Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Transkript

1 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første teller poeng hver, de 0 siste teller poeng hver. Det er bare ett riktig alternativ på hvert spørsmål. Dersom du svarer feil eller lar være å svare på et spørsmål, får du 0 poeng. Du blir altså ikke straffet for å gjette. Krysser du av mer enn ett alternativ på et spørsmål, får du 0 poeng.. ( poeng) Den deriverte til f() arctan er: + arctan + + arctan + arccos + arctan sin + Riktig svar: b) arctan + Begrunnelse: Vi bruker produktregelen: f () arctan +. ( poeng) Den deriverte til f() (cot ) er: cot + cot cot tan cot cos cot sin Riktig svar: e) cot sin Begrunnelse: Vi bruker kjerneregelen: + arctan + + ( f () cot ) sin cot sin. ( poeng) Det komplekse tallet +i i +i i

2 5+5i 8 7+i 0 +7i Riktig svar: a) +i Begrunnelse: Vi ganger oppe og nede med den konjugerte til nevneren: + i ( + i)( + i) 6 + i + i 5 + 5i + i i ( i)( + i) 9 ( ) 0. ( poeng) Polarkoordinatene til det komplekse tallet + i er: r, θ 5π 6 r, θ 5π 6 r, θ π 6 r, θ π 6 r, θ 7π 6 Riktig svar: a) r, θ 5π 6 Begrunnelse: Vi har r a + b ( ) +. Videre er sin θ b r. Siden tallet ligger i annen kvadrant, betyr dette at θ 5π ( poeng) Polarkoordinatene til et komplekst tall er r, θ π 6. Tallet er: + i i + i + i + i Riktig svar: b) i Begrunnelse: Vi har z r(cos θ + i sin θ) (cos π 6 π + i sin 6 ) ( + i( )) i 6. ( poeng) Det komplekse tallet e 8πi/ + i + i + i + i + i

3 Riktig svar: a) + i Begrunnelse: Siden 8π π + π, har vi e 8πi/ e πi/ (cos π + i sin π ) ( + i ) + i sin( 7. ( poeng) Grenseverdien ) 0 0 Riktig svar: d) Begrunnelse: Bruker vi L Hôpitals regel, får vi: sin( ) cos( ) 0 cos( ) ( poeng) Grenseverdien Riktig svar: e) 7 Begrunnelse: Det går an å bruke L Hôpitals regel, men det er raskere å trekke ut den høyeste potensen av opp og nede: 7 + (7 + ) ( ) (7 + ) ( ) 7 9. ( poeng) Grenseverdien π (tan ) π e e e Riktig svar: e) e Begrunnelse: Vi flytter først all -avhengigheten opp i eksponenten: (tan ) π π (e ln(tan ) ) π π ln(tan ) e π π

4 Deretter bruker vi L Hôpitals regel på eksponenten (som er et 0/0 -uttrykk): π ln(tan ) π π tan cos ( ) Går vi så tilbake til det opprinnelige uttrykket, får vi: (tan ) π π ln(tan ) e π e π 0. ( poeng) Den omvendte funksjonen til f() + er: g() + g() 5 g() g() + g() + Riktig svar: c) g() Begrunnelse: Løser vi ligningen y + for, får vi y. Dette betyr at g(y) y. Bytter vi navn på variabelen, får vi g().. ( poeng) Funksjonen f er injektiv, og vi vet at f() og f (). Hvis g er den omvendte funksjonen til f, vet vi også at: g ( ) g () g () g () g () Riktig svar: e) g () Begrunnelse: Vi bruker formelen g (y) f (). I vårt tilfelle er og y, så vi får: g () f ().. ( poeng) Det reelle fjerdegradspolynomet P (z) har i og + i som røtter. P (z) z + z + 5z + z + z z + 6z 8z + 8 z z + z z + z z + z z + 8 z z + 6z z + 8 Riktig svar: b) z z + 6z 8z + 8 Begrunnelse: Siden polynomet er reelt, vet vi at den konjugerte til en kompleks rot også er en rot. Det betyr at i tillegg til de to røttene i oppgaveteksten, har vi røttene i og i. Dermed er (hvis vi antar at ledende

