Oblig 4-fasit 11.1: Funksjoner av flere variable

Transkript

1 Oblig 4-fasit.: Funksjoner av flere variable..3 i. Vi har ingen, brøker eller andre funksjoner som krever begrensninger i hva vi kan sette inn som argumenter, så alle og y kan brukes. D f = R = {, y), y R} ii. Setter vi = 0 kan vi få en hvilken som helst verdi ved å sette y lik denne verdien, så V f = R =<, >. iii. Vi finner nivåkurven for tallet c, og ser hva slags formel vi får når vi setter f, y) = c: y = c y = + c. Nivåkurvene er rette linjer. iv. Ingen rand. Feil: i. y > 0, så D f = {, y) y > } Det er ingen funksjoner som krever at y > 0, så dette svaret er kun resulatet av å prøve å følge et eksempel blindt!) d) i. Vi finner først c. c = f 0, y 0 ) = f, ) = 6 ) ) = 6 8 = 6 ii. Vi setter f, y) = c, og finner ligningen: 6 y = 6 + y = 0

2 .: Grenser og kontinuitet i høyere dimensjoner.. 3 y y + = = 5 3 y y + = = = = 3 y + 5 ) + y + ) 3 ) ) + 3! y! +5 «0 3 «+ 0 = = 5! + y! +! y +5 y 0! y + y 0 y ) + y ) + 5 Men så mye mellomregning er fullstendig overkill, og vil være sløsing med tida på en eksamen.)..4 Derfor er y ) : y) = + y y,y),) y = + y) =,y),) y

3 ..35 Vi velger y =, og får langs denne linja at + y = + = = { < 0 > 0 Så vi får to forskjellige grenser om vi kommer inn ovenfra eller nedenfra : f, ) = 0 0 f, ) = = = 0 + = = 0 Siden grensene er ulike, finnes ingen felles) grense, + y. 3

4 .3: Partielt deriverte.3.9 Skriv gjerne parallellt med utregningen din en utregning der du erstatter variabelen som du ikke deriverer med hensyn på med a, π eller et annet symbol som du lett gjenkjenner som en konstant, slik som her: y ) = y y Haugan 4., formel π ) = π π Skyggeutregning) y ) y = y ln Haugan 4., formel 3 a y ) y = a y ln a Skyggeutregning) Skrivemåten for derivert er valgfri: Enten foran uttrykket, slik: f, eller en subskript etter uttrykket, slik: f eller slik: f). y ) = y y Haugan 4., formel π ) = π π Skyggeutregning) y y ) = y ln Haugan 4., formel 3 y ay ) = a y ln a Skyggeutregning) Feil: Å glemme å holde de andre variablene enn den du deriverer med hensyn på konstante..3.4 f, y) = + y + y. Vi regner først ut de førsteordens deriverte: f = y = + y f y = = + Så ser vi på de andreordens deriverte: f = + y) = 0 f y = + y) y = f y = f y = f yy = + ) y = 0 I Calculus med en variabel er de analoge skrivemåtene d d f og f. 4

5 .3.57 Løsningen er som for implisitt derivasjon med uavhengig variabel. Vi deriverer på begge sider, og løser så for z = z : i. y + z 3 yz) = 0) : Vi deler opp derivasjonsjobben i mindre jobber: i. y) = y- her holder vi y konstant. ii. z 3 ) = z 3 ) + z 3 ) Her bruker vi u v) = u v + u v produktregel for derivasjon = 3z z + z 3 Kjerneregel: z 3 ) = 3z z iii. yz) = y z - her holder vi y konstant. Vi setter sammen ligningen: y + z 3 yz) = 0) y + 3z z + z 3 y z = 0 3z y) z + y + z 3 = 0 3z y) z = y z 3 Vi setter så inn 0, y 0, z 0 ) =,, ): z,, ) = z = y z3 3z y 3 3 = = Feil: Noen vanlige feil: z 3 ) = z 3 Glemme produktregel z 3 ) = z 3 Glemme at z er en funksjon av, og ikke en konstant. z 3 ) = 3z + z 3 Glemme kjerneregel yz) = z Derivere bort konstanten y 5

6 .4: Kjerneregelen i flere dimensjoner.4.5 i. Vi har w = ye ln z = lnt + ) y = tan t z = e t Deriverer på to måter: A. Kjerneregelen: dw = w d + w dy + w dz dt dt y dt z dt = ye ln z) lnt + )) t + ye ln z) y tan t) t + ye ln z) z e t ) t = ye t t + + e +t + z ) et = ye t t + + e +t z et = ye t t + + e +t z et = tan t)e lnt +) t t + + elnt +) +t e t e t = tan t) t + ) t t + + t + ) +t e t e t = 4ttan t) + B. Direkte innsetting: wt) = tan t e lnt +) ln e t = tan t)t + ) t Når vi deriverer, får vi ii. Setter inn t = : w t) = tan t) t + ) + tan t) t + ) t = t + ) + tan t) t +t = + 4ttan t) = 4ttan t) + w ) = 4 tan ) + = 4 π 4 + = π + 6

