Integralsatser: Green, Stokes og Gauss

Transkript

1 Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v ω 2 y 2 +ω 2 x 2 ωr, r x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 x 2 +y 2 er r konstant og dermed også v konstant. v n r y x Figur 7.1: En sirkel i xy-planet. irkulasjonen er gitt ved likningen C 71 v dr.

2 72 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Fra oppgave 3, kapittel 6, har vi enhetsnormalen til en sirkel: n x r i+ y r j og v n ωyx + ωxy. r r trømfeltet v er altså tangensial til sirkelen. Denne opplysningen skal vi bruke ved beregning av sirkulasjonen: v dr ωrds der ds er et lite element av sirkelen. irkulasjonen blir C ωrds ωr ds ωr 2πr 2πωr 2. b) Vi regner først ut virvlingen: i j k v x y ωy ωx 2ωk. Integralet av virvlingen over sirkelflaten: vd 2ωkd 2ωk Greens sats: ( v) nd d 2ωπr 2 k. v dr der n er normalvektoren til sirkelflaten (ikke sirkelbuen ) n k. ( v) kd 2πωr 2. c) iden v er konstant for en gitt r, og v er tangent til sirkler med radius r, har vi ved symmetri v dr v dr v dr v dr. BC irkulasjonen er derfor gitt ved C CD CD c dr 4 DA v dr. Langs linjestykket er x x/2, dr dyj og y/2 y y/2: C 4 ωxdy 4ω x 2 y 2 y 2 dy 2ω x y.

3 73 y C B x D A Figur 7.2: Et kvadrat med sentrum i origo og sidekanter x y. Greens sats: ( v) nd CD v dr. Den venstre siden over kan nå regnes ut Oppgave 2 2ωk kd 2ω d 2ω x y. Delelinjen z y x

4 74 Integralsatser: Green, tokes og Gauss a) tokes sats: ( v) nd v dr. tokes sats sier at summen av virvlingsvektoren for hver halvkule er lik sirkulasjonen rundt. iden halvkulene har samme form og volum er lengden av sirkulasjonen lik, men fortegnet ulikt. For hver n 1 på den øvre halvkulen har vi en n 2 på den nedre halvkulen slik at n 1 n 2. ummen av sirkulasjonen av de to halvkulene blir derfor lik null. b) Radius av jordkloden: 637 km, atmosfæretykkelsen: 1 km. For en kule med radius 1 meter har vi en atmosfærestørrelse på 1 meter 1 mm. Vi har en 637 tilnærmet to-dimensjonal situasjon og det vil derfor være rimelig å bruke modellen fra oppgave a). Oppgave 3 Vi har gitt et tre-dimensjonalt strømfelt v α(xi+yj +zk) der α er en konstant. a) Enhets normalvektor er n r/r hvor r xi+yj +zk og r x 2 +y 2 +z 2. Vi ser at v αr. Da får vi Q v nd αr d (αr)(4πr 2 ) 4απr 3. Alternativt bruker vi Gauss sats: Q v nd der er volumet innenfor kuleflaten. vd Q 3α 4 3 πr3 4απr 3. 3αd 3α d b) Vi antar nå at er en vilkårlig flate. Volumstrømmen blir Q vd 3α der er volumet omslutter. Oppgave 4 En vektor med konstant lengde og retning kan skrives som A ai+bj +ck der a, b og c er konstanter. Flateintegralet av normalkomponenten av A over en lukket, sammenhengende flate kan vi beregne ved å bruke Gauss sats: A nd Ad.

5 75 Divergensen til A: og flateintegralet blir følgelig Oppgave 5 A a x + b y + c z A nd. Flateintegralet av en skalar β ganger enhetsnormalvektor til en lukket, sammenhengende flate kan vi beregne ved å bruke Gauss sats: βnd βd. Gradientvektoren β: og flateintegralet blir derfor Oppgave 6 β β β i+ x y j + β z k βnd. a) Vi tenker oss at vi deler opp volumet i små delvolumer i med overflate i. Trykket på et slikt volum er pn i, der n i er flatenormalen til i og minustegnet angir at trykket er rettet inn mot flaten. Trykkraften blir nå pn i d i og hvis vi summerer opp for alle delvolumene og lar i (og d i ) blir den totale trykkraften: F pnd. b) Vi bruker Gauss sats på trykkraften: F pnd pd. Trykket er gitt ved den hydrostatiske trykkformelen p p +ρgz og gradientvektoren til p blir p k p ρgk. Vi setter dette inn i uttrykket for trykkraften: z F ρgk d ρgk mgk der m ρ er massen av den merkede væsken. c) Oppdriftskraften (trykkraften F) avhenger kun av tettheten til væsken (ρ) og volumet av den fortrengte væsken (), ikke av egenskapene til objektet som fortrenger væsken. Trykkraften blir altså uforandret.

6 76 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 7 Et kraftfelt er gitt ved F (y 2 +5)i+(2xy 8)j. a) Kraften må være virvelfri: F i j k x y z y xy 8. Kraftpotensialet, V, kan vi finne fra F V: V x (y2 +5) V(x,y) xy 2 5x+f 1 (y) V y (2xy 8) V(x,y) xy2 +8y +f 2 (x). For å få en entydig V(x,y) må vi velge f 1 (y) 8y +C og f 2 (x) 5x+C slik at V(x,y) xy 2 5x+8y. b) Arbeidet er gitt ved W O: W O (y 2 +5)dx+ F dr + (2xy 8)dy. F dr. Langs linjen er y og dy og langs linjen er x 1 og dx. Dette gir W 1 5dx+ 5+(1 8) 2. 1 (2y 8)dy OB: Langs linjen fra origo til B er x y og dx dy og arbeidet blir W (x x 2 8)dx OB (3x 2 3)dx

7 77 c) W OB V dr dv OB OB V(1,1) +V(,) C +C 2. Arbeidet for en kraft som kan avledes av et kraftpotensiale er uavhengig av veien og kun avhengig av verdien til potensialet i endepunktene. d) Vektorfluksen til F kan skrives som Q F nd F nd BC CO Vektorfluksen blir derfor F nd F nd F nd F nd F nd F nd F nd. BC CO 8dx 8 (y 2 +5)dy 16 3 (2x 8)dx 7 1 (y 2 +5)dy Q La oss bruke Gauss sats på vektorfluksen: F nd F d. Divergensen til F er F +2x og vektorfluksen blir Q 2xd. er nå en kube med sidekanter lik 1: Q dz 2xdxdydz [x 2] 1 dydz dydz

8 78 Integralsatser: Green, tokes og Gauss e) irkulasjonen rundt kurven kan skrives som C F dr + F dr + BC CO irkulasjonene blir derfor dx 5 BC (2y 8)dy 7 6dx 6 8dy 8. C Vi skal nå beregne sirkulasjon ved hjelp av tokes sats: ( F) nd. F dr + F dr. CO La oss regne ut virvlingen: i j k F x y (2y 2y)k. y xy 8 iden virvlingen er null blir også sirkulasjonen lik null.