Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
|
|
- Kristian Lars-Erik Hanssen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner, og er eksempler på mange av standardspørsmålenesom kan dukke opp på eksamensoppgaver. La f(x) = 1 x x2 2x + 1. a ) Regn ut f (x) og f (x). Avgjør om f er voksende eller avtagende for x = 2. c ) Avgjør om f krummer oppover (er konveks) eller nedover (er konkav) for x = 2. d ) Regn ut tangentlikningen for x = 2. e ) Lineariser f rundt arbeidspunktet x = 2, og finn tilnærmingsverdien til f(2.2) lineariseringa gir. f ) Finn de kritiske punktene, og avgjør om de gir (lokale) maksmum eller minimum. g ) La nå definisjonsområdet til f kun være det lukkede intervallet 0 x 2. Finn global maks og min på dette området. Oppgave 2 Denne oppgaven viser et litt mer sammensatt eksempel på derivasjonsteknikk, og standardanvendelser. a ) Deriver funksjonen 4 x. Gi svaret med (kubikk)rottegn, uten rottegn i nevneren. Deriver funksjonen g(x) = 4 2 x 2. c ) Er g voksende eller avtagende for x = 1? d ) Lineariser g(x) rundt x = 1, og bruk resultatet til å finne en tilnærmingsverdi for g(0.9). e ) Funksjonen f er definert på det lukkede intervallet 0 x 2 ved f ) f(x) = x 4 2 x 2. Deriver f(x). Finn og klassifiser (de globale) ekstremalverdiene til f på definisjonsområdet. Oppgave L Hopitals regel. Regn ut grensene a ) e 2x 2x 1 lim b) lim x 0 x 2 x 0 + x e1/x
2 Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Oppgave 4 Partielle deriverte Regn ut de partielle deriverte dz/ x og dz/ y: a ) z = x y + xy + x y b) z = 2x y 2x + y c ) z = x 2 + y 2 d) z = xe 2x+y Oppgave 5 Implisitt derivasjon- grunnleggende. I eksemplene er y = f(x) definert implisitt ved de angitte likningene. Regn ut y (x) (på implisitt form) generelt, og spesielt i punktet med de angitte koordinatene: a ) xy = 6, (x, y) = (2, ). y 2 = x, (x, y) = (9, ). c ) e y = x, (x, y) = (1, 0). Oppgave 6 Implisitt derivasjon- standardoppgave". En kurve er gitt ved likningen x + y xy = 7, og går gjennom punktet med koordinater (x, y) = (2, 1). I nærheten av dette punktet kan kurven betraktes som grafen til en funksjon y(x). a ) Regn ut dy/dx i dette punktet. Finn likningen for tangenten til kurven i dette punktet , Hans Petter Hornæs
3 Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. Fasit, Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 a ) f (x) = x 2 + x 2 og f (x) = 2x + 1. f (2) = = 4 > 0, så f er voksende for x = 2. c ) f (2) = = 5 > 0, så f er konveks (krummer oppover) for x = 2. d ) Tangentlikningen er y = f(a) + f (a)(x a), her med a = 2. f(2) = = = 1. Of f (2) = 4, regnet ut i b-oppgaven, så tangentlikningen er y = (x 2) e ) som også kan regnes sammen til y = 1 + 4x 8 y = 4x 7. Linearisering er essensielt samme formel som tangent, bortsett fra at vi gjerne skriver P (x) istedenfor y på venstresiden: P (x) = (x 2) En bruk av linearisering er at f(x) P (x) nær a. I følge oppgaveteksten skal vi betrakt 2.2 som nær a = 2: f(2) P (2) = (2.2 2) = = 1.8 (Oppgaveteksten krever denne løsningen, men vi kunne selvsagt lett regnet ut at f(2.2) = direkte med kalkulator). f ) Kritiske punkter er punktene på grafen med x verdier slik at f (x) = 0: (Eller der f ikke eksisterer, eller endepunkter, men det finnes ingen slike her) x 2 + x 2 = 0 x Her er andrederiverttesten hensiktsmessig: { 1 ± } ( 2) = { 2, 1} 2 1 f ( 2) = 2 ( 2) + 1 = < 0. Når f (x) = 0 og f (x) < 0 har vi