Løsning, funksjoner av flere variable.

Transkript

1 Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av x og y, feksvedåtenkeossetekstraledd x =x ++ 1 y =x +y, =+y +x 1=x +y Kjerneregelen med kjerne u = xy: = eu u = exy y = ye xy = xexy Kjerneregelen med u =x +3y u ( u = u 1/) 1 = u 1/ = 1 u : = 1 u = 1, x +3y = 1 u 3= 3 x +3y f ) Ytre funksjon 1/ u = u 1/ med derivert 1 u 3/ = 1 u : 3 = 1 u x = x, (x + y ) 3 = y (x + y ) 3 Oppgave =x ++ y z + yz = yz +x y z, =+y ++x +xz = xz +x +y, =+ z + x + xy = xy x 3z z Oppgave 3 f(1, 1) = = (x, y) =x 3y +3så (1, 1) = = Dermed er (x, y) = 3x +y så (1, 1) = = 3 f(1 + Δx, 1+Δy) =+Δx 3Δy + ɛ 1 (Δx, Δy)Δx + ɛ (Δx, Δy)Δy Oppgave a) =x, så (3, ) = 3=6 = y, så (3, ) = = Innsatt i formelen z = f(a, b)+ (a,b) (x a)+ (a,b) (y b) (lineariseringsformelen uten ɛ leddene) får vi tangentlikningen: z =3 +6(x 3) (y ) 6x y z =5 b ) Bruker kjerneregelen med ytre funksjon f(u) =e u med derivert f (u) =e u Kjernenu må partiellderives: = eu u = e3x y 3så (, 3) = 3e3 3 =3e =3 = eu u = e3x y ( ) så u (, 3) = e3 3 = e =

2 Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable Dermed er likningen for tangentplanet z = e (x ) (y 3) 3x y z = 1 Oppgave a) Vi har at f(16, ) = ( 16 + ) = ( + 1) =1 = 196 Kjerneregelen, og bruk av derivasjonsregelen u =1/( u), gir Tilsvarende (bare at x og y byttes) får vi Dermed er (16, ) = 1 + =( x + y ) 1 x =1+ y/x =1+ x/y 16 =1+1/ =35 og (16, ) = =1+/1 = 1 så lineariseringa er f(x, y) (x 16) + 1(y ) b) f(15, 99) (15 16) + 1(99 ) = = 1911 (Kalkulator gir 1917) Oppgave 6 a) =x +y +og =6y +x 1 b) Vi får det lineære likningssystemet x +y + = 6y +x 1 = x + y = x + 6y = 1 Som feks kan løses ved Gauss-Jordan eliminasjon, som jeg her gjør i detalj: Først adderes ganger første likning til andre for å eliminere x Så divideres første likning med og andre med får åfå ledende koeffisient 1: x + y = y = x + y = y = 1 Andre likning multiplisert med adderes til første likning for å eliminere y fra denne: x = 18 y = 1 d) Det vil si at punktet har koordinater (18, 1) = (x +y +)=, f = (6y +x 1) = 6 = (x +y +)=, = (6y +x 1) =

3 Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 3 Oppgave 7 a) D er en sirkelskive med radius 6 og sentrum i origo b) xy = y = /x, som du kanskje kan kjenne igjen som en hyperbel (hyperbelen y = 1/x forstørret ganger ) Den har en gren som bla går gjennom punktene (1, ), (, ) og (, 1), mens den andre grenen er symmetrisk om origo y -6 - x d) Merk at koordinataksene er nivåkurvene for K = Hvis man tenker på dette som utsnitt av et kart over et fjellområde går det en fjellrygg oppover mot høyre og nedover mot venstre (i 1 og 3 kvadrant) Denne blir brattere og brattere (på et tversnitt gjennom det vertikale planet y = x er z = xy = xx = x,altså en parabel) Tilsvarende får vi to daler nedover i og kvadrant Grafen kan parametriseres via polarkoordinater og plottes i Maple med kommandoen > plot3d([r*cos(v),r*sin(v),1/*r^*sin(*v)],v=*pi,r=6); Det er vanskelig åfå noe godt inntrykk av fasongen uten å dreie litt rundt på figuren = y, = x Merk at i origo er = =, men dette er verken maks eller min Følger vi en sti langs toppen av fjellryggene, dvs 5 oppover mot høyre på kartet, er dette bunnen på stienvår Følger vi derimot en sti 5 nedover mot høyre, langs dalbunnene, er dette toppunktet Et slikt punkt kalles et sadelpunkt

4 Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable e) Sirkelen er alle punkter i planet med avstand r mindre eller lik 6 Det går i alle retninger så det er ingen begrensninger på polarvinkelen θ Det er hensikstskmessig å presisere at r, og bare bruke en omdreining på θ, så den vanlige måten åbeskriveområdet på er: r 6, θ π f) f(r, θ) =xy = r cos(θ)r sin(θ) =r cos(θ)sin(θ) Ved å bruke formelen sin(θ) = sin(θ)cos(θ) kan dette omformes til f(r, θ) = 1 r sin(θ) g ) Siden r har maksimumsverdi 6 på R og sin(θ) har maksimumsverdi 1 er maksimumsverdien = 18 Denne oppnåes på randen (r =6)forθ = π/ θ = π/ ogforθ =5π/ θ =5π/ Det vil si på randen 5 opp til høyre og ned til venstre, noe som vel også kaninnseesfraplottetav nivåkurvene Oppgave 8 a) x y x + y, så definisjonsområdet er en sirkelskive med sentrum i origo og radius b) Ved å opphøye begge sider i potens får vi x y = K x + y = K Dette er sirkler med radius K,detvilsiradiusforK = (randen til grafen ligger altså ixy planet), 3forK = 1 og (det vil si sirkelen degenereres til et punkt) for K = c ) Avstand til origo for en vektor (x, y, z) ernormen x + y + z Vedå sette inn funksjonsuttrykket får vi avstanden x + y + x y = = d ) Alle punkter har altså avstand fra origo, så de ligger på enkulemedsentrumiorigoogradius Siden f(x, y) i hele definisjonsområdet har vi øvre halvkule Regn ut de partielle deriverte og Oppgave 9 f(x, y, z) =K x + y + z = K x + y + z = K Dette er likningen for kule med sentrum i origo og radius K, slik at vi får kuler med radius (som er degenerert til et punkt), radius 1 og radius Oppgave 1 a) 1 x + y, og 1 r, θ π b ) Enkelt med polarkoordinater: r, θ 3π/ Med rektangulære koordinater må området gies todelt, som R = R 1 R med (feks): R 1 : x, y x R : x, x y c ) Lett med rektangulære koordinater: x 1og y 1 x For polarkordinater er det greit med θ som er avgrenset av aksene til θ π/ For åavgrenser må vi uttrykke linjestykket gitt ved y =1 x som r som funksjon av θ Setter inn i likningen y =1 x: r sin(θ) =1 r(cos(θ) r(sin(θ)+cos(θ)) = 1 r =1/(sin(θ)+cos(θ)) Dermed får vi r 1/(sin(θ)+cos(θ))

5 Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 5 d ) Rektangulære koordinater: (x 1) + y 1, som kan omformes til x + y x Ved å sette inn polarkordinater i den siste likningen får vi r r cos(θ) r cos(theta) Startretningen er rett nedover y aksen, og slutten er når den kommer tilbake, fra rett over y aksen Dette tilsvarer π/ θ π/