ( ) : Diverget. X = ( ) X ( ) : Absolutt overget. = : Betiget overget. (i) (ii) x! x! x(e
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017
TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA440 Statistikk Høst 009 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave Øsker å fie 99% kofidesitervall for µ µ år vi atar ormalfordeliger
DetaljerEksamen R2, Våren 2010
Eksame R, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver fuksjoe gitt ved f x x cos 3 x b) Bestem itegralee 1)
Detaljer2. Bestem nullpunktene til g.
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).
DetaljerEksamen R2, Høsten 2010
Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si
Detaljerx n = 1 + x + x 2 + x 3 + x x n + = 1 1 x
Potesrekker Forelest: 29. Sept, 2004 Vi lærte fra de geometriske rekkee at x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + + x + = 1 1 x så lege x < 1. For uttrykket til høyre er ikke oe aet e sum-formele for geometriske
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet
DetaljerMa Analyse II Øving 5
Ma0 - Aalyse II Øvig 5 Øistei Søvik.0.0 Oppgaver 9. Determie whether the give sequece is (a) bouded (above or below), (b) positive or egative (ultimately), (c) icreasig, decreasig, or alteratig, ad (d)
DetaljerS2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene
Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett på diskrete
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2006
TMA4 Mtemtikk Høst 26 Norges tekisk turviteskpelige uiversitet Istitutt for mtemtiske fg Løsigsforslg, vsluttede eksme 5.2.26 De første greseverdie er e uestemt form v type "/", og L Hopitls regel gir
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 007 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Derivasjon.
Defiisjo av derivert Vi har stor ytte av å vite hvor raskt e fuksjo vokser eller avtar Mer presist: Vi øsker å bestemme stigigstallet til tagete til fuksjosgrafe P Q Figure til vestre viser hvorda vi ka
DetaljerFølger og rekker. Kapittel Følger
Kapittel 4 Følger og rekker E viktig egeskap ved polyomiale fuksjoer er at vi ekelt) ka rege ut verdiee av fuksjoee i et valgt pukt. Grue er at polyomer er et slags speilbilde av de valige regeoperasjoee.
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i MAT00 Matematikk I Eksamesdag: Fredag 4 jui 00 Tid for eksame: 0900 00 Oppgavesettet er på sider Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerAvdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL mai 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg, fjerudervisig Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig)
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 11 (HG)
Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig
DetaljerEksamen INF3350/INF4350 H2006 Løsningsforslag
Eksame INF3350/INF4350 H2006 Løsigsforslag Oppgave. Score (eller bit score) S' er e statistisk idikator på hvor sigifikat e match er. Høyere bit score svarer til høyere sigifikas. Idikatore er uavhegig
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 10. august 2010 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I
Eksame FY045/TFY450 10. august 010 - løsigsforslag 1 Oppgave 1 Løsigsforslag Eksame 10. august 010 FY045/TFY450 Kvatemekaikk I a. Bølgefuksjoe ψ for første eksiterte tilstad er (i likhet med ψ 4, ψ 6 osv)
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 5. Desember 214. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet
DetaljerOppgavesettet har 11 punkter, 1ab, 2abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Istitutt for matematiske fag SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Løsigsforslag Oppgavesettet har pukter, ab, abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelse a Vi har h(t = t e (t τ f(τ dτ = e t f(t
DetaljerLøsning eksamen R2 våren 2010
Løsig eksame R våre 010 Oppgave 1 a) f( x) x cos3x f ( x) x cos 3x x cos 3x x cos 3x x si 3x 3x xcos 3x 3x si 3x b) 1) v v u v u 1 u x x 1 x 5 x 5 x 5xe dx 5x e 5 e dx xe e dx 5 5 1 5 5 x x x x xe e C
DetaljerOppgave 1 a) Minste kvadraters metode tilpasser en linje til punktene ved å velge den linja som minimerer kvadratsummen. x i (y i α βx i ) = 0, SSE =
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a Miste kvadraters metode tilpasser e lije til puktee ved å velge de lija som
DetaljerDer oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:
DetaljerEksamen REA3028 S2, Våren 2010
Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
DetaljerE K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400
UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall
Detaljer5 y y! e 5 = = y=0 P (Y < 5) = P (Y 4) = 0.44,
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) Vi lar her Y være atall fugler som kolliderer med vidmølla i løpet av de gitte
DetaljerEksamen REA3028 S2, Våren 2011
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l
DetaljerLøsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.
DetaljerEksamen R2, Va ren 2013
Eksame R, Va re 013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x f x 3 six 3si x b) gx x 6si 7 Bruker kjereregele på uttrykket si x der og Vi har da guu siu u cosu cos x gx 6cos x 6 cos x u x g u
Detaljer0.5 (6x 6x2 ) dx = [3x 2 2x 3 ] 0.9. n n. = n. ln x i + (β 1) i=1. n i=1
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a The probability is.9.5 6x( x dx.9.5 (6x 6x dx [3x x 3 ].9.5.47. b The likelihood fuctio
DetaljerST1201 Statistiske metoder
ST Statistiske metoder Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag - Eksame desember Oppgave a) Dette er e ANOVA-tabell for k-utvalg med k 4 og j 6 for j,,3,4.
