Fasit til eksamen i MEK1100 høst 2006
|
|
- Cathrine Holte
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fasit til eksamen i MEK11 høst 26 Det er tilsammen 1 delspørsmål. Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til 1 (1 for fullstendig svar, for blank). Maksimal oppnåelig poengsum er 1. Kontroller at du ikke overser noen av spørsmåla. Oppgave 1 Vi har gitt et vektorfelt v = (+sin +z)i+( 2 +e z )j +( )k a) Finn divergensen til v. v = 1 1 = b) Finn virvlingen til v. v = (2 e z )i+(1 2)j +(2 cos)k c) Diskuter om v er et potensialfelt, og finn i så fall potensialet. Diskuter om v har en strømfunksjon, og finn i så fall strømfunksjonen. Siden virvlingen er forskjellig fra null så er dette ikke et potensialfelt. Feltet er divergensfritt og det utelukker ikke at en strømfunksjon kan eksistere. Feltet er imidlertid tredimensjonalt i z-koordinatene og har derfor ikke en strømfunksjon som kan uttrkkes ved to av disse koordinatene på den vanlige måten i kurset. 1
2 z Vi ser nå på en lukket overflate σ som er satt sammen av en topp σ T og en bunn σ B. Toppen σ T er gitt ved likningen z 2 = 1 avgrenset av z. Bunnen σ B er gitt vedz = avgrensetav Toppen og bunnen avgrenser et volum τ. Se figur. d) Finn enhetsnormalvektorer til σ T og σ B som peker ut av volumet τ La f(,,z) = z 2. Toppen er gitt ved f = 1. Legg merke til at f øker når vi beveger oss vekk fra volumet τ. Dermed kan vi skrive n T = f f = i+j +4zk z 2 La g(,,z) = z. Bunnen er gitt ved g =. Legg merke til at g øker når vi beveger oss vekk fra volumet τ. Dermed kan vi skrive n B = g g = k e) Regn ut fluksen q B av v ut fra volumet τ gjennom bunnen σ B. q B = v n B dσ = ( )dσ = σ B σ B 2π 1 (r 2 +3)rdrdθ = 7π 2 hvor vi har introdusert polare koordinater = rcosθ og = rsinθ slik at dσ = rdrdθ, og slik at σ B er gitt ved r 1 og θ 2π. 2
3 f) Regn ut fluksen q T av v ut fra volumet τ gjennom toppen σ T. q T = v n T dσ, σ T men dette integralet er sannsnligvis vanskelig å regne ut direkte. Vi kan bentte Gauss sats fordi v ikke har noen singulære punkter vdτ = v n T dσ + v n B dσ = q T +q B τ σ T σ B hvor vi har splittet opp overflateintegralet i en toppdel og en bunndel. Siden feltet er divergensfritt så ser vi at venstresiden blir identisk lik null. Derfor har vi q T = q B = 7π 2 Oppgave 2 Vi ser på plan strøm som er divergensfri og virvelfri overalt utenom singulære punkter. En strømfunksjon er gitt ved en sum av to ledd hvor a og U er konstanter. ψ = ψ 1 +ψ 2 hvor ψ 1 = U og ψ 2 = Ua a) Det kan være en fordel å uttrkke dette strømfeltet i plane polarkoordinater = rcosθ og = rsinθ. Skriv strømfunksjonene ψ 1 og ψ 2 i polarkoordinater. ψ 1 = Ursinθ og ψ 2 = Ua2 sinθ r Vis at det totale hastighetsfeltet er ) ) v = U (1 a2 cosθi r U (1+ a2 sinθi θ. r 2 r 2 v r = 1 r ψ θ og v θ = ψ r 3
4 Gi navn til strømfeltene representert ved ψ 1 og ψ 2, tegn en skisse for hvert av disse strømfeltene, angi retningen til strømfeltene, og angi hvor eventuelle singulære punkter er lokalisert. ψ 1 representerer en rettlinjet strøm i positiv -retning og har ingen singulære punkter. ψ 2 representerer en dipol i origo orientert i -retning slik at strømmen går igjennom origo i negativ -retning. Origo er et singulært punkt. b) Regn ut sirkulasjonen til strømfeltet representert ved ψ rundt sirkelen r = R. 2π v dr = U(1+ a2 R 2)sinθRdθ = r=r hvor vi har benttet at r = Ri r og dr = Ri θ dθ. Merk at vi ikke kan bruke Greens eller Stokes sats for å finne denne sirkulasjonen fordi feltet har et singulært punkt inne i integrasjonsområdet. Regn deretter ut sirkulasjonen rundt ellipsen gitt ved likninga ( 5a) 2 +(2 4a) 2 = a 2. I prinsippet kan vi regne ut dette integralet direkte, men det er sannsnligvis vanskelig. Istendenfor kan vi starte med å identifisere lokaliseringen til ellipsen, nemlig sentrum ( = 5a, = 2a), store halvakse a langs -aksen, lille halvakse a/2 langs -aksen. Vi innser at ellipsen ikke omslutter origo, og følgelig er det ingen singulære punkter inne i ellipsen. Nå bentter vi oss av Stokes sats, og det faktum at feltet er virvelfritt, v =, v dr = v kdσ = ( 5a) 2 +(2 4a) 2 =a 2 ( 5a) 2 +(2 4a) 2 a 2 4