7 .4.9 i. Vi har w = y + yz + z = u + v y = u v z = uv Vi regner ut på måter: A. Kjerneregelen: w = w + w y + w z u u y u z u = y + z) + + z) + + y) v = u v + uv) + u + v + uv) + u + v + u v) v = u + 4uv w = w + w y + w z v v y v z v = y + z) + + z) ) + + y) u = u v + uv) + u + v + uv) ) + u + v + u v) u = v + u B. Direkte innsetting: ii. Setter inn P 0 =, ): wu, v) = u + v)u v) + u v)uv) + u + v)uv) = u v + u v uv + u v + uv = u v + u v w = u uv u w = 0 v + u v w u, ) = + 4 w v, ) = + ) = 3.4. Se scannet tegning på slutten av dokumentet. 7

8 .5: Retningsderiverte, gradientvektor og tangentplan.5.3 f = < f, f y, f z > = < y + z, + z, + y > f P0 = < +, +, + ) > = <, 3, 0 > u = A A = = 3, 6, <3,6, > ) D u f = f P0 u = <, 3, 0 > 3, 6, = = f = < f, f y > = < + y, + y > f P0 = < ) +, ) + > = <, > For å finne maksmal retningsderivert er dette nok. u trengs ikke. Størrelsen er lik f P0 f P0 = <, > = ) + = 8

9 .6: Linearisering og differensialer.6.6 i. Vi regner først ut funksjonen og de partielt deriverte. f = e y f 0, 0) = e 0 0 = f y = e y f y 0, 0) = e 0 0 = f0, 0) = e 0 0 = Deretter setter vi rett og slett inn i formelen: L, y) = f 0, y 0 ) + f 0, y 0 ) 0 ) + f y 0, y 0 ) y y 0 ) = f0, 0) + f 0, 0) 0) + f y 0, 0) y 0) = 0) + y 0) = y + ii. Vi regner først ut funksjonen og de partielt deriverte. f = e y f, ) = e = e 3 f y = e y f y, ) = e = e 3 f, ) = e = e 3 Deretter setter vi rett og slett inn i formelen: L, y) = f 0, y 0 ) + f 0, y 0 ) 0 ) + f y 0, y 0 ) y y 0 ) = f0, 0) + f 0, 0) 0) + f y 0, 0) y 0) = e 3 e 3 ) + e 3 y ) = e 3 y e 3 e i. Vi regner først ut funksjonen og de partielt deriverte. f = 3y f, ) = 3 = f y = 3 f y, ) = 3 = 6 f, ) = = 3 ii. Deretter finner vi L, y) ved å sette inn i formelen: L, y) = f 0, y 0 ) + f 0, y 0 ) 0 ) + f y 0, y 0 ) y y 0 ) = f0, 0) + f 0, 0) 0) + f y 0, 0) y 0) = 3 + ) 6 y ) = 6y + 7 9

10 .6.7 iii. Vi regner ut de andreordens deriverte for å kunne finne M til formelen for estimering av E, y): f = f y = f y = 3 f yy = 0 M må da være et tall større enn f, f y, og f yy. Det minste slike tallet er 3, så vi setter M = 3. Da setter vi bare inn i formelen, og får for hver og y E, y) M 0 + y y 0 ) = 3 + y ) Felles-estimatet for alle, y) i rektangelet R blir da E, y) 3 + y ) ) 3 = 3 50 Til nærmeste mileter betyr avrunding, altså en unøyaktighet på 0.5mm. Fasiten i Thomas Calculus har feilaktig) brukt mm, og har derfor fått det doble av vårt svar. Dette svaret vil også bli godkjent på obligen. Vi har altså følgende kjente størrelser: r = 5.0 h =.0 dr = 0.05 dh = 0.05 I tillegg kan vi regne ut V = πr h = π 5 = 300π Feilen i % er gitt ved formelen dv V 00% Alt vi mangler i denne formelen er dv, som vi jo finner ved formelen for totalt differensial: dv = V r dr + V h dh 0

11 Vi må finne de partielt deriverte V r og V h i P 0 = 5.0,.0): V r = πrh V r 5, ) = π 5 = 0π V h = πr V r 5, ) = π 5 = 5π For å finne maksimum unøyaktighet dv, setter vi inn verdiene for maksimum unøyaktighet i måleverdiene, dr og dh : dv = V r dr + V h dh = 0π π 0.05 = 7.5π Så setter vi inn i formelen for prosentvis nøyaktighet, og får dv. Mathematica: 00% = 7.5π 00% V 300π.4% a) Tegn grafen til funksjonen i..9 b) Tegn nivåkurver til funksjonen i..9 c) Tegn grafen til funksjonen i..35 d) Tegn nivåkurver til funksjonen i..35 Se eget Mathematica-ark eller vedlegg på de to siste sidene.