et lokalt maksimum. g ) f (1) = = > 0. Når f (x) = 0 og f (x) > 0 har vi et lokalt minimum. Når definisjonsområdet er et lukket intervall og f er kontinuerlig, finnes alltid global maks og min. Disse finnes blant de kritiske punktene: Endepunkter Der f (x) = 0 Der f (x) ikke eksisterer. Vi har to endepunkter, x = 0 og x = 2. Dessuten et punkt der f (x) = 0, nemlig x = 1 (fra forrige deloppgave, x = 2 er ikke i definisjonsområdet). Det er ingen steder f (x) ikke eksisterer, så dette er alle kandidatene. Vi kan finne den største og minste ved å regne ut funksjonsverdiene:
4 Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, f(0) = 1. f(1) = = = f(2) = 1. Vi ser at 5 6 er minst og 1 er størst av disse funksjonsverdiene. Det vil si: ( Minimumspunkt 1, 5 ). Maksimumspunkt (2, 1). 6 Oppgave 2 a ) Skriver om fjerderoten til brøkpotens, 4 x = x 1/4, som kan deriveres med potensregelen (x r ) = rx r 1 : d dx x1/4 = 1 4 x = 1 4 x /4 = 1 4x /4 Vi kan få bort brøkpotensen i nevneren ved å multiplisere teller og nevner med x 1/4 : = 1 x1/4 x1/4 4 x 4x /4 = x1/4 4x /4+1/4 = 4x Kjerneregelen med ytre funksjon g(u) = 4 u. Ved å bytte ut x med u i a-oppgven har denne 4 u derivert (med hensyn på u) g (u) = 4u. Kjernen er u = 2 x 2, med derivert 2x. Kjerneregelen gir da g (x) = g (u) u (x) = 4 u 4u ( 2x) = x 4 2 x 2 2 (2 x 2 ) c ) Siden g (1) < 0, er g avtagende for x = 1. g (1) = (2 1 2 ) = 1 2. d ) Linariseringsformelen: P (x) = g(a) + g (a)(x a) med a = 1. g(1) = = 4 1 = 1, og g (1) = 1/2, som vi fant i forrige deloppgave. P (x) = 1 1 (x 1) 2 g(0, 90) P (0.90) = (0.90 1) = 1 1 ( 0.10) = e ) Kalkulator gir mer nøyaktig = Produktregelen (fg) = f g + fg, med f = x, slik at f = 1 og g = 4 2 x 2 med derivert x 4 2 x 2 2 (2 x 2 (fra b-oppgaven): ) f (x) = x 2 + x x 4 2 x 2 2 (2 x 2 ) = 4 2 x 2 x2 4 2 x 2 2 (2 x 2 )
5 Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Dette bør skrives på felles brøkstrek (i hvert fall må det gjøres i neste spørsmål for å kunne løse likningen): 4 2 x f 2 2(2 x 2 ) 4 (x) = 1 2(2 x 2 ) x2 2 x (2 x 2 ) = x2 (4 2x 2 ) 4 2 x2 x 2 2 (2 x 2 ) I telleren settes rottuttrykket utenfor som en felles faktor: 4 ( 2 x 2 4 2x 2 x 2) 4 ( 2 x 2 4 x 2) = 4 (2 x 2 = ) 4 (2 x 2 ) f ) Endepunkter Der f (x) = 0 Der f (x) ikke eksisterer. Endepunktene: f(0) = = 0 og f( 2) = = 0. f (x) = 0: 4 ( 2 x 2 4 x 2) 4 (2 x 2 = 0 ) En brøk er 0 hvis og bare hvis telleren er det (forutsatt at ikke nevneren samtidig er 0), så vi forenkler til ( 4 2 x 2 4 x 2) = 0 Et produkt er 0 når en av faktorene er det. Siste faktor: 4 x 2 = 0 4 = x 2 x 2 = 4 x = 4/ = 2 / (Roten 2 / er ikke i definisjonsområdet.) I dette punktet er funksjonsverdien f(2 /) = 2 (2 ) = = Dert kan forenkles litt ved å observere at ( 4 ) 2 =, slik at = 4 4, og en av disse faktorene i telleren kan forkortes med 4 i nevneren: = = = = 6 Faktoren 4 2 x 2 = 0 for 2 x 2 = 0, dvs x = 2. Dette er ingen løsning av likningen, da nevneren også er 0 for x = 2. Den deriverte eksisterer ikke i dette punktet, så det er likevel et kritisk punkt. Den er imidlertid allerede tatt seg av ved at det også er et endepunkt. Vi har altså kritiske punkter, og ser at endepunkten med funksjonsverdi 0 er minst av disse (det er altså to minimumspunkter), mens 2 / gir størst funksjonsverdi. Det vil si ( ) Maksimumspunkt 2, Minimumspunkter: (0, 0) og ( 2, 0) Med desimaltall (regnet ut i Maple) er maksimumspunktet forøvrig (1.155, 1.04).