5 koeffisient er ): P (z) (z i)(z ( i))(z ( + i))(z ( i)) z z + 6z 8z + 8. ( poeng) Grenseverdien + 0 Riktig svar: b) Begrunnelse: Vi ganger med den konjugerte oppe og nede: + ( + ) + + ) ( + + ) ( + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) { e hvis < 0. ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f() + hvis 0. Er (i) f kontinuerlig i 0? (ii) f deriverbar i 0? Både (i) og (ii) Ingen av delene (i), men ikke (ii) (ii), men ikke (i) Gir ikke mening siden 0 er bruddpunktet Riktig svar: c) (i), men ikke (ii). Begrunnelse: Funksjonen er kontinuerlig fordi 0 f() 0 e f(0) og 0 + f() 0 +( + ) f(0). Den er ikke deriverbar fordi 0 f() f(0) (+) 0 e mens 0 + f() f(0). Følgelig eksisterer ikke f (0) 0 f() f(0) ( poeng) Når, har funksjonen f() e asymptoten: y + Den har ingen asymptote y y y 0 5

6 Riktig svar: a) y + Begrunnelse: Vi regner først ut: f() e e Dette betyr at hvis f har en asymptote y a + b, så er a. For å finne en eventuell b, regner vi ut: (f() a) (e e ) ) e ( e Altså er asymptoten y ( poeng) Integralet e +e d e arctan e + C ln( + e ) + C e ln( + e ) + C e + e + C arctan e + C Riktig svar: e) arctan e + C Begrunnelse: Bruker vi kjerneregelen på arctan e, får vi Alternativt kan vi sette u e i integralet vi får: e + e d e. +e e +(e ) e d. Da er du e +e d, og + u du arctan u + C arctan e + C 7. ( poeng) cos 75 er lik (75 er det samme som 5π radianer): Riktig svar: e) Begrunnelse: Siden , fremkommer et argument på 75 når vi ganger sammen et komplekst tall med argument 0 og et med argument 5. Siden z + i har argument 0 og modulus, og w +i har 6

7 argument 5, vil zw ha argument 75 og modulus. Det betyr at realdelen til zw er lik cos 75. Siden zw ( + i )( + i ) + i er cos ( poeng) Du skal bruke definisjonen av kontinuitet til å vise at funksjonen gitt ved f() 7 er kontinuerlig i a. Gitt ɛ > 0, hvor liten må du velge δ for at f() f() < ɛ når < δ? Mindre enn min{ ɛ, } Mindre enn ɛ Mindre enn min{ ɛ, } Mindre enn ɛ 7 Mindre enn ɛ Riktig svar: d) Mindre enn ɛ 7 Begrunnelse: Sett h. Da er + h og f() f() (7 ) (7 ) 7 ( + h) 7 h Skal vi få denne størrelsen mindre enn ɛ, må vi ha h mindre enn ɛ 7. Vi velger derfor δ ɛ ( poeng) Den deriverbare funksjonen f : R R skjærer linjen y a + b tre steder. Da vet vi at: Det finnes nøyaktig ett punkt der f() b f har et maksimums- og et minimumspunkt Det finnes minst to punkter der f () a Det finnes et punkt der f() a Det finnes nøyaktig ett punkt der f () a Riktig svar: c) Det finnes minst to punkter der f () a. Begrunnelse: La,, være (-koordinatene til) de tre punktene der grafen skjærer linjen. Sekanten fra (, f( )) til (, f( )) har stigningstall a (siden begge punktene ligger på linjen y a+b), og ifølge middelverdisetningen finnes det et punkt c mellom og der f (c) a. På samme måte ser vi at det må finnes et punkt d mellom og der f (d) a. Altså finnes det minst to punkter der f () a (det kan godt være flere enn to). 0. ( poeng) En radar er plassert meter over en vannrett vei. I et bestemt øyeblikk er avstanden fra radaren til en bil på bakken 50 meter og avtar med en fart på m/s. Hvor fort kjører bilen? (Du kan få bruk for at 0 8.) m/s.5m/s 7

8 .0m/s 5m/s 7.5m/s Riktig svar: d) 5m/s Begrunnelse: La avstanden fra radaren til bilen på et (generelt) tidspunkt t være (t). Lag en rettvinklet trekant der (t) er hypotenusen, der avstanden på m fra radaren ned til bakken er den ene kateten, og der den andre kateten har lengde y(t). Da er (t) den kjente hastigheten (-m/s, der minusen skyldes at avstanden avtar) og y (t) den ukjente hastigheten. Pythagoras forteller oss at Deriverer vi dette uttrykket mhp. t, får vi: (t) y(t) + () (t) (t) y(t)y (t) + 0 Løser vi denne ligningen for den ukjente hastigheten y (t), ser vi at y (t) (t) (t) y(t) I det øyeblikket vi er interessert i, er (t) 50m og (t) m/s. I tillegg kan vi finne y(t) fra ligning () ovenfor. Vi får y(t) Dermed har vi y (t) (t) (t) y(t) 50m ( )m/s 8m 5m/s (y (t) er negativ siden avstanden y(t) avtar.) Farten til bilen er 5m/s. Slutt 8