β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1)

Transkript

1 Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r, θ) og kartesiske koordinater (x, y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y = rsinθ. Innsatt i β = xy: β = r 2 cosθsinθ. b) Gradientvektoren i kartesiske koordinater: Gradientvektoren i polare koordinater: β = β r i r + 1 β r θ i θ β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) x y = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ = 2rcosθsinθi r +r ( cos 2 θ sin 2 θ ) i θ. (8.2) For å vise at (8.1) og (8.2) er samme vektor kan vi gjøre om (8.1) til polare koordinater. Vi trenger da sammenhengen mellom enhetsvektorene i kartesiske og polare koordinater: Vi setter dette inn i likning 8.1: β = yi+xj i = cosθi r sinθi θ j = sinθi r +cosθi θ. = rsinθ(cosθi r sinθi θ )+rcosθ(sinθi r +cosθi θ ) = 2rcosθsinθi r +r ( cos 2 θ sin 2 θ ) i θ. 79

2 80 Polarkoordinater c) Divergensen til β i kartesiske koordianter: β = y x + x y = 0. Divergensen til β i polare koordinater: β = 1 [ ] r(2rcosθsinθ) + 1 ( ) rcos 2 θ rsin 2 θ r r r θ = 1 r 4rcosθsinθ + 1 ( ) 2rcosθ( sinθ) 2rsinθcosθ r = 4cosθsinθ 2sinθcosθ 2sinθcosθ = 0. d) Virvlingen til β i kartesiske koordinater: i j k β = x y 0 y x 0 = Virvlingen til β i polare koordinater: Oppgave 2 β = 1 r r [ r ( rcos 2 θ rsin 2 θ )] k 1 r ( x x y ) k = 0. y θ (2rcosθsinθ)k = 1 r( 2rcos 2 θ 2rsin 2 θ ) k 1 r 2r( sin 2 θ +cos 2 θ ) k = ( 2cos 2 θ 2sin 2 θ+2sin 2 θ 2cos 2 θ ) k = 0. Vi har gitt skalarfeltet β(r) = A r der r = ( x 2 +y 2 +z 2) 1/2 og A er en konstant. a) Gradientvektoren β i kartesiske koordinater: β x = β r r x β = β β i+ x y j + β z k. = A r r 2 x = A 1( x 2 r 2 +y 2 +z 2) 12 2x 2 = Ax ( x 2 +y 2 +z 2) 1 ( x 2 +y 2 +z 2) 1 2 = Ax ( x 2 +y 2 +z 2) 3 2.

3 81 Uttrykkene for β y og β z kan regnes ut på tilsvarende måte slik at β = A ( x 2 +y 2 +z 2) 3 2 (xi+yj +zk). ( = Ar 3 r = A r 3ri r = A ) r 2i r Gradientvektoren β i sfæriske polarkoordinater: β = β r i r + 1 β r θ i θ + 1 β rsinθϕ i ϕ = A r 2i r. b) Divergensen til β i kartesiske koordinater: β = 2 β x β y β z 2. 2 β x 2 = [ Ax ( ] x 2 +y 2 +z 2) 3 2 x [ (x = A 2 +y 2 +z 2) ( 3 2 +x 3 2 ) (x 2 +y 2 +z 2) ] 5 2 2x = A ( x 2 +y 2 +z 2) 3 2 [3x 2( x 2 +y 2 +z 2) ] 1 1. Tilsvarende utregning kan gjøres for 2 β y 2 og 2 β slik at z2 β = A ( x 2 +y 2 +z 2) 3 2 [3 ( x 2 +y 2 +z 2)( x 2 +y 2 +z 2) ] 1 3 = A ( x 2 +y 2 +z 2) 3 2 [ 3 3 ] = 0. Divergensen til β i sfæriske polarkoordinater: β = 1 [r ( 2 Ar )] r 2 r Oppgave 3 = 1 r 2 r ( A) = 0. Vi har gitt et hastighetsfelt i kartesiske koordinater: v = ωyi+ωxj.

