The full and long title of the presentation

Transkript

1 The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4

2 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen Oppgaveregning Ø. Søvik Short title Mai / 4

3 For forståelsen: 2 Matte 2: Oppgaveløsning på video. 3 Lag en frekvenstabell over tidligere gitte eksamensoppgaver Ø. Søvik Short title Mai / 4

4 Kontinuerlig Deriverbar Derivasjon Gradient Tangent Max-Min Dobbeltintegral Trippelintegral Linjeintegral Konservativt Greens Gauss Stokes Ø. Søvik Short title Mai / 4

5 Kontinuitet og Grenseverdier Example Bestem om funksjonen yx 3 når (x, y) 0 f (x, y) := 3y 2 +x 6 0 når (x, y) = 0 er kontinuerlig. Siden 3y 2 + x 6 0 så er yx 3 /(3y 2 + x 6 ) er kontinuerlig når (x, y) 0, og 0 er kontinuerlig. Må derfor sjekke skjøtepunktet (0, 0). Ø. Søvik Short title Mai / 4

6 Example Bestem om funksjonen yx 3 når (x, y) 0 f (x, y) := 3y 2 +x 6 0 når (x, y) = 0 er kontinuerlig. Fremmgangsmåte: Tester om det finnes en sti y = ax slik at ikke blir null når x 0. f (x, ax) = ax 4 x 6 + 3a 2 x 2 = ax 2 x 4 + 3a 2 Ø. Søvik Short title Mai / 4

7 Example Bestem om funksjonen yx 3 når (x, y) 0 f (x, y) := 3y 2 +x 6 0 når (x, y) = 0 er kontinuerlig. Fremmgangsmåte: Tester om det finnes en sti y = ax slik at f (x, ax) = ax 4 x 6 + 3a 2 x 2 = ax 2 x 4 + 3a 2 ikke blir null når x 0. Nei, uttrykket går mot null for alle valg av a. Ø. Søvik Short title Mai / 4

8 Example Bestem om funksjonen yx 3 når (x, y) 0 f (x, y) := 3y 2 +x 6 0 når (x, y) = 0 er kontinuerlig. Er den deriverbar? Fremmgangsmåte: Tester om det finnes en sti y = x b slik at ikke blir null når x 0. f (x, x b ) = x b+3 3x 2b + x 6 = 3x b 3 + x 3 b Ø. Søvik Short title Mai / 4

9 Example Bestem om funksjonen yx 3 når (x, y) 0 f (x, y) := 3y 2 +x 6 0 når (x, y) = 0 er kontinuerlig. Er den deriverbar? Fremmgangsmåte: Tester om det finnes en sti y = x b slik at f (x, x b ) = x b+3 3x 2b + x 6 = 3x b 3 + x 3 b ikke blir null når x 0. Ja! Velg b = 3 da er f (x, x 3 ) = /4. Funksjonen er dermed ikke kontinuerlig, følgelig er den heller ikke deriverbar. Ø. Søvik Short title Mai / 4

10 Example (Kont Oppgave 3) Vis at lim (x,y) (0,0) xy x 2 + y 2 = 0 Fremmgangsmåte: Dersom grensen inneholder x 2 + y 2 bytt alltid til polarkoordinater. Med andre ord studer f (r cos θ, r sin θ) når r 0. f (r cos θ, r sin θ) = r 2 cos θ sin θ r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = r cos θ sin θ Slik at for alle 0 θ < 2π så vil f (r cos θ, r sin θ) 0 når r 0. Ø. Søvik Short title Mai / 4

11 Example (Kont Oppgave 2) Gitt z = f (x, y) der f er en deriverbar funksjon, x = u 2 v 2 og y = v 2 u 2. Vis at u z v + v z u = 0 Så z(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)). Bruker kjerneregelen og produktregelen Dermed så har vi [ u z ] [ + v z ] v u z u = z x x u + z y y u = z v = z x x v + z y y v = [ 2uv z x z 2u x = 2v z x ] [ z + 2uv + 2uv z y x z 2u y z + 2v y ] z 2uv = 0 y Ø. Søvik Short title Mai / 4

