UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT1110 Kalkulus og lineær algebra Formelsamling, svarark Ingen Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Det er 17 oppgaver, hver med 5 svaralternativer. Hver oppgave teller likt. Riktig avkrysset svar gir 1 poeng. Feil svar, intet svar, eller to eller flere kryss på samme oppgave gir 0 poeng. Skravér eventuelt helt over et kryss hvis du ombestemmer deg og vil velge et annet svaralternativ. Oppgave 1 Lineæravbildningen T: R 2 R 3 er slik at T (1, 1) = (1, 2, 3) og T (1, 1) = (3, 2, 1) Hva er matrisen til lineæravbildningen? A B C ( 1 2 ) D ( 2 2 ) E ( 1 ) (Fortsettes på side 2.)

2 Deleksamen i MAT1110, Fredag 1. april 2011 Side 2 Oppgave 2 La F: R 2 R 2 være affinavbildningen gitt ved F(x, y) = (2x y, 1 + x + 2y) Med hvilken faktor multipliserer F arealer? A 3 B 1 C 0 D 3 E 5 Oppgave 3 La G: R 2 R 2 være gitt ved G(x, y) = (cos(x y), sin(x + y)) Anta at f : R 2 R er deriverbar, med gradient f(0, 1) = (2, 3) i punktet (0, 1). La h: R 2 R være gitt ved h(x) = f(g(x)) for alle x. Hva er gradienten h(π/2, 0) til h i punktet (π/2, 0)? A ( 2, 2) B (1, 0) C (2, 2) D (0, 1) E (2, 3) Oppgave 4 Hva er et uttrykk for lineariseringen til f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) i punktet (x, y) = (1, 1)? (Her er ln den naturlige logaritmen.) A 2x/(x 2 + y 2 ) B 2y/(x 2 + y 2 ) C x + y D x + y 2 E x + y 2 + ln 2 (Fortsettes på side 3.)

3 Deleksamen i MAT1110, Fredag 1. april 2011 Side 3 Oppgave 5 En kurve i R 2 er parametrisert ved r(t) = (cos(t 2 ), sin(t 2 )) for t [0, 2]. Hva er buelengden til kurven? A 2 sin 2 B 2 C 4 D 2π E 8 Oppgave 6 La f : R 2 R være skalarfeltet gitt ved f(x, y) = x 3 + x 2 y 2 og la den parametriserte kurven r: R R 2 være deriverbar i punktet 0 R, med r(0) = ( 2/3, 0). La u(t) = f(r(t)) for alle t R. Hva er u (0)? A 2/3 B 4/9 C 0 D 4/27 E Utilstrekkelig informasjon: ulike verdier av r (0) gir forskjellige svar Oppgave 7 La C være kurven i R 2 parametrisert ved for t [0, π], og la r(t) = (2 cos t, sin t) f(x, y) = 3y være et skalarfelt på R 2. Hva er verdien til linjeintegralet f ds? Hint: Husk C at sin 2 t + cos 2 t = 1 og cos 2t = cos 2 t sin 2 t. B π C 3π/2 D 5π/2 E 3π (Fortsettes på side 4.)

4 Deleksamen i MAT1110, Fredag 1. april 2011 Side 4 Oppgave 8 La C være kurven i R 2 parametrisert ved for t [ 1, 1], og la r(t) = (t, t 3 ) F(x, y) = (sin x, 1) være et vektorfelt på R 2. Hva er verdien til linjeintegralet C F dr? B 2 2 cos 1 C 2 D cos 1 E 2 2 Oppgave 9 La F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt på R 2, der P (x, y) = sin y 1 + x 2 sin 2 y og Q(x, y) = x cos y 1 + x 2 sin 2 y Hvilken påstand er sann? A B C D E P/ y = Q/ x og F er konservativt P/ y = Q/ x, men F er ikke konservativt P/ y Q/ x og F er konservativt P/ y Q/ x, men F er ikke konservativt F er et gradientfelt, men ikke konservativt Oppgave 10 Likningen 4x 2 8x y 2 + 6y = 21 beskriver hvilket kjeglesnitt i xy-planet? A En parabel med brennvidde 1 B En ellipse med sentrum i (1, 3) C En ellipse med halvakser 1 og 2 D En hyperbel med asymptoter y = ±2x E En hyperbel med sentrum i (1, 3) (Fortsettes på side 5.)

5 Deleksamen i MAT1110, Fredag 1. april 2011 Side 5 Oppgave 11 La A = R 3 \{(0, 0, 0)} være R 3 minus origo, og la f : A R være skalarfeltet gitt ved f(x, y, z) = φ, der (ρ, φ, θ) er kulekoordinatene til punktet (x, y, z) (φ er inklinasjonen). Hvilken påstand om nivåflaten for f er sann? N π/4 = {(x, y, z) A f(x, y, z) = π/4} A N π/4 er planet gitt ved likningen z = π/4 B N π/4 er inneholdt i planet der x = y C N π/4 er en kuleflate med radius π/4 D N π/4 er inneholdt i kjegleflaten der z 2 = x 2 + y 2 E N π/4 er tom Oppgave 12 Hva er verdien til dobbeltintegralet (ln x + ln y) dxdy over rektangelet R = [1, 2] [1, e]? B 2(2 ln 2 1) C (e 1)(2 ln 2 1) + 1 D 2(e 1)(2 ln 2 1) E e 1 R Oppgave 13 Hva er verdien til dobbeltintegralet A y dxdy der A er type I området i xy-planet hvor y x 2 og x 2 + y 2 2? B 4 2/15 C 11/15 D 8 2/15 E 22/15 (Fortsettes på side 6.)

6 Deleksamen i MAT1110, Fredag 1. april 2011 Side 6 Oppgave 14 Hva er verdien til dobbeltintegralet (x 2 + y 2 ) dxdy A der A er sirkelskiven hvor x 2 + y 2 1? Hint: Bruk polarkoordinater. A π/3 B π/2 C 2π/3 D π E 2π Oppgave 15 La A være sirkelskiven hvor x 2 +y 2 1. Hva er arealet til grafen til funksjonen f : A R gitt ved f(x, y) = 1 2 (x2 y 2 ) der (x, y) A? Hint: Bruk polarkoordinater. B π C (2π/3)(2 2 1) D π(2 2 1) E (4π/3)(2 2 1) Oppgave 16 Hva er arealet avgrenset av den enkle, lukkede kurven med parametrisering r(t) = (cos 3 t, sin t) der t [0, 2π]? Hint: Bruk Greens teorem for vektorfeltet F = (P, Q) med P (x, y) = 0 og Q(x, y) = x, og husk at cos 2t = cos 2 t sin 2 t. B π/2 C 3π/4 D π E 3π/2 (Fortsettes på side 7.)

7 Deleksamen i MAT1110, Fredag 1. april 2011 Side 7 Oppgave 17 Hva er verdien til det uegentlige integralet 1 x 2 y dxdy 2 A der A = [1, ) [1, ) er området i xy-planet hvor x 1 og y 1? B 1 C 2 D 3 E 4 SLUTT