6 Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Oppgave a ) Prøver med innsetting av x = 0: e = = ( ) 0 0 For null over nullutrykk kan vi prøve L hopitals regel, der teller og nevner deriveres hver for seg. Pass på kjerneregelen med kjerne u = 2x når e 2x deriveres. e 2x ( ) 2x 1 0 L lim x 0 x 2 = Hopital 2e 2x 2 = lim 0 x 0 2x Ved innsetting får vi fortsatt null over null, men vi kan prøve L Hopital en gang til, så virker innsetting: 2e 2x ( ) 2 0 L lim = Hopital 4e 2x = lim = 4e0 x 0 2x 0 x = 4 2 = 2 x 0 + betyr at x går mot 0 ovenfra, slik at x > 0 og dermed 1/x > 0. Det vil si at 1/x og dermed e 1/x. Ved innsetting får vi da et 0 -uttrykk, som er et ubestemt utrykk. Det finnes ingen L Hopital for produkter, men vi kan skrive det om til en kvotient ved å skrive x som 1 1/x, og dermed xe1/x som e1/x 1/x. Dermed vil også nevneren 1/x, og vi får et ( ) -uttrykk, der L Hopital kan brukes. I derivasjonen ingår (1/x) = (x 1 ) = x 2 = 1/x 2 både i nevnerern og i kjernen (eksponenten) i telleren: lim x 0 + x e 1/x ( ) e1/x = lim x 0 + 1/x = L Hopital = lim x x 2 e 1/x 1 x 2 Direkte innsetting går ikke, men ved å forkorte med 1/x 2 som er felles faktor får vi = lim x 0 + e1/x = (Det varierer med situasjonen om vi velger å si grensen er uendelig, eller at den ikke eksisterer.) a ) Derivasjonsteknikken når vi partiellderiverer med hensyn på x er å behandle y som en konstant. Det vil si at i ledd der det er faktorer som ikke inneholder x, men kan inneholde y, kan disse settes utenfor derivasjonene. Og at ledd som ikke inneholder x, deriveres til 0, som er den deriverte av en konstant: x ( x y + xy + x y ) = x 2 0 y 1 0 = x 2 y I partiell derivasjon med hensyn på y er det x som behandles som en konstant: ( x y + xy + x y ) = 0 y 2 + x 1 1 = y 2 + x 1 y Også de andre regnereglene, som for eksempel kvotientregelen, gjelder for partielle deriverte: ( ) 2x y 2 (2x + y) (2x y) 2 12y = x 2x + y (2x + y) 2 = (2x + y) 2 y ( ) 2x y (2x + y) (2x y) = 2x + y (2x + y) 2 = 12x (2x + y) 2
7 Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, c ) Kjenreregelen. Den ytre funskjonen er u, som deriveres som en envariabel funksjon til 1/2 u. Kjernen er u = x 2 + y 2, som må partiellderiveres: ( ) x x 2 + y 2 = 1 2 u 2x = x x 2 + y 2 ( ) x y 2 + y 2 = 1 2 u 2y = y x 2 + y 2 d ) Med partiell derivasjon med hensyn på x blir det både en produktregel og en kjerneregel på siste fajktor. Ytre funksjon er e u med derivert e u, mens kjernen u = 2x + y må partiellderiveres: ( xe 2x+y ) = 1 e 2x+y + x e u 2 = e 2x+y + x 2 e 2x+y = (1 + 2x) e 2x+y x Partiell derivasjon med henyn på y er en anelse enklere, da faktoren x bare går utenfor som en konstant. Kjerneregelen på eksponentialfaktoren: Oppgave 5 ( xe 2x+y ) = x e u = x e 2x+y y Implisitt derivasjon- grunnleggende. I eksemplene er y = f(x) definert implisitt ved de angitte likningene. Regn ut y (x) (på implisitt form) generelt, og spesielt i punktet med de angitte koordinatene: a ) Vi må betrakte dette som et produkt (produktregelen), der f = x og g = y. Den deriverte av y kalles y. OBS: Den er ikke 1 (eller 0) som i partiell derivasjon, som er noe annet. Nå er y = y(x) avhengig av x. Begge sider av likningen skal deriveres: 1 y + x y = 0 y + xy = 0 Denne kan så løses ut med hensyn på y: y + xy = 0 xy = y y = y x Innsetting av x = 2 og y = gir y = 2. Siden y er en funksjon av x, må vi bruke kjerneregelen, med y som kjerne: 2yy = 1 y = 1 2y så y (9) = 1 2 = 1 6 c ) Kjerneregelen med y som kjerne: e y y = 1 y = 1 e y så y (1) = 1 e 0 = 1
8 Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Oppgave 6 a ) Implisitt derivasjon. Kjerneregelen på y -leddet og produktregelen på xy-leddet: x 2 + y 2 y y xy = 0 Når vi nå bare er ute etter den deriverte i ett punkt, er det ikke nødvendig å isolere y på venstresiden først. Det kan være enklere å sette inn x = 2 og y = 1 først, og så deretter løse med hensyn på y : y 1 2y = 0 y 2y = 0 y + 11 = 0 y = 11 I tangentlikningen y = f(a) + f (a)(x a) er nå a = 2 (x-verdien i tangeringspunktet). f(a) = y(2) = 1, i følge oppgaveteksten. Og f (a) = y (2) = 11, som vi fant i a oppgaven: y = 1 11 (x 2) som også kan, men ikke må, skrives y = 11x + 2
Anvendelser av derivasjon.
Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 39 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
DetaljerEKSAMEN. Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Matematikk. EMNENUMMER: REA42/REA42F EKSAMENSDATO: Mandag 9. august 2 KLASSE: Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
DetaljerKap : Derivasjon 1.
Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap. 3.-3.4: Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/ing/allmennfag/emnesider/rea042
DetaljerFasit, Separable differensiallikninger.
Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. 3 Fasit, Separable differensiallikninger. a ) Denne er ferdig på formenf(y)y = g(x) medf(y) =3y 2 og g(x) =2x: 3y 2 dy dx =2x 3y2 dy
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
DetaljerFasit, Kap : Derivasjon 2.
Ukeoppgaver, uke 37, i Matematikk 10, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. 1 Fasit, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. Oppgave 1 a) f (x) =x. Denne eksisterer over alt (det er vanligvis punkter med null i nevner som kan skaffe
DetaljerEKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
DetaljerSeparable differensiallikninger.
Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden
DetaljerLøsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100
Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 00 Høsten 202 Oppgave : Riktig svaralternativ er C Vi får r = 2 2 +( 2 3) 2 = 4+4 3= 6 = 4. Videre ser vi (tegn figur) at argumentet til z vil være 60 mer enn 80, dvs.
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: 10 + 1 Løsningsforslag 1 Hvilken av de to funksjonene vist i guren er den deriverte
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
DetaljerDifflikninger med løsningsforslag.
Repetisjon i Matematikk : Difflikninger med løsningsforslag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Eksamensrepetisjon REA4 Matematikk Difflikninger med løsningsforslag. Difflikninger med løsningsforslag. Dette
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
DetaljerEKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk. FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: Mandag. august 2 SENSURFRIST:. september 2 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs og
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
Detaljerf =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard. består av 8 sider inklusiv denne forsiden og vedlagt formelsamling.
e. Høgskoleni Østfold ). EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1 matematikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 3. juni 2016 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling Faglærer: Hans Kristian
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerMatematikk R1 Forslag til besvarelse
Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her
DetaljerFunksjoner (kapittel 1)
Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 34 og 35 Funksjoner (kapittel ) Oppgave Figuren til øyre viser
DetaljerEKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
Detaljer3.1. Ensidige grenser FIGUR 3.2. cappelendamm.no. La oss studere funksjonen f(x) = x x + 2, Hvis vi nå spør hva funksjons-
3. Ensidige grenser La oss studere funksjonen f() =, Hvis vi nå spør hva funksjons- kr 8 6 5 5 5 335 gr FIGUR 3. 3 FIGUR 3. 3 3 3 5 3 FIGUR 3.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel
DetaljerHøgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,
Detaljera) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Mandag 12. oktober 2015 før forelesningen 12:30 Antall oppgaver: 7 + 3 Løsningsforslag 1 Deriver de følgende
DetaljerLøsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT
Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
Detaljery(x + y) xy(1) (x + y) 2 = x(x + y) xy(1) (x + y) 3
Løsning Øvingsoppgaver Funksjoner i ere variabler MET 1180 Matematikk April 017 Oppgave 1. (a) Vi har at f = 3 og f = +. Hessematrisen blir dermed 6 (b) Ved kvotientregelen har vi at f = f = og de andreordens
DetaljerInnlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln
DetaljerNotater nr 9: oppsummering for uke 45-46
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling).
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
DetaljerFaktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto
Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer
DetaljerEmnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven
DetaljerMatematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
DetaljerI løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Delvis integrasjon må brukes to ganger.
Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 45 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
Detaljery (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerOppgave 1. Oppgave 2
Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerKrasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
DetaljerOppsummering matematikkdel ECON 2200
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir
Detaljer(Noter at studenter som innser at problemet er symmetrisk for x og y og dermed
Oppgave a) f (x) = (3x 2)x og f (x) = 6x 2 b) g (y) = e 3y2 y og g (y) = e 3y2 (6y 2 + ) c) F x(x, y) = (x+y)y ln(x+y) xy (x+y)(ln(x+y)) 2 Det gir, etter en del regning: og F y(x, y) = (x+y)x ln(x+y) xy
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerLøsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:
DetaljerUbestemt integrasjon.
Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04
DetaljerFasit til obligatorisk oppgave i MAT 100A
3. november, 000 Fasit til obligatorisk oppgave i MAT 00A Oppgave a) Grensen er et 0 0-uttrykk, og vi bruker l Hôpitals regel: ln cos π (ln ) (cos π ) ( sin π ) π b) Vi må først skrive uttrykket på eksponentiell
DetaljerMAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
DetaljerOppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt".
Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt". Kapittel 1 Oppgave 1.1 a) (x 2 9x 12)(3 3x) =3x 2 27x 36 3x 3 +27x 2 +36x = 3x 3 +30x 2 +9x 36. b) (2x y) 2 +2(x+y)(x y)+(x+4y) 2 =4x 2 4xy+y
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 2.8.2 Vi merker oss først at funksjonen f er båe kontinuerlig og eriverbar på intervallet [1,2],
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 23.11.15 Eksamenstid: 4 timer, kl. 9.00-13.00 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling (4 siste sider
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematiske metoder 1. FAGNUMMER: JøG10 EKSAMENSDATO: 5. april 00. SENSURFRIST: 16. mai 00. KLASSE: HSIS 00-005. TID: kl. 8.00 1.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 0.1.018 Kl. 09:00 Innlevering: 0.1.018 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se
DetaljerKapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerIR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
Detaljern=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerMat503: Regneøving 3 - løsningsforslag
Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag Oppgave a) Oppgaven sier at Fredrik stoler på erfaringen sin med positive ele tall. Fredrik ar sannsynligvis sett at dersom an ar et elt tall k >, vil den oppgitte
DetaljerECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger
University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.017 Kl. 14:00 Innlevering: 18.1.017 Kl. 19:00 For mer informasjon om formalia,
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. Metode 1 (Deleksamen i matematikk)
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 02.12.2013 Eksamenstid: kl 0900 til kl 1300 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Faglærer: Hans Kristian
DetaljerOppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =
Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 0 y = 4 0 4 0 z 0 Deretter
DetaljerThe full and long title of the presentation
The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerDeriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.
Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerFasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015
Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =
Detaljer. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.
DetaljerØvelse, eksamensoppgaver MAT 1050 mars 2018
Øvelse, eksamensoppgaver MAT 5 mars 8 Oppgave. La f være funksjonen gitt ved f (x) = x 8 x, x a) Finn alle kritiske punkter for funksjonen f. f (x) = 8 x + x 8 x ( x) = (8 8 x x x ) = (4 8 x x ) = gir
DetaljerOppgave 1. e rt = 120e. = 240 e
Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 9 Løsningsforslag til eksamen i fag MA111/MA611 Grunnkurs i analyse I Høst 2 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved
DetaljerLineære differensiallikninger.
Ukeoppgaver, uke 47, i Matematikk 0, Lineære differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 47 Lineære differensiallikninger. Oppgave
Detaljerx 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3
Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 11803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09:00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave 1 Finn
Detaljer