12 Example (Matte 2: H0, 4b) La f (x, y) = x 3 + y 3 3xy. Skriv opp likningen for tangentplanet til grafen til funksjonen z = f (x, y) i punktet (2, 2, 4). Finne normalvektor ved hjelp av gradienten til g(x, y, z) = f (x, y) z. 2 Bruke den generell ligningen for et plan Ø. Søvik Short title Mai / 4

13 Example (Matte 2: H0, 4b) La f (x, y) = x 3 + y 3 3xy. Skriv opp likningen for tangentplanet til grafen til funksjonen z = f (x, y) i punktet (2, 2, 4). Finne normalvektor ved hjelp av gradienten til g(x, y, z) = f (x, y) z. 2 Bruke den generell ligningen for et plan Gradienten er gitt som g(x, y, z) = ( g x, g y, g ) = (3x 2 3y, 3y 2 3x, ) z Siden gradienten peker i samme retning som normalvektoren, kan vi sette n = g(2, 2, 4) = (6, 6, ). Ø. Søvik Short title Mai / 4

14 Example (Matte 2: H0, 4b) La f (x, y) = x 3 + y 3 3xy. Skriv opp likningen for tangentplanet til grafen til funksjonen z = f (x, y) i punktet (2, 2, 4). Finne normalvektor ved hjelp av gradienten til g(x, y, z) = f (x, y) z. 2 Bruke den generell ligningen for et plan Gradienten er gitt som g(x, y, z) = ( g x, g y, g ) = (3x 2 3y, 3y 2 3x, ) z Siden gradienten peker i samme retning som normalvektoren, kan vi sette n = g(2, 2, 4) = (6, 6, ). Den generelle likningen for et plan er n ( r r 0 ) = 0 Hvor r = (x, y, z) og r 0 = (2, 2, 4). Innsetning gir 0 = (6, 6, )((x 2, y 2, z 4) z = 6x + 6y 20 Ø. Søvik Short title Mai / 4

15 Lagranges metode og ekstremalverdier Example (V206 - Oppgave 3a) Finn og klassifiser alle kritiske punkter av f (x, y) = 2x 2 + 4xy + y 4. Må finne ut når både f / x = 4x + 4y = 0 og f / y = 4y 3 + 4x = 0. Siden f / x = 4x + 4y så må x = y. Innsatt får vi da 4y 3 + 4( y) = 0 4y(y 2 ) y = 0 y = ± Dermed så er de kritiske punktene (0, 0), (, ) eller (, ). Dobbelderiverttesten f H(x, y) = xx f xy = y 2 = 6(3y 2 ) f yx f yy (0, 0) Saddelpunkt siden H(0, 0) = 6 < 0. (, ) Lokalt minimumspunkt siden f xx > 0 og H(, ) = 32 > 0. (, ) Lokalt minimumspunkt siden f xx > 0 og H(, ) = 32 > 0. Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4

16 Linjeintegral og konservative felt Vi sier at vektorfeltet F er konservativt dersom det finnes en funksjon ϕ slik at ϕ = F. Dersom F (x, y) = (F, F 2 ) så holder følgende implikasjon ϕf F y = F 2 x Den motstte implikasjonen holder bare hvis F har kontinuerlige partielderiverte. Ofte enklere å finne potensialfunksjonen enn å vise at F har kontinuerlige partiellderiverte. Det tilsvarende stemmer også for F(x, y, z) = (F, F 2, F 3 ). Theorem Anta at C er en parametriserbar kurve som begynner i A og ender i A. Dersom F = ϕ, altså at F er konservative, da har vi ˆ F ds = ϕ(b) ϕ(a) C Ø. Søvik Short title Mai / 4

17 Example La F være et vektorfelt i R 3 gitt ved F(x, y, z) = (yz, xz, xy). Finn ˆ F ds C Når C er kurven med parametrisering C(t) = (cos t, sin t, t), 0 t π/4. Orker ikke sjekke om CurlF = 0, så bare antar at det stemmer. Trenger bare finne potensialfunksjonen ϕ = F for at F skal være konservativt. ϕ x = yz ϕ = xyz + C (y, z) ϕ y = xz ϕ = xyz + C 2(x, x) ϕ z = xy ϕ = xyz + C 3(x, y) Ser at dersom C = C 2 = C 2 = 0 så er uttrykkene like slik at ϕ(x, y, z) = xyz. Ø. Søvik Short title Mai / 4

