Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012
|
|
- Gisle Egeland
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling). Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling (bakerst i oppgavesettet). Kontroller at du har fått alle arkene. Les oppgavetekstene nøye. Bruk egne ark på hver oppgave. Begrunn alle svar. Alle delspørsmål teller like mye. Oppgave 1 a) Nedenfor ser du grafen til en annengradsfunksjon. Skriv ned funksjonsuttrykket til denne funksjonen. b) Bruk derivasjon til å bestemme lokale topp- og bunnpunkter for funksjonen g x = x + 1 x. c) Bestem nullpunktene for funksjonen h x = x + 1 x 1. 1
2 Oppgave 2 a) I en gruve produserer man det første driftsåret 1000 kg edelt metall. Stadig mer effektiv gruvedrift gjør at man kan forvente en økning i produksjonen på 2 % per år. Hvor mye edelt metall produserer gruven på 100 år? b) En liten bedrift startet i 1912 med salg av kjøttmeisdempere. Det første året solgte de 50 kjøttmeisdempere. For hvert år økte omsetningen med ytterligere 50; til 100 kjøttmeisdempere det andre året, 150 det tredje året osv. Hvor mange kjøttmeisdempere har de solgt i løpet av hundre år? Oppgave 3 Populasjon A består i dag av individer, og vokser med en årlig vekstrate på 2 %. Populasjon B består i dag av individer, og vokser med en årlig vekstrate på 7 %. Vi antar at disse vekstratene har holdt seg konstante siden tidspunktet da populasjonene var like store. La K notere populasjonenes størrelse på det tidspunktet de var like store. a) La A n og B n notere veksten for henholdsvis populasjon A og B fra og med tidspunktet da populasjonene var like store. Skriv opp funksjonsuttrykkene for disse to funksjonene. b) Hvor lenge siden er det at populasjonene var like store? c) Hvor store var populasjonene på det tidspunktet de var like store? Oppgave 4 Funksjonen f er gitt ved f x = e 10x a) Hva er funksjonens største mulige definisjonsområde? b) Deriver f og bruk den deriverte til å bestemme funksjonens (lokale) ekstremalpunkter. c) Finn alle asymptoter til funksjonen g x = 2x + 3x x + 1 d) Bruk substitusjon til å løse det ubestemte integralet x x + 1 dx. e) Nedenfor er det vist grafen til en funksjon på formen f x = acos bx + c. Bestem konstantene a og b. 2
3 Oppgave 5 Vi skal anta at en rakett akselererer i henhold til funksjonen a t = 0,03t 0,6t + 3t, t 0,10 t måles i minutter, og funksjonsverdien er antall ganger tyngdens akselerasjon. Tyngdens akselerasjon er g = 10 m s. Hvis for eksempel a t = 2, betyr det at akselerasjonen ved tidspunkt t er 2 10 m s = 20 m s. Grafen til akselerasjonsfunksjonen ser slik ut: a) Akselerasjonen er på sitt høyeste når t = Hvor stor er rakettens hastighet da? OBS: Svaret du kommer frem til har benevningen 10 m s 60s = 600 m s. Du må altså gange det du får ved direkte utregning med 600 for å få svaret i m s. Noter også at svaret er et ganske stort tall. Vi vil forestille oss at raketten har forlatt jordas atmosfære og beveger seg i tilnærmet vakuum. b) Etter 10 minutter er akselerasjonen 0 (da fortsetter raketten med den allerede oppnådde hastigheten). Hvor langt har raketten beveget på 10 minutter? 3
4 OBS: Svaret du kommer frem til har benevningen 600 m s 60s = 36000m. Regner du ut rett frem må du altså gange med for å få svaret i meter. Husk at dette foregår med mye større hastighet enn normalt, så det er rimelig at tallene er store. Oppgave 6 Nedenfor ser du grafen til funksjonen f x, y = x + 6x + 3x 6y Definisjonsområdet er gitt ved 3 x 7 og 3 y 3 (det er ikke viktig i denne oppgaven). a) Som antydet på figuren har f to stasjonære punkter, et sadelpunkt og et lokalt maksimum. Bruk de partielt deriverte til å bestemme funksjonsverdien for det lokale maksimumet. b) Ligningen x + 6x + 3x 6y = 2 gir implisitt det vi kaller en nivåkurve. Forklar hva vi mener med nivåkurve. 4
5 c) Nivåkurven gitt av ligningen i punkt b) ser slik ut: Vis at punktet 1,1 ligger på kurven, og bestem ligningen for tangenten til kurven i dette punktet [Hint: implisitt derivasjon]. Oppgave 7 Vi skal studere veksten til et bestemt fiskeslag. La y t notere lengden til en fisk av dette slaget ved tid t måneder. Maksimal lengde for dette fiskeslaget kan antas å være 3 meter. Videre skal vi anta at lengden vokser med 4 % av 3 y t (veksten som gjenstår). Vi kan gå ut ifra at en nyfødt fisk er 10 cm lang (vi kan gjerne tenke oss at det er tale om fisk som føder levende unger, slik som for eksempel mange haier). a) Sett opp en differensialligning som svarer til veksten av y, og løs den. b) Hvor lang er en fisk av dette slaget etter 3 år? c) Hvor lang tid tar det for en fisk av dette slaget å vokse til 2,9 meter? 5