5 c) Finn stagnasjonspunktene til strømfeltet representert ved ψ. Finn deretter strømlinjene som går gjennom stagnasjonspunktene. Stagnasjonspunkt(er) er løsninger av v r = U(1 a2 r 2)cosθ = v θ = U(1+ a2 r 2)sinθ = Dette sstemet har to løsninger (r = a,θ = ) og (r = a,θ = π), som henholdsvis svarer til ( = a, = ) og ( = a, = ). Strømlinjene gjennom stagnasjonspunktene finner vi ved å sette inn koordinatene til stagnasjonspunktene i uttrkket for strømfunksjonen, og vi må følgelig løse ψ = U(r a2 r )sinθ = Denne likninga har to løsninger: (1) sirkelen r = a og (2) -aksen. Skisser strømfeltet, indiker stagnasjonspunktene, og marker strømlinjene som går gjennom stagnasjonspunktene. Her er stagnasjonspunktene markert som store svarte punkter, og strømlinjene gjennom stagnasjonspunktene er markert som tkke kurver. Forklar hvordan dette strømfeltet kan representere vind som blåser på tvers av et langstrakt telt med halvsirkelformet tverrsnitt (et såkalt tunnelltelt). 5
6 For å la dette feltet representere vind på tvers av et halvsirkelformet telt, la bakken være -aksen og la teltet være r a for. d) Vi skal nå betrakte luftstrømmen på tvers av et telt som så på i forrige oppgave. Vi lar tngdens akselerasjon g væer rettet i negativ -retning. Tettheten til lufta er ρ. Vi gjør dessuten den urealistiske forenklingen at teltduken er stiv og ikke deformerer seg når det blåser. Vi skal la lufttrkket p rundt teltet være gitt ved Bernoullis likning. Skriv ned Bernoullis likning (utledning ikke nødvendig) og forklar når og hvordan denne likningen kan brukes. Bernoullis likning forutsetter 1. Friksjonsfri strømning 2. Stasjonær strømning 3. Konstant tetthet eller inkompressibelt fluid Da er p ρ v2 +g konstant langs en strømlinje. 6
7 Regn ut total kraft F som virker fra lufta på teltet. Forklar ut fra dette svaret hvorfor det kan være en god idé å bardunere teltet godt på en vindfull dag. I det følgende regner vi ut total kraft som virker på teltet fra lufta på utsiden av teltet. Det er selvfølgelig luft inne i teltet også, men det har vi sett bort fra i løsningen nedenfor. Velg strømlinjen r = a. Velg stagnasjonspunktet (r = a,θ = ) som referansepunkt hvor vi setter p = p. Langs denne strømlinjene har vi hastighet v = v θ r=a i θ = 2U sinθi θ Bernoullis likning gir nå trkket langs strømlinjen p = 2ρU 2 sin 2 θ ρgasinθ +p Enhetsnormalvektor til teltet er n = i r = cosθi+sinθj, og et infinitesimalt overflateelement langs teltduken er dσ = a dθ. Den totale kraften pr. lengdeenhet fra lufta på teltet blir da F = pndσ = r=a, θ π π ( 2ρU 2 sin 2 θ ρgasinθ +p )(cosθi+sinθj)adθ = 8 3 ρau2 j ρgπa2 j 2ap j Det første leddet representerer vind-indusert løft som virker oppover. Det andre leddet representerer oppdrift, dvs. en vertikal kraft lik vekten av den fortrengte lufta. Det tredje leddet representerer nedoverrettet kraft på grunn av lufttrkket ved bakken. Formler: (Dersom vi i tillegg hadde tatt hensn til lufta inne i teltet så ville vi fått bidrag som hadde kanselert ut andre og tredje ledd ovenfor, og da hadde vi kun sittet igjen med det vind-induserte løftet.) Dersom vinden blir tilstrekkelig sterk vil det vind-induserte løftet bli så stort at teltet vil løftes opp fra bakken. Derfor kan det være lurt å bardunere godt. φ = φ r i r + 1 φ r θ i θ, sin 2 θcosθdθ = sin3 θ, 3 v = 1 r r (rv r)+ 1 v θ r θ sin 3 θdθ = cos3 θ 3 cosθ 7
Fasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).
Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerDivergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm
Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v v x i+v y j er virvlingen gitt ved
DetaljerDivergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm
Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v = v x i+v y j er virvlingen gitt ved
Detaljerβ = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ
Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r,θ) og kartesiske koordinater (x,y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y =
Detaljerβ = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1)
Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r, θ) og kartesiske koordinater (x, y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y
DetaljerObligatorisk oppgave 2
MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 Oppgave a) Vi kan beregne vektorfluksen Q = F ndσ gjennom en kuleflate σ gitt vektorfeltet σ F = xi + 2y + z j + z + x 2 k. Ved
DetaljerFeltlikninger for fluider
Kapittel 10 Feltlikninger for fluider Oppgave 1 Gitt et to-dimensjonalt strømfelt v = ωyi+ωxj. a) Den konvektive akselerasjonen for et to-dimensjonalt felt er gitt ved b) Bevegelseslikninga (Euler-likninga):
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 11 desember 2008. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Fredag 29 mai 2009. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på 6 sider.
DetaljerTillegg om strømfunksjon og potensialstrøm
Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x
DetaljerForelesning 23 den 18/4 2017
Forelesning 3 den 18/4 017 Eksperiment Toricelli hvor fort renner vann ut av et kar? Vi navngir eksperimentet til ære for Evangelista Torricelli (1608 1647) som oppdaget Toricellis lov i 1643. Toricelli
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerGrensebetingelse for trykk der hvor vann møter luft
Forelesning 5/4 019 ved Karsten Trulsen Grensebetingelse for trykk der hvor vann møter luft Vi skal utlede en betingelse for trykket på grenseflaten der hvor vann er i kontakt med luft. Vi gjør dette ved
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerLøsningsforslag til Øving 9 Høst 2014 (Nummerne refererer til White s 6. utgave)
TEP45: Fluidmekanikk Oppgave 8. Løsningsforslag til Øving 9 Høst 4 (Nummerne refererer til White s 6. utgave Vi skal finne sirkulasjonen Γ langs kurven C gitt en potensialvirvel i origo med styrke K. I
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8
LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r
DetaljerLøsning til eksamen i ingeniørmatematikk
Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt Divergensen til v er definert som v = ui+vj +wk. v = u x + v y + w og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui+vj +wk. Divergensen til v er definert som v = u x + v y + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerVirvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen
Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen Kap 10 og 9 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Forelesninger NYTT TEMA Hvorfor snakker vi om virvelfri bevegelse? Forelesninger Todimensjonal
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
Detaljer1. En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ per lengdeenhet. Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven?
Ladet stav 1 En tynn stav med lengde L har uniform ladning per lengdeenhet Hvor mye ladning d er det på en liten lengde d av staven? A /d B d C 2 d D d/ E L d Løsning: Med linjeladning (dvs ladning per
Detaljerdx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v = ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v = ω 2 y 2 +ω 2 x 2 = ωr, r = x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 = x 2 +y
DetaljerForeta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen:
. 2 65 Løsning E.1 Foreta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen: Dette er den søkte formen. " Løsning E.2 %'& Legg en -akse i # s retning, dvs. # () -,&
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerØving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen
DetaljerMEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no).