18 Example La F være et vektorfelt i R 3 gitt ved F(x, y, z) = (yz, xz, xy). Finn ˆ F ds C Når C er kurven med parametrisering C(t) = (cos t, sin t, t), 0 t π/4. Vet at ϕ(x, y, z) = xyz. Start A = (cos 0, sin 0, 0) = (, 0, 0), Slutt B = (cos pi/4, sin π/4, π/4) = (/ 2, / 2, π/4). Så ˆ F ds = ϕ(b) ϕ(a) = ϕ(/ 2, / 2, π/4) ϕ(, 0, 0) C = π = π 8 Ø. Søvik Short title Mai / 4

19 Trigonometri: odde funksjoner 2 cos x sin x π 2 π 3π 2 2π 2 Theorem ˆ π 0 cos xdx = ˆ 2π 0 cos xdx = ˆ 2π 0 sin xdx = 0 Ø. Søvik Short title Mai / 4

20 2 (cos x) 3 (sin x) 3 π 2 π 3π 2 2π 2 Theorem Å integrere odde potenser av cos x over intervaler som er multiplum av π er null. Tilsvarende å integrere odde potenser av sin x over perioder på 2π er null. Med andre ord: ˆ nπ mπ (cos x) 2k dx = ˆ 2πn 2πm (cos x) 2k dx = ˆ 2πn 2πm (sin x) 2k dx = 0, for alle n, m Z = {...,, 0,,...}, og k N = {, 2, 3,...}. Ø. Søvik Short title Mai / 4

21 Trigonometri: like funksjoner 2 (cos x) 2 (sin x) 2 π 2 π 3π 2 2π 2 Theorem Det å integrere (cos x) 2 eller (sin x) 2 over intervaler som er multiplum av π/2 er det samme som å integrere /2 over samme intervalet: ˆ nπ/2 mπ/2 (sin x) 2 dx = ˆ nπ/2 mπ/2 (cos x) 2 dx = 2 ˆ nπ/2 mπ/2 dx m, n Z Ø. Søvik Short title Mai / 4

22 2 (cos x) 2 (sin x) 2 π 2 π 3π 2 2π 2 Example 2 ˆ π/2 0 (sin x) 2 dx = = = ˆ π/2 0 ˆ π/2 0 ˆ π/2 0 (sin x) 2 dx + (cos x) 2 dx + ˆ π/2 0 ˆ π/2 (cos x) 2 + (sin x) 2 dx = 0 (sin x) 2 dx (sin x) 2 dx ˆ π/2 0 dx Ø. Søvik Short title Mai / 4

23 2 (cos x) 3 ( ) 3 (cos x) π 2 π 3π 2 2π 2 Theorem For alle heltall k = 2, 3,..., og m, n Z så holder ˆ nπ/2 mπ/2 ˆ nπ/2 mπ/2 (cos x) k dx = (sin x) k dx = ( ) ˆ nπ/2 (cos x) k 2 dx k mπ/2 ( ) ˆ nπ/2 (sin x) k 2 dx k mπ/2 Ø. Søvik Short title Mai / 4

24 y D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 } x Example Evaluate D (x + 3)dA. Solution Vi vet at a a xdx = 0 siden x er en odde funksjon, så følger (x + 3)dA = 3 da = 3π. D Mer detaljert D xda = = D ˆ ˆ x 2 ˆ [ ] x 2 x 2 x 2 xdydx dx = 0. 2 x 2 Ø. Søvik Short title Mai / 4

25 y Example Evaluate I = R (xy + z2 )dv, over the set 0 z x y and z 0. R = {(x, y) R 2 : x + y } x Solution Vi vet at a a xdx siden x er en odde funksjon, så følger R xydv = 0. Så I = z 2 dv = 4 R ˆ x=? ˆ y=? ˆ z=? x=? y=? z=? z 2 d(z, y, x) Ø. Søvik Short title Mai / 4

