Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning

Transkript

1 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL mai 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg, fjerudervisig Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig) Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamlig (bakerst i oppgavesettet) Kotroller at du har fått alle arkee Les oppgavetekstee øye Bruk ege ark på hver oppgave Begru alle svar Alle delspørsmål teller like mye Oppgave Fuksjoe f er gitt ved f ( ) = + a) Bestem det største mulige defiisjosområdet for f b) Bestem verdimegde til f c) Fi de iverse fuksjoe til f d) På figure edefor er parabele til e aegradsfuksjo teget i Fi ullpuktee til dee fuksjoe

2 e) Fuksjoe g har delt forskrift: + år g( ) = + 5 år > Nedefor er det vist et utsitt av grafe: Avgjør om fuksjoe er kotiuerlig og/eller deriverbar for = f) Ta utgagspukt i et (ekelt) eksempel, og gjør rede for hva vi meer med vedepuktee til e fuksjo Oppgave E bilfører ser plutselig e elg 0 meter leger fremme, og bråbremser Etter t sekuder har bile sklidd 5t 3t meter a) Hvor lege bremset bile før det smalt? b) Hvor stor var hastighete da ha kjørte i i elge? c) Hvor lagt ua måtte elge ha stått for at kollisjoe skulle vært ugått?

3 Oppgave 3 a) På figure er fuksjoee størrelse til det skraverte området: 5 = og g( ) = teget i Bereg 4 4 f ( ) b) Bruk substitusjo til å løse det ubestemte itegralet e d c) Et objekt har akselerasjo a( t) = 0,6t (m/s ) i) Dersom hastighete er 0 m/s ved tidspukt t = 0, hvilke hastighet har objektet da ved tidspukt t = 5 ii) Hvor lagt kommer objektet i tidsitervallet t = til t = 5? 3

4 Oppgave 4 Ligige 3 + 3y + y = 5 defierer e kurve i plaet Omkrig origo ser løsigsmegde slik ut: a) Fi ligige for tagete i puktet (,) Oppgave 5 Vi skal studere fuksjoe f (, y) si y = +, hvor defiisjosområdet er gitt ved og π y π Grafe til dee fuksjoe ser slik ut: (det rektagulære området som er teget i er defiisjosområdet) 4

5 a) Fi de første ordes partielt deriverte til f : f (, y) og f (, y) b) Av figure ser vi at f har et miimum for et idre pukt i defiisjosområdet Fi dette puktet ved regig, og bereg fuksjosverdie der c) f har sitt maksimum på rade av defiisjosområdet (av symmetrigruer har de maksimum på to steder) Fi dee maksimumsverdie d) f har et sadelpukt Agi dette puktet og forklar hvorfor det er et sadelpukt y e) Hva slags ivåkurver har fuksjoe g(, y) = +? y Oppgave 6 Forskere har over legre tid drevet tellig av bestade av e bestemt hvalart På bakgru av dette har de også fremsatt forslag til fagstkvoter Vi lar i det følgede y(t) være størrelse av hvalbestade ved tidspukt t år Telligee viser at dersom forskeres forslag til fagstkvoter blir fulgt vil bestades vekstrate ved ethvert tidspukt t være % av 0000 y(t) a) Sett opp e differesialligig som modellerer opplysigee i oppgavetekste, og løs ligige med iitialbetigelse: y (0) = 7000 b) Hvor stor er bestade etter 50 år? c) Hvorda vil det gå med bestade på lag sikt? d) Hvis iitialbetigelse var y (0) = 000, hvorda ville grafe til y sett ut da? (teg bare e helt grov skisse) 5

6 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig Formelsamlig for Matematikk, Modul Geerelt FORMEL FOR LØSNINGENE TIL ANNENGRADSLIGNINGEN: Ligige a b c + + = 0 har løsiger gitt ved b ± b 4ac = a KONTINUERLIG FUNKSJON: f er kotiuerlig i c dersom lim f ( ) = f ( c) c INVERS FUNKSJON: g er ivers til f dersom g( f ( )) = De iverse skrives ofte f ( ) Rekker GEOMETRISK REKKE: dersom < <, og da er + k 3 = L + = Rekke er koverget k = 0 + k 3 = L = lim = k = 0 ( a + a ) ARITMETISK REKKE: a + a + a3 + + a = ( a + a) ( a a + a) (Alterativ form: a + a + a3 + L + a = ) a Derivasjo L, hvor = a a + a a PRODUKTREGELEN: Hvis f ( ) = g( ) h( ), så er f ( ) = g ( ) h( ) + g( ) h ( ) KJERNEREGELEN: Hvis f ( ) = g( u( )), så er f ( ) = g ( u) u ( ) KVOTIENTREGELEN: Hvis u( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) f ( ) =, så er f ( ) = v( ) v( ) r POTENSREGELEN: Hvis f ( ) = a, så er r ( ) =, hvor a R f r, r er rasjoal 6