DetaljerBjørn Davidsen MATEMATIKK FOR INGENIØRER. Rekker
Bjør Davidse MATEMATIKK FOR INGENIØRER Reer Reer Side Ihold FORORD REKKER 4 NOEN INNEDENDE DEFINISJONER 4 KONVERGENS AV REKKER 6 ARITMETISKE OG GEOMETRISKE REKKER 9 Aritmetise tallfølger og reer 9 Geometrise
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt.
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f( ) cos5 f 5 si5 0 si5 g e si Vi bruker produktregele for derivasjo,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel
DetaljerFØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT
FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee
Detaljerf(x)dx = F(x) = f(u)du. 1 (4u + 1) du = 3 0 for x < 0, 2 + for x [0,1], 1 for x > 1. = 1 F 4 = P ( X > 1 2 X > 1 ) 4 X > 1 ) =
TMA Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for ateatiske fag Løsigsforslag - Eksae deseber 9 Oppgave a Besteer k ved å kreve fxdx =, fxdx = De kuulative fordeligsfuksjoe Fx er gitt
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren
2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
DetaljerLsningsforslag ved Klara Hveberg Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 4 I seksjon 4.1 gir de innledende oppgavene deg trening i a lse diere
Lsigsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 4 I seksjo 4. gir de iledede ogavee deg treig i a lse dieresligiger, og jeg reger med at det ikke er behov for a utdye lrebokas eksemler og fasit her. Me like
DetaljerLøsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe
DetaljerEksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy
DetaljerLøsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan
Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave
DetaljerKulas posisjon etter 0, 1, 2, 3 og 4 sekund
Total rullelegde i løpet av ett sekud: L Total rullelegde i løpet av to sekud: 4 L Total rullelegde i løpet av tre sekud: 9 L Total rullelegde i løpet av fire sekud: 6 L SYSTEM HER? Kulas posisjo etter
DetaljerHøgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:
DetaljerFagdag 2-3mx 24.09.07
Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.
DetaljerIntroduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians
Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i
DetaljerH 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2
TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA0 Sasylighetsregig statistikk våre 0 Kp. 4 Kotiulige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiulige tilfeldige variable itro. (ell: Kotiulige sasylighetsfordelig Vi har til å sett på diskrete fordelig
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2015
Eksame august 15 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave 1 a asylighetee blir og X > Z > 1 1 Z 1 Φ.3,.5 W > 5 X + Y > 5 b Forvetet samfuskostad blir
DetaljerForventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske
DetaljerKOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD
KOMPLEKSE TALL KARL K BRUSTAD 1 Defiisjoer og otasjo Defiisjo 1 Et kompleks tall er et objekt på forme x + i der x og er reelle tall og kalles heholdsvis realdele og imagiærdele til det komplekse tallet
DetaljerEksamen i Matematikk desember, Løsningsforslag. . Det gir iht tabell ( nr.[22] ): G(s) = 3
Høgskole i Gjøvik Avdelig for Tekologi Eksame i Maemaikk 5. desember Løsigsforslag OPPGAVE a) f () e si() Aleraiv s 8s Seer: g () si( ). De gir ih abell ( r.[] ): G(s) (s + ) (s + 9) Har a: f () e g().
DetaljerEksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del
DetaljerLøsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2018
Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2018 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x
DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeg) 500 = + 8 er a) Vis at de deriverte til fuksjoe ( ) O O ( ) = 500+ 16 b) Deriver fuksjoee 1) f( ) = l( ) ) g( ) = e c) Vi har gitt polyomfuksjoe f( ) = 1 + 15
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt
DetaljerEksamen REA3028 S2, Våren 2012
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e
DetaljerLøsningsforslag ST2301 øving 3
Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall
DetaljerForelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling
STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerPolynominterpolasjon
Polyomiterpolasjo Ae Kværø March 5, 2018 1 Problemstillig Gitt + 1 pukter (x i, y i ) i=0 med distikte x-verdier (dvs. x i = x j hvis i = j). Fi et polyom p(x) av lavest mulig grad slik at p(x i ) = y
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerTMA4245 Statistikk Vår 2015
TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II Oppgave 1 Kari har ylig kjøpt seg e y bil. Nå øsker hu å udersøke biles besiforbruk
DetaljerTerminprøve R2 Høsten 2014 Løsning
Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete
Detaljer2 n+2 er konvergent eller divergent. Observer først at; 2n+2 2 n+2 = n=1. n=1. 2 n > for alle n N. Denne summen er.
MA2 Vår 28 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 9.2.9 Ønsker å finne ut om 3+ 2 n+2 er konvergent eller divergent. Observer først at; 3 + 2 n 2 n+2 = ( 3 ) + +2
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II I dee siste øvige fokuserer vi på lieær regresjo, der vi har kjete kovariater
Detaljer