26 y Example Evaluate I = R (xy + z2 )dv, over the set 0 z x y and z 0. R = {(x, y) R 2 : x + y } x Solution Vi vet at a a xdx siden x er en odde funksjon, så følger R xydv = 0. Så I = z 2 dv = 4 R ˆ x=? ˆ y=? ˆ z=? x=? y=? z=? z 2 d(z, y, x) Ø. Søvik Short title Mai / 4

27 y Example Evaluate I = R (xy + z2 )dv, over the set 0 z x y and z 0. R = {(x, y) R 2 : x + y } x Solution Vi vet at a a xdx siden x er en odde funksjon, så følger R xydv = 0. Så I = z 2 dv = 4 R ˆ x= ˆ y=? ˆ z=? x=0 y=? z=? z 2 d(z, y, x) Ø. Søvik Short title Mai / 4

28 y Example Evaluate I = R (xy + z2 )dv, over the set 0 z x y and z 0. R = {(x, y) R 2 : x + y } x Solution Vi vet at a a xdx siden x er en odde funksjon, så følger R xydv = 0. Så I = z 2 dv = 4 R ˆ ˆ y= x ˆ z=? 0 y=0 z=? z 2 d(z, y, x) Ø. Søvik Short title Mai / 4

29 y Example Evaluate I = R (xy + z2 )dv, over the set 0 z x y and z 0. R = {(x, y) R 2 : x + y } x Solution Vi vet at a a xdx siden x er en odde funksjon, så følger R xydv = 0. Så I = z 2 dv = 4 = 60 R ˆ ˆ x ˆ z= x y 0 0 z=0 z 2 d(z, y, x) Ø. Søvik Short title Mai / 4

30 Greens Teorem Example (K6 - Oppgave 6) a) La F(x, y) = (0, x). Hva er verdien av integralet ˆ F ds når C er en sirkel med radius a > 0? C Metode: Vi parametriserer C med r(θ) = (x 0 + a cos θ, y 0 + a sin θ). Da er r (t) = ( a sin θ, a cos θ), hvor 0 θ < 2π. Linjeintegralet blir dermed ˆ ˆ 2π F ds = F ( r(t) ) r (t)dt C = = 0 ˆ 2π 0 ˆ 2π 0 (0, x 0 + a cos θ) ( a sin θ, a cos θ)dθ ax 0 cos θ + a 2 cos 2 θ dθ = 0 + a 2 ˆ 2π 0 dθ = πa2 2 Ø. Søvik Short title Mai / 4

31 Metode 2: Siden C er en (stykkevis) glatt, sammenhengende og lukket kurve kan vi bruke Greens Teorem til å beregne integralet. Vi lar D a = {(x, y R 2 : x 2 + y 2 a 2 } betegne området med rand C. Så, Ø. Søvik Short title Mai / 4

32 Metode 2: Siden C er en (stykkevis) glatt, sammenhengende og lukket kurve kan vi bruke Greens Teorem til å beregne integralet. Vi lar D a = {(x, y R 2 : x 2 + y 2 a 2 } betegne området med rand C. Så, ˆ F 2 F ds = C D a x F d(x, y) y = 0d(x, y) = πa 2 D a Siden området av en sirkel med radius a er πa 2. Ø. Søvik Short title Mai / 4

33 Example (K6 - Oppgave 6) b) Bruk Green s teorem og et passende vektorfelt F til å beregne arealet av den elliptisk skiven begrenset av kurven C som er parametrisert ved c(t) = (3 cos θ + 3 sin θ, 2 cos θ 2 cos θ), 0 t 2π Ø. Søvik Short title Mai / 4

34 Her bruker vi Greens Teorem andre veien, altså vi bruker et linjeintegral til å beregne et vanskelig dobbeltintegral. Greens sier ˆ F 2 F ds = x F d(x, y) y D Området vi ønsker å beregne arealet av er gitt som d(x, y) Hvor D er området med rand c(t). Trenger å finne F(x, y) slik at D D F 2 x F y =. Steg: Anta F = 0, da er F 2 / x = så F 2 = x. Anta F 2 = 0 da er F / y = 0 slik at F 2 = y og F(x, y) = ( y, 0). Anta F = y/2. Da er F 2 / x = /2 slik at F 2 = x/2 og F(x, y) = ( y/2, x/2). Ø. Søvik Short title Mai / 4