7 DERIVASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONER: Hvis f ( ) = a, så er f ( ) = a l a hvor a > 0 (spesialtilfelle: ( e ) = e, side l e = ) DERIVASJON AV LOGARITMER: Hvis f ( ) = l, så er f ( ) = /, hvor 0 DERIVASJON AV TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER: (si ) = cos og (cos ) = si f PARTIELT DERIVERTE: For e fuksjo f (, y ) skriver vi eller f (, ) y for de partielt deriverte med hesy på Tilsvarede for derivasjo med hesy på y Aederivertteste Hvis f ( c) = 0 og f ( c) < 0, så er ( c, f ( c )) et lokalt maksimumspukt, og f ( c ) e lokal maksimumsverdi Hvis f ( c) = 0 og f ( c) > 0, så er ( c, f ( c )) et lokalt miimumspukt, og f ( c ) e lokal miimumsverdi Vedepukt Dersom ( a, b ) er et pukt på grafe til e fuksjo f, kalles ( a, b ) et vedepukt dersom f ( a) = 0 Ofte agis bare a for å markere et vedepukt (sier ma at fuksjoe har vedepukt for = a er det uderforstått at ( a, f ( a )) er vedepuktet) L Hôpitals regel L HÔPITALS REGEL FOR 0/0 : f ( ) f ( ) Forutsatt at g ( 0) 0, har vi at lim = lim Regele ka brukes til å bestemme 0 g( ) 0 g ( ) f ( ) 0 grese i tilfeller hvor vi får lim = " " 0 g ( ) 0 L HÔPITALS REGEL FOR / : Dersom lim f ( ) = lim g( ) =, da er 0 0 eksisterer, eller er ± f ( ) f ( ) lim = lim, forutsatt at g( ) g ( ) 0 0 f ( ) lim 0 g ( ) Regeregler for logaritmer l a = l a l a e = a l( ab) = l a + l b l( a / b) = l a l b 7

8 Itegrasjo DELVIS INTEGRASJON: uv = u v d + uv d INTEGRASJON VED SUBSTITUSJON Med du = g ( ) d, ka vi skrive f ( u) du = f ( g( )) g ( ) d Ved beregig av bestemte itegraler: b a g ( b) f ( g( )) g ( ) d = f ( u) du g ( a) DELBRØKSOPPSPALTNING A E rasjoal fuksjo skrives som e sum av fuksjoer på forme hvor A og a er + a kostater Vi får A/( + a) d = A l + a + C Et eksempel viser prisippet Vi vil skrive som e sum av brøker med førstegradspolyomer i evere Vi har at = ( )( + ), og skriver A A = + +, hvor A og A er kostater For å bestemme A gager vi med på begge sider, og ser på: A = A + ( ) + + Når = er det siste leddet på høyreside 0, og A er lik vestreside, som da er ½ Kostate A bestemmes på tilsvarede måte SPESIELLE INTEGRALER + d = l + C + d = + C e d e C = + l d = l + C Fuksjoer i flere variable TANGENTPLAN Dersom f (, y ) er e partielt deriverbar fuksjo, er tagetplaet for grafe til f i puktet ( a, b ) gitt ved z = f ( a, b)( a) + f ( a, b)( y b) + f ( a, b) y STASJONÆRT PUNKT Dersom f (, ) 0 0 y0 = og f y ( 0, y0) = 0, kalles ( 0, y 0) et stasjoært pukt 8

9 Formel for Taylor-polyomet til f av grad om puktet a ( ) f ( a) f ( a) f ( a) P, a ( ) = f ( a) + ( a) + ( a) + L + ( a)!!! Det er ofte yttig å bruke at ( ) f ( a) f ( a) f ( a) P, a ( a + ) = f ( a) L +!!! og at vi ka uttrykke fuksjosverdier for f ved: ( + ) f ( a + θ ) f ( a + ) = P, a( a + ) + ( + )! +, hvor ( + ) ( + )! ( + ) f a θ + er restleddet Løsiger av differesialligiger at Ligiger på forme y = ay, har løsig y = ke at b Ligiger på forme y = ay + b, a 0, har løsig y = ce der c er e vilkårlig a kostat B A Ligiger på forme y = ay + by + c, a 0 har løsig y = A + ( B _ A) at + ke der k er e vilkårlig kostat I tillegg kommer de kostate løsige y = A Noe gager er det mer aturlig å skrive e slik ligig på forme dy a( y A)( y B) dt =, hvor 0 E typisk situasjo hvor e slik ligig opptrer, er år vi forsøker å modellere et feome hvor de relative veksthastighete er proporsjoal med det vi kaller de ledige kapasitete At de relative veksthastighete er proporsjoal med de ledige y kapasitete uttrykkes ved = a( B y), hvor B er de såkalte bærekapasitete y 9