4 82 Polarkoordinater a) For å finne uttrykket for v i polarkoordinater må vi bruke likningene: x = rcosθ y = rsinθ i = cosθi r sinθi θ j = sinθi r +cosθi θ. v = ωrsinθ(cosθi r sinθi θ )+ωrcosθ(sinθi r +cosθi θ ) = ωr( sinθcosθ +cosθsinθ)i r +ωr(sinθsinθ+cosθcosθ)i θ = ωri θ. v i θ i r r y x v = ωk r = ω i j k x y 0 = ωyi+ωxj. b) Sirkulasjonen kan deles opp i fire deler: C = v dr = v dr + v dr + v dr + v dr. abcd ab bc cd da ab: dr er her et lite bueelement på sirkelen med radius r og har retning i θ. Langs ab er v konstant lik ωr i i θ -retning. dr og v er altså parallelle. v dr = ωr r ϕ (lengden av v lengden av ab). ab

5 83 y d (r + r) ϕ a ϕ r r ϕ b r c x bc: dr peker nå i retning i r og v dr = ωri θ dri r = 0. cd: Her kan vi benytte oss av et tilsvarende argument som for linjestykket ab, men nå er dr et buelement på en sirkel med radius r+ r og peker i positiv i θ -retning: v dr = ω(r + r) (r + r) ϕ (lengden av v lengden av cd). cd da: dr peker nå i retning i r og v dr = ωri θ ( dri r ) = 0. Vi legger sammen leddene og får C = ωr 2 ϕ+ω ( r 2 +2r r+( r) 2) ϕ = ω r ϕ(2r + r). c) Stokes sats: ( v) ndσ = σ λ v dr = C. Vi regnet ut C for et flateelement abcd i oppgave b). Hvis vi nå lar r = 0 og ϕ = 2π får vi sirkulasjonen C for en sirkelflate med radius r: C = ω r ϕ(2r + r) = 2πω( r) 2. Dette er virvlingen for hele sirkelflaten. Deler vi C på arealet får vi virvlingen i et vilkårlig punkt i feltet: C = 2πω( r)2 π( r) 2 = 2ω

6 84 Polarkoordinater med retning normalt sirkelflaten. For å regne ut virvlingen direkte bruker vi polarkoordinatformen: v = ωri θ, v = 1 [ r r (rv θ) v ] r k. θ v = 1 r = ω r 2rk = 2ωk. r (rωr)k Oppgave 4 Et hastighetsfelt er gitt ved der C er en konstant. v = C 2π ( y x 2 +y 2i+ x ) x 2 +y 2j a) For å finne uttrykket for v i polarkoordinater må vi bruke likningene: x = rcosθ y = rsinθ i = cosθi r sinθi θ j = sinθi r +cosθi θ. v = C ( rsinθ 2π r 2 (cos 2 θ+sin 2 θ) (cosθi r sinθi θ ) ) rcosθ + r 2 (cos 2 θ +sin 2 θ) (sinθi r +cosθi θ ) = C ) ( sinθcosθi r +sin 2 θi θ +cosθsinθi r +cos 2 θi θ 2πr = C 2πr i θ. b) Som i tilfellet i oppgave 3b) har vi også denne gangen at bc v dr = v dr = 0 da

7 85 siden v står normalt på i r (v er tangent til sirkler med sentrum i origo). Sirkulasjonen, her kalt S, er derfor gitt ved S = abcd v dr = ab v dr + cd v dr. Fra oppgave a) kan vi slutte at v er konstant langs sirkler med sentrum i origo og de to kurveintegralene kan regnes ut (som i oppgave 3b) ved å gange lengden av vektoren v med lengden av kurven: S = C 2πr r ϕ+ C (r + r) ϕ 2π(r + r) = C ϕ 2π + C ϕ 2π = 0. c) Virvlingen i polarkoordinater: v = 1 [ r r (rv θ) v r θ ( ) r k = 1 r = 0. r C 2πr ] k d) Sirkulasjonen av v langs en sirkellinje λ: S = λ v dr der dr kan uttrykkes som dr = dsi θ med ds som en liten buelengde. C S = λ 2πr i θ dsi θ = C ds 2πr λ = C 2πr 2πr = C. Vi har et singulært punkt i origo der v.