35 c(t) = (3 cos θ + 3 sin θ, 2 sin θ 2 cos θ), c (t) = ( 3 sin θ + 3 cos θ, 2 cos θ + 2 sin θ) 0 t 2π Velger F(x, y) = ( y/2, x/2). Slik at ˆ d(x, y) = F ds D = = C ˆ 2π 0 ˆ 2π 0 (cos θ sin θ, 3 2 sin θ + 3 cos θ) 2 ( 3 sin θ + 3 cos θ, 2 cos θ + 2 sin θ) dθ 6 sin 2 (θ) + 6 cos 2 (θ)dθ = 2π Ø. Søvik Short title Mai / 4

36 Example Halvkulen T er bestemt av x 2 + y 2 + z 2 z 0 () Vi lar S betegne den krumme delen av overflaten til T. Vektorfeltet F er gitt ved F(x, y, z) = (x(z + z 2 ), yz 2 + xe y, xze y + ) Bestem fluksintegralet S F ˆN ds der ˆN er enhetsnormalen med positiv z-komponent. Ø. Søvik Short title Mai / 4

37 Siden vektorfeltet er stygt, kan det være lurt å bruke divergensteoremet. F ˆNdS = divfdv S der ˆN peker ut av D! Merk at S den krumme delen av overflaten til T ikke er lukket. Plan: Regne ut div F 2 Bruke divergenstoeremet på hele overflaten til T 3 Finne fluksen på S. D Ø. Søvik Short title Mai / 4

38 Regne ut div F Siden F(x, y, z) = (x(z + z 2 ), yz 2 + xe y, xze y + ) så blir Divergensen: div F = F = x (x(z + z2 ) + y ( yz2 + xe y ) + z (xzey + ) = (z + z 2 ) + ( = z Ø. Søvik Short title Mai / 4

39 Regne ut div F Siden F(x, y, z) = (x(z + z 2 ), yz 2 + xe y, xze y + ) så blir divergensen: div F = F = x (x(z + z2 ) + y ( yz2 + xe y ) + z (xzey + )+ = (z + z 2 ) + ( = z Ø. Søvik Short title Mai / 4

40 Bruke divergenstoeremet på hele overflaten til T Lager en lukket flate D som består av S og bunnen B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2, z = 0} Flaten er nå lukket og vi kan anvende divergensteoremet på D F ˆN ds = div FdV = z dv = π 4 D T T Ø. Søvik Short title Mai / 4

41 Viser den lukkede flaten D Ø. Søvik Short title Mai / 4.2 z y x

42 .2 z.2 z.2 z y 0.5 x y 0.5 x y 0.5 x D F ˆNdS = S F ˆNdS + B F ˆNdS Ø. Søvik Short title Mai / 4

43 .2 z.2 z.2 z y 0.5 x y 0.5 x y 0.5 x T div FdV = S F ˆNdS + B F ˆNdS Ø. Søvik Short title Mai / 4

44 .2 z.2 z.2 z y 0.5 x y 0.5 x y 0.5 x S F ˆNdS = T div FdV + B F ˆNdS Ø. Søvik Short title Mai / 4

45 Beregner overflateitnegralet ut av bunnen. Siden normalvektoren må peke ut av flaten får vi ˆN = (0, 0, ) Så F ˆNdS = F (0, 0 )ds = x z e y + ds B B B Ø. Søvik Short title Mai / 4

46 Beregner overflateintegralet ut av bunnen. Siden normalvektoren må peke ut av flaten får vi ˆN = (0, 0, ) Så F ˆNdS = F (0, 0 )ds B B = x 0 e y + ds = ds = π B Siden z = 0 og B er en sirkel med radius. Oppsumert har vi altså F ˆNdS = div FdV F ˆNdS S T = π ( π) 4 B B = 5π 4 Ø. Søvik Short title Mai / 4