Eksamensoppgaver og Matematikk 1B

Transkript

1 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Samlet for SIF5005 Matematikk våren 00 Samlingen inneholder utvalgte oppgaver gitt i 7500 og 750 Matematikk B ved NTH/NTNU i tiden Oppgaver eller punkter som faller helt eller delvis utenfor pensum i SIF5005 er ikke tatt med. Oppgavene er grovt inndelt i fire grupper, en for hvert av kapitlene 5 i Edwards & Penney. En fasit starter på side 3. På vil du kunne finne en liste over eventuelle kjente feil i fasiten eller oppgavesettet for øvrig. Der kan du også finne ut hvordan du rapporterer om feil du selv finner, og du kan hente siste versjon av samlingen. Oppgave ( : 7500 oppgave ) a) (Dette punktet faller utenfor pensum i SIF5005.) b) La K være romkurven gitt ved r(t) =cost ı +sint j +t k, 0 t π. Gjør rede for at K ligger på en sylinderflate og skisser K. La L betegne tangenten til K i punktet (cos t 0, sin t 0, t 0 ). Finn en parameterfremstilling for L og bestem skjæringspunktet mellom L og xy-planet. Oppgave ( : 7500 oppgave, 750 oppgave 3) x Gitt funksjonen f(x, y) =, definert for alle punkter (x, y) (0, 0). x +4y a) Skisser noen typiske nivåkurver for f. Avgjør om lim f(x, y) eksisterer. (x,y) (0,0) b) Beregn den retningsderiverte til f i(, ) i retningen,. I hvilken retning er den retningsderiverte størst i (, )? Oppgave 3 ( : 7500 oppgave 3, 750 oppgave 4) Gitt funksjonen f(x, y) =xye (x +y )/, definert for alle punkter (x, y). Bestem eventuelle kritiske punkter for f. Avgjør om f har noen største eller minste verdi, og angi i så fall disse verdiene. Oppgave 4 ( : 7500 oppgave, 750 oppgave ) Gitt funksjonen f(x, y) =9x 4 +6x 3 +6x y definert for alle punkter (x, y) iområdet R gitt ved ulikheten x +x + y 0. a) Finn og klassifiser eventuelle kritiske punkter for f i det indre av R. b) Bestem absolutt maksimum og absolutt minimum for f påområdet R.

2 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Oppgave 5 ( : 7500 oppgave, 750 oppgave ) Du befinner deg i punktet P =(,, 5) på en fjellside hvor høyden over havet er gitt ved 00 z = 0 + 3x +7y. Du beveger deg i retningen gitt ved v = 3 ı + j. Hva er da vinkelen med horisontalplanet? I hvilke retninger kan du gå frap for å beholde samme høyde? Oppgave 6 ( : 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Et åpent trau er formet som på figuren. Bunnflata er et rektangel med bredde x 0 og lengde y > 0. Endeflatene er plane flater som består av et rektangel og to kvartsirkler med radius z>0. y z z z z x x TrauetharetgittvolumV = V 0.LaA betegne overflata til trauet, dvs. bunnflata, de to endeflatene og de to krumme sideflatene. Vis at A kan skrives på formen A = V 0 y + π yz + V 0 z. Bestem dimensjonene (x, y og z) som gjør overflata minst mulig, og regn ut dette arealet. Det skal påvises at den funne verdien virkelig gir minst mulig areal. Oppgave 7 ( : 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) La α og β være positive konstanter, og la f være funksjonen gitt ved f(x, y) =x α y β, x 0, y 0. a) Vis at den største verdien M som f oppnår under bibetingelsen αx + βy = er gitt ved ( ) α+β M =. α + β b) Når α og β varierer vil også maksimumsverdien M variere. Bruk differensialer til å finne et tilnærmet uttrykk for forandringen i M når α øker fra til + α og β øker fra til + β.

3 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B 3 Oppgave 8 ( : 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Temperaturen ( ) i et punkt (x, y) i en sirkulær skive x + y 4ergittved funksjonen 8xy T (x, y) =0+ +x + y, x + y 4. a) Bestem punktet (punktene) der temperaturen er høyest. Hva er temperaturen der? b) Finn temperaturendringen pr. lengdeenhet i punktet (, ) i retning mot origo. I hvilken retning øker temperaturen mest i punktet (, )? c) (Dette punktet faller utenfor pensum i SIF5005.) Oppgave 9 ( : 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) En åpen grøft har tverrsnitt formet som et trapes, som på figuren. y θ x y θ Det er gitt at tverrsnittet skal ha areal lik. Finn summen S av lengdene av de tre sidene i tverrsnittet uttrykt ved y og θ. Bestemx, y og θ slik at S blir minst mulig, og finn denne minste verdien til S. Detskalpåvises at den funne verdien virkelig er den minste. Oppgave 0 ( : 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Funksjonen f er gitt ved f(0, 0)=0, f(x, y) = x3 y x 6 + y når (x, y) (0, 0). a) Bestem lim f(x, y) når (x, y) (0, 0) langs enhver rett linje gjennom origo. b) Vis at innenfor enhver sirkel med sentrum i origo fins punkter (x, y)derf(x, y) =. Avgjør om f er kontinuerlig i origo. Undersøk om de partiellderiverte f f (0, 0) og (0, 0) eksisterer. x y Oppgave ( : 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) Et spedisjonsfirma krever at dimensjonene på rektangulære kasser må være slik at lengden pluss to ganger bredden pluss to ganger høyden ikke overskrider 3 meter (l +b +h 3). Hva er volumet av den største kassen som firmaet vil ta imot?

4 4 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Oppgave ( : 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) I en modell for hvor mange pasienter som kan behandles pr. år på et visst legesenter, avhenger antall pasienter N av antall leger L, antall sykepleiere S og antall hjelpepleiere H etter formelen N = 000L 0,5 S 0,45 H 0,3. Legesenteret skal et år bruke 5 millioner kroner til å lønne leger, sykepleiere og hjelpepleiere årslønnen for leger er , for sykepleiere og for hjelpepleiere Hvis flest mulig pasienter skal bli behandlet, hvor mange leger, sykepleiere og hjelpepleiere må legesenteret ansette? Oppgave 3 ( : 750 oppgave ) La A være området begrenset av linjene y = x, y = 3x, x = og x =3 med tetthet ρ(x, y) =(x + y ) 3/. Bruk polarkoordinater til å finne massen av A. Oppgave 4 ( : 7500 oppgave, 750 oppgave 5) La T være legemet begrenset av xy-planet, den parabolske sylinderflaten y =4 x og planet z = y. Finn massen til T når tettheten er ρ(x, y, z) =4+y z. Oppgave 5 ( : 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Beregn dobbeltintegralet 4 cos x 3 dx dy 0 y ved å bytte om integrasjonsrekkefølgen. Oppgave 6 ( : 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) La flaten S være gitt ved parameterfremstillingen r(u, v) = u v, u + v, uv der u og v er slik at u + v. Finn arealet til S. Oppgave 7 ( : 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Et volum kan utrykkes som en sum av itererte integral V = 3 0 ( y/3 0 ) f(x, y) dