a 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =

Transkript

1 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave. Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas. Oppgaver fra kapittel.4 Det er klart at integrasjonsområdet er en sirkeskive med radius a sentrert i origo. På polarform blir dermed integralet a a x a a x dy dx π a r dr dθ πa. Det er klart at integrasjonsområdet er første kvadrant av en sirkelskive med radius ln sentrert i origo. Videre er r x + y, slik at integralet i polarkoordinater kan skrives ln ln y e x +y dx dy ln e r r dr dθ ln + dθ π ln. 8 Ved å betrakte kardioidefunksjonen, ser vi at dens graf ligger utenfor sirkelen med radius i området π/ < θ < π/ se f.eks. figur. i læreboken. Følgelig er vi interessert i arealet A +cos θ π/ π/ r dr dθ cos θ + cos θ dθ [ sin θ cos θ + θ + sin θ π/ ] π/ π/ + cos θ dθ + π 4. Integrasjonsområdet er første kvadrant av R. På polarform er integranden Da blir integralet + x + y dx dy + x + y + r. π 4 r + r dr dθ π r dr π 4 π 4. Overgangen til siste linje fremkommer under substitusjonen r + r. r + r dr lf. mai Side

2 TMA4 Matematikk, øving, vår Oppgaver fra kapittel. 9 e e e e dx dy dz xyz x dx. 9 x 9 x 9 x dx [ 9x x ] 8. Det er klart at volumet vi søker er y y dy. Volumet vi søker er 6 4 x x 4 x 4 x 4 x dx π. 4 x x dy dx 4 x x 4 x dx 47 Punkter x, y, z hvor 4x + 4y + z > 4 bidrar positivt til integralverdien, da integranden er positiv for slike punkter. Alle andre punkter bidrar negativt eller ikke i det hele tatt. Følgelig er domenet vi søker D {x, y, z R 4x + 4y + z 4} Oppgaver fra kapittel.6 De to områdedefinerende kurvene skjærer hverandre i,. Følgelig kan en integrere over området i oppgaven ved å benytte funksjonen f : R R gitt ved { x for x fx 4 x for x 4 som øvre grense i y-retning. Massen er følgelig m fx Videre er momentene dy dx x dx + 4 x dx m x m y fx fx y dy dx x dy dx Sentroiden ligger altså i fx dx xfx dx x, ȳ x dx + x x dx + my m, m x 64 m, 7 4 x dx + 4 x4 x dx lf. mai Side

3 TMA4 Matematikk, øving, vår Skjæringspunktene mellom x y og x y y har y-koordinater gitt ved y y y, det vil si, y y, altså y og y. Avstanden uten fortegn mellom et punkt x, y og x-aksen er y. Treghetsmomentet for R med hensyn på x-aksen er derfor I x R y y δx, y da y y y x y y x + y dx dy y y y + y y y y y + y4 dy [ y6 6 + y y ] y y [y x ] y y + y x x y y + y6 + y4 dy dy Vi viser kun beregningen av I x, da beregning av de to andre treghetsmomentene skjer på helt likt vis. Vi har Massen er gitt ved m k k I x a c b a c ab c y + z dx dy dz a dz b + bz + abc x x x k. Momentene er gitt ved m yz m xz k k k abc b + c. δx, y, z k xy4 x dy dx x x 4 x dx k x x 4x x dx k, x x x k 6 k xδx, y, z k yδx, y, z k 4 x xy dy dx 4x / x 9/ dx c b y + z dy dz x x 4x x 4 dx x x x x xy dz dy dx x y dz dy dx xy dz dy dx lf. mai Side

4 TMA4 Matematikk, øving, vår og m xy k k x x x 6 k. zδx, y, z k 8xy 4x y + x y 4x x x6 dx dy dx Dermed er massesenteret, 4, 8. x x xyz dz dy dx Å finne ut akkurat hvor jeg her må ha regnet feil er en exercise to the reader. Oppgaver fra eksamen i 7 Matematikk, sommeren 988 Figur viser integrasjonsområdet y 4 y x y x y x Figur : Integrasjonsområdet R i oppgave fra eksamen 988. Av figuren ser vi også at hele integralet, altså begge ledd i det opprinnelige uttrykket, kan omskrives til 8 y y fx, y dx dy. Jeg mener, hva slags oppkonstruerte oppgave har uttrykk som 8/ i svaret? lf. mai Side 4

5 TMA4 Matematikk, øving, vår Med f slik angitt finner vi 8 y y 8 e y 8 x dx dy y e y y y / y dy ye y e y dy [yey e y ] 8 6e8 + e. Oppgaver fra eksamen i 7 Matematikk B, våren 99 4 Figur viser integrasjonsområdet.. y x x y 4 x. y x Figur : Integrasjonsområdet A i oppgave 4 fra eksamen 99. Ved omskriving til polarkoordinater, finner vi at de to begrensende kurvene er gitt ved x +y 4, altså r, og x + y x, altså r r cos θ, eller r cos θ. I polarkoordinater er f uttrykt ved r, θ 4 r. Følgelig er vi interessert i integralet cos θ r 4 r dr dθ 4 cos θ ρ dρ dθ 8 cos θ / 8 dθ sin θ dθ 8 π/ π/ sin θ dθ cos θ sin θ dθ 8 8 cos θ sin θ dθ ξ dξ 6 9. Overgangen til ligning skjedde ved hjelp av sin θ cos θ. Overgangen til ligning skjedde ved hjelp substitusjonen ξ cos θ. lf. mai Side