8 86 Polarkoordinater Oppgave 5 Et strømfelt i jordatmosfæren er gitt ved v = f(θ)i ϕ. a) Divergensen til v (i sfæriske polarkoordinater): v = f(θ) rsinθ ϕ = 0. b) Visetternåf(θ) = Csin3θ derc erenpositivkonstant.θtilsvarerbreddegradene der θ = 0 er nordpolen, θ = 90 er ekvator og θ = 180 er sydpolen. Hvis vi tegner v inn på en kule får vi vindfeltet i figur 8.1. Nordpolen Ekvator Figur 8.1: Passat- og vestenvindsfeltet. c) Sirkulasjonen kan deles opp i fire deler: S = v dr = v dr + λ ab bc v dr + cd v dr + da v dr. hvor vinkelkoordinatene for punkt a er (θ 0,ϕ 0 ), for punkt b er (θ 0 + θ,ϕ 0 ), for punkt c er (θ 0 + θ,ϕ 0 + ϕ), og for punkt d er (θ 0,ϕ 0 + ϕ). De fire delintegralene blir som følger: ab: dr er et lite bueelement på en sirkel med radius r og har retning i θ, følgelig er v dr = f(θ)i ϕ i θ rdθ = 0. bc: dr er et lite bueelement på en sirkel med radius rsin(θ 0 + θ) og har retning i ϕ. Langs bc er v konstant lik f(θ 0 + θ)i ϕ. Da er dr og v parallelle. v dr = f(θ 0 + θ)rsin(θ 0 + θ) ϕ bc

9 87 cd: dr er et lite bueelement på en sirkel med radius r og har retning i θ, følgelig er v dr = f(θ)i ϕ i θ rdθ = 0. da: dr er et lite bueelement på en sirkel med radius rsinθ 0 og har retning i ϕ. Langs da er v konstant lik f(θ 0 )i ϕ. Da er dr og v parallelle. da Vi legger sammen leddene og får v dr = f(θ 0 )rsinθ 0 ϕ S = r{sin(θ 0 + θ)f(θ 0 + θ) sinθ 0 f(θ 0 )} ϕ r θ {sinθf(θ)} θ=θ0 θ ϕ. Stokes sats: σ ( v) ndσ = λ v dr = S. Sirkelflaten har areal r 2 sinθ 0 θ ϕ og har normalvektor n = i r. Innsatt i Stokes sats ( v) i r r 2 sinθ 0 θ ϕ = r {sinθf(θ)} θ ϕ θ Vertikalkomponenten av virvlingen blir Oppgave 6 ( v) i r = 1 rsinθθ {sinθf(θ)} = C r Newtons gravitasjonslov er gitt ved der r = xi+yj +zk og r = r. F = GmMr r 3 a) Fra likning 4.20 på side 67 i kompendiet finner vi: [ 3cos3θ +sin3θ cosθ ] sinθ F = GmM ( r 3 r + GmM ) r 3 r. Vi ser på høyresiden ledd for ledd: GmM r 3 i x j k y x y z z = GmM ( ) 0i+0j +0k = 0. r 3

10 88 Polarkoordinater For å regne ut det andre leddet bruker vi først resultatet fra oppgave 8b i kapittel 2 for å regne ut gradientvektoren: ( GmM ) r 3 ( 1 = GmM r 3 ) [ = GmM x x( 2 +y 2 +z 2) 3 2 i+ ( x 2 +y 2 +z 2) 3 2 j + y ] ( x 2 +y 2 +z 2) 3 2 k z [ = GmM 3 ( x 2 +y 2 +z 2) 5( 2 2xi+2yj +2zk )] 2 Vi krysser nå gradientvektoren med r: ( GmM ) r 3 r = 3GmM ( x 2 +y 2 +z 2) 5 2 = 3GmM ( x 2 +y 2 +z 2) 5 2 = 0 F = 0. i j k x y z x y z [ ] (yz zy)i (xz zx)j +(xy yx)k b) Gravitasjonspotensialet V er definert ved F = V. I sfæriske koordinater kan vi skrive F = GmM r 3 ri r = GmM r 2 i r. Gradientvektoren i sfæriske koordinater er gitt i kapittel 8 som V r V = V r i r +ledd i i ϕ og i θ -retning = GmM r 2 V = GmM r +V 0. c) V(r = R) = 0 V 0 = GmM R og gravitasjonspotensialet kan skrives som ( 1 V = GmM r 1 ) = GmM R r R Rr.

11 89 Arbeidet er definert som kraft ganger vei: W = F dr = = λ R+h R R+h R V dr dv = V(R) V(R+h) = 0+GmM R R h R(R+h) = mgrh R+h.

12 90 Polarkoordinater