28. februar 2019 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2019 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen
DetaljerPlan. I dag. Neste uke
Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt
DetaljerLøsning, Trippelintegraler
Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8
DetaljerMEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2.
9. februar 2017 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2017 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 2. mars 2017, klokken 14:30 i obligkassen, som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. etasje i Niels Henrik Abels
DetaljerMandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 6 Mandag 05.02.07 Oppsummering til nå, og møte med Maxwell-ligning nr 1 Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to
DetaljerOblig 2 MEK1100, vår 2016
Oblig 2 MEK1100, vår 2016 Krav til innlevering og godkjenning Hvert punkt gir makismalt 10 poeng. I alt kan du oppnå 100 poeng. Vi krever minimum 70 prosent, eller 70 poeng for å få godkjent. Dersom dette
DetaljerSIF5005 MATEMATIKK 2 VÅR r5 drdθ = 1 m. zrdzdrdθ = 1 m. zrdzdrdθ =
SIF55 MAEMAIKK Å 3 Løsningsforslag Hjemmeøving 5 Oppgave. Ser at massen fordeler seg symetrisk om z-aksen, derfor vil tyngdepunktet ligge på z-aksen. Det eneste vi da trenger å regne ut er z. zδd = m π
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v ω 2 y 2 +ω 2 x 2 ωr, r x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 x 2 +y 2 er r konstant
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15).
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 7 ( 5) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når vi btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskrives på ntt Dobbelintegralet
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl
NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTSTET OG MAGNETSME Mandag 4. desember
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 13, (16).
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel, (6) Oppgave 7 ( 67 ) Kurven rt () (, t,), t t ligger i - planet Dette gir alternativ b eller f Setter inn t som gir punktet (, ) som bare er med i alternativ
Detaljer5 z ds = x 2 +4y 2 4
TMA45 Matematikk 2 Vår 25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse II Øving 9
Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.
DetaljerTirsdag r r
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 6 Tirsdag 05.02.08 Gauss lov [FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1] Fra forrige uke; Gauss
DetaljerTMA Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv
TMA15 - Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv April 7, 15 Mesteparten av dere har klart denne øvingen langt bedre enn de to forregående øvingene selv om denne var hakket vanskeligere.
DetaljerOppgavehefte for Mek 1100
Oppgavehefte for Mek 1100 Geir Pedersen Høst 2009 Oppg. 1 Normal til bane i planet. Vi har gitt en posisjonsvektor som funksjon av t på dimensjonsløs form r(t) = (5 + t)i + t 2 j. a) Finn hastigheten,
DetaljerEksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerOnsdag og fredag
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 7 Onsdag 11.02.09 og fredag 13.02.09 Gauss lov [FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1] Gauss
DetaljerThe full and long title of the presentation
The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK111 Eksamensdag: Mandag 22. mars 21 Tid for eksamen: Kl. 15-18 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark Tillatte
DetaljerEksamen i V139A Matematikk 30
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 4. juni 22 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærere: Hans Petter Hornæs. Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, Formelsamling. Oppgavesettet
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FY112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 1 Oppgave 1 a i Her er alternativ 1 riktig. Hvis massetettheten er F, vil et linjestykke
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: 15.00 17.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 11. august 2006 kl
NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 KONTNUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTOMAGNETSME Fredag 11.
DetaljerElektrisk potensial/potensiell energi
Elektrisk potensial/potensiell energi. Figuren viser et uniformt elektrisk felt E heltrukne linjer. Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke? A. B. C. 3 D. 4 E. Det endrer seg langs alle
Detaljera 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes 75957 Berner Larsen 7 59 5 5 Lisa Lorenten 7 59 5 8 Vigdis Petersen 75965 ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-13 Dato: Tirsdag 15. desember 215 Tid: Kl 15: 19: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabeller, Rottmanns formelsamling,
DetaljerFasit eksamen Fys1000 vår 2009
Fasit eksamen Fys1000 vår 2009 Oppgave 1 a) Klossen A er påvirka av tre krefter: 1) Tyngda m A g som peker loddrett nedover. Denne er det lurt å dekomponere i en komponent m A g sinθ langs skråplanet nedover
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS1120 Elektromagnetisme Eksamensdag: 10. oktober 2016 Tid for eksamen: 10.00 13.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerLøsningsforslag Øving 4
Løsningsforslag Øving 4 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 2016 Oppgave 3-162 Løsning En halvsirkelformet tunnel skal bygges på bunnen av en innsjø. Vi ønsker å finne den totale hydrostatiske trykkraften som virker
DetaljerLøsningsforslag til Øving 6 Høst 2016
TEP4105: Fluidmekanikk Løsningsforslag til Øving 6 Høst 016 Oppgave 3.13 Skal finne utløpshastigheten fra røret i eksempel 3. når vi tar hensyn til friksjon Hvis vi antar at røret er m langt er friksjonen
DetaljerRandkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.
Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en
DetaljerOppgaver og fasit til kapittel 6
1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.
DetaljerEKSAMEN i MATEMATIKK 30
Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent
DetaljerMAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen
DetaljerEKSAMEN I: BIT260 Fluidmekanikk DATO: 12. mai TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Ei valgfri standard formelsamling
DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET EKSAMEN I: BIT60 Fluidmekanikk DATO: 1. mai 010 TID FOR EKSAMEN: kl. 09-13 (4 timer) TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Ei valgfri standard
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 9. E dl = 0. q i q j 4πε 0 r ij. U = i<j
TFY404 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 207. Løsningsforslag til øving 9. Oppgave. a) C V = E dl = 0 dersom dl E b) B U = e2 4πε 0 r = e e 4πε 0 r = e.6 0 9 9 0 9 0 0 = 4.4 ev c) D Total potensiell
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1
FYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1 22. august 2016 I FYS1120-undervisningen legg vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som
DetaljerLøsningsforslag til øving 13
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektromagnetisme Vår 2009 Løsningsforslag til øving 13 Oppgave 1 a) Sløyfas magnetiske dipolmoment: m = IA ˆn = Ia 2 ˆn Sløyfa består av 4 rette ledere med lengde
DetaljerEksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
DetaljerFY1006/TFY Løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8. a. (a1): Ved kontroll av egenverdiene kan vi se bort fra normeringsfaktorene.
FY16/TFY415 - Løsning øving 8 1 Løsning oppgave 3 Vinkelfunksjoner, radialfunksjoner og orbitaler for hydrogenlignende system LØSNING ØVING 8 a. (a1: Ved kontroll av egenverdiene kan vi se bort fra normeringsfaktorene.
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
DetaljerLøsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,
DetaljerKap. 22. Gauss lov. Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov. Elektrisk ledere. Integralform og differensialform
Kap. 22. Gauss lov Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform Elektrisk ledere. E-felt fra Coulombs lov: E k q r 2 r E k n q r n 2 0n r 0n dq E k r 2 r tot.
DetaljerEKSAMEN i MATEMATIKK 30
Eksamen i Matematikk 3 3. mai Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKSAMEN i MATEMATIKK 3 Onsdag 3. mai kl. 9 4 agnummer: V39A aglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator
DetaljerHAVBØLGER. Her skal vi gjennomgå den enkleste teorien for bølger på vannoverflaten:
HAVBØLGER Her skal vi gjennomgå den enkleste teorien for bølger på vannoverflaten: Airy teori, også kalt lineær bølgeteori eller bølger av første orden Fremstillingen her vil temmelig nøyaktig følge kompendiet
DetaljerLøsning, Stokes setning
Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene
DetaljerOppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID
OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 647 OG SMN 695 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK KLASSE:4EL,4RTog5ID DATO: 8 januar 004 TID: 9.00-.00 ANTALL SIDER: 0 (inklusiv formler)
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 vår 2013
TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon
DetaljerMidtsemesterprøve fredag 10. mars kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og magnetisme TFY4155 Elektromagnetisme Vår 2006 Midtsemesterprøve fredag 10. mars kl 0830 1130. Løsningsforslag 1) A. (Andel som svarte riktig: 83%) Det
DetaljerIntegraler. John Rognes. 15. mars 2011
15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler
DetaljerGauss lov. Kap. 22. Gauss lov. Gauss lov skjematisk. Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform
Kap. 5..6 Kap.. Gauss lov Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform Elektrisk ledere. Efelt fra Coulombs lov: q E k r r E k n q r n n r n dq E k r r tot. ladn.
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
Detaljer