6 Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai 2012 Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning Formelsamling for Matematikk 2, Modul 1 Generelt FORMEL FOR LØSNINGENE TIL ANNENGRADSLIGNINGEN Ligningen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 har løsninger gitt ved 𝑥 = 𝑏 ± 𝑏 4𝑎𝑐 2𝑎 KONTINUERLIG FUNKSJON 𝑓 er kontinuerlig i c dersom lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐) INVERS FUNKSJON 𝑔 er invers til 𝑓 dersom 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥. Den inverse skrives ofte 𝑓 (𝑥). Rekker GEOMETRISK REKKE 𝑥 1 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + + 𝑥 = 𝑥 1 Rekken er konvergent dersom 1 < 𝑥 < 1, og da er 𝑥 1 1 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + = lim = 𝑥 1 1 𝑥 ARITMETISK REKKE La 𝑑 være den faste differensen mellom leddene. Da er 𝑎 + 𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 + 𝑑 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + + 𝑎 = hvor 𝑛 = 2 𝑑 Derivasjon PRODUKTREGELEN: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ(𝑥) så er 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ 𝑥 + 𝑔 𝑥 ℎ (𝑥) KJERNEREGELEN: Hvis 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑢 𝑥 ), så er 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑢 (𝑥) KVOTIENTREGELEN 𝑢(𝑥) 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 𝑣 (𝑥) Hvis 𝑓 𝑥 =, så er 𝑓 𝑥 = 𝑣(𝑥) 𝑣(𝑥) 6
7 Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai 2012 POTENSREGELEN: Hvis 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 så er 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥, hvor 𝑎 𝑅, 𝑛 𝑄. DERIVASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONER: Hvis 𝑓 𝑥 = 𝑎, så er 𝑓 𝑥 = 𝑎 ln(𝑎), hvor 𝑎 > 0. (spesialtilfelle: 𝑒 = 𝑒, siden ln 𝑒 = 1). DERIVASJON AV LOGARITMER: Hvis 𝑓 𝑥 = ln 𝑥, så er 𝑓 𝑥 = 1 𝑥, hvor 𝑥 0. DERIVASJON AV TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER sin(𝑥) = cos(𝑥) og cos(𝑥) = sin(𝑥) PARTIELT DERIVERTE: For en funksjon 𝑓(𝑥, 𝑦) skriver vi 𝑓 𝑥 eller 𝑓 (𝑥, 𝑦) for den partielt deriverte med hensyn på x. Tilsvarende for derivasjon med hensyn på y. Annenderiverttesten Hvis 𝑓 𝑐 = 0 og 𝑓 𝑐 < 0, så er 𝑐, 𝑓 𝑐 maksimumsverdi. Hvis 𝑓 𝑐 = 0 og 𝑓 𝑐 > 0, så er 𝑐, 𝑓 𝑐 minimumsverdi. et lokalt maksimumspunkt, og 𝑓(𝑐) en lokal et lokalt minimumspunkt, og 𝑓(𝑐) en lokal L Hôpitals regel L HÔPITALS REGEL FOR 0/0 : () () Forutsatt at 𝑔 𝑥 0 har vi lim () = lim (). Regelen kan brukes til å () bestemme grensen i tilfeller hvor vi har lim () = " ". L HÔPITALS REGEL FOR / : () () Dersom lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔 𝑥 =, da er lim () = lim () () forutsatt at lim () eksisterer, eller er ±. Regneregler for logaritmer 𝑙𝑛𝑎 = 𝑛 ln(𝑎) ln 𝑎𝑏 = ln(𝑎) + ln(𝑏) 𝑎 ln = ln 𝑎 ln(𝑏) 𝑏 Integrasjon DELVIS INTEGRASJON 7
8 Høgskolen i Telemark 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑑𝑥 + Eksamen Matematikk 2 modul Mai 2012 𝑢𝑣 𝑑𝑥 INTEGRASJON VED SUBSTITUSJON Dersom 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑢 (𝑥), så er 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑢 (𝑥) 𝑑𝑢 = 𝐺 𝑥 + 𝐶, hvor G er en antiderivert til g. Ved beregning av bestemte integraler: () 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 () SPESIELLE INTEGRALER 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 + 𝐶 ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 𝑥 + 𝐶 Funksjoner i flere variable TANGENTPLAN Dersom 𝑓(𝑥, 𝑦) er en partielt deriverbar funksjon, er tangentplanet for grafen til 𝑓 i punktet 𝑎, 𝑏 gitt ved 𝑧 = 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑎 + 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑏 + 𝑓 𝑎, 𝑏. STASJONÆRT PUNKT Dersom 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 og 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 kalles 𝑥, 𝑦 et stasjonært punkt. Løsninger av differensialligninger Ligninger på formen 𝑦 = 𝑎𝑦, har løsning 𝑦 = 𝑘𝑒 ". Konstanten 𝑘 bestemmes av initialbetingelsen. Ligninger på formen 𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏, 𝑎 0, har løsning 𝑏 𝑦 = 𝑘𝑒 " 𝑎 Konstanten 𝑘 bestemmes av initialbetingelsen. 8
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert
Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:
2. Bestem nullpunktene til g.
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).
Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL mai 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg, fjerudervisig Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig)
Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
EKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
EKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard. består av 8 sider inklusiv denne forsiden og vedlagt formelsamling.
e. Høgskoleni Østfold ). EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1 matematikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 3. juni 2016 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling Faglærer: Hans Kristian
EKSAMEN. Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Matematikk. EMNENUMMER: REA42/REA42F EKSAMENSDATO: Mandag 9. august 2 KLASSE: Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
Eksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1. 2 x
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Brukerkurs i matematikk Mandag 4. desember 9, kl. 9-4 BOKMÅL Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar
EKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk. FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: Mandag. august 2 SENSURFRIST:. september 2 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs og
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
Eksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
UNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL)
EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : Tirsdag 21. februar 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Adm. bygget, B154. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.
Emnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven
Høgskoleni østfold EKSAMEN. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 23.11.15 Eksamenstid: 4 timer, kl. 9.00-13.00 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling (4 siste sider
Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 30..00 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del skal leveres inn etter timer. Del skal
EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs
Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres
Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
Eksamen R2 høsten 2014 løsning
Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen
Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:
Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn
n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
Krasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?
OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et
NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide
EKSAMEN Emnekode: ITD15013 Emnenavn: Matematikk 1 første deleksamen Dato: 13. desember 017 Hjelpemidler: Eksamenstid: 09.00 1.00 Faglærer: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Formelhefte. Kalkulator
R2 eksamen våren 2017 løsningsforslag
R eksamen våren 07 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 3sin cos f 3cos sin 3cos sin b) g cos uv uv uv der u og v cos Vi bruker produktregelen for derivasjon
Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler
Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor
1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)
1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.
Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012 Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En
Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II
Eksamen Fag: AA654/AA656 Matematikk 3MX Eksamensdato: 6. desember 006 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister
Nicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.
Eksamen R2 høst 2011, løsning
Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har
Eksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
Matematikk R1 Forslag til besvarelse
Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første
x 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3
Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk
Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet
1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e
Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e
Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
Eksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto
Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer
Høgskoleni østfold EKSAMEN. Metode 1 (Deleksamen i matematikk)
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 02.12.2013 Eksamenstid: kl 0900 til kl 1300 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Faglærer: Hans Kristian
Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med
. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sin θ = 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 00 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 3.7 99 Vi deriverer to ganger: = A cos (ln ) B sin (ln ) = A cos (ln ) A sin (ln ) + B sin (ln ) B cos (ln
SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
EKSAMEN Løsningsforslag
7 desember EKSAMEN Løsningsorslag Emnekode: ITD5 Dato: 6 desember Hjelpemidler: Emne: Matematikk ørste deleksamen Eksamenstid: 9 Faglærer: To A-ark med valgritt innhold på begge sider Formelhete Kalkulator
Funksjoner S2 Oppgaver
Funksjoner S Funksjoner S Oppgaver. Derivasjon... Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 4 Den deriverte til en
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:
IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid
Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
R2 eksamen høsten 2017 løsningsforslag
R eksamen høsten 017 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x sin3x f x cos3x 3 6cos3x sin x x sin x x sin x x x cos x sin x g x x x b) gx h x x cos x c) h
Løsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b:
OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom
Hjelpemidler på del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014
Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.
MA0003-8. forelesning
Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
UNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
Anvendelser av derivasjon.
Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 39 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
MET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,
Eksamen R2 høsten 2014
Eksamen R høsten 014 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x b) gx 5e x sinx Oppgave
3x ( x. x 1 x a 3 = 1 2 x2. a) Bestem rekkens kvotient og rekkens første ledd.
Oppgave 1 Løs likningen x 2 + x 6 = 0. b) Løs likningen c) Løs ulikheten x 2 + 4x 5 < 0. 3x 2 + 7 x 2 1 ) = 8. d) Løs ulikheten Oppgave 2 x 1 x 2 4 0. Deriver g x) = 3x + ln x) 3. b) Deriver h x) = e x
Eksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
S2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
S eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f x =
Eksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
Oblig 4-fasit 11.1: Funksjoner av flere variable
Oblig 4-fasit.: Funksjoner av flere variable..3 i. Vi har ingen, brøker eller andre funksjoner som krever begrensninger i hva vi kan sette inn som argumenter, så alle og y kan brukes. D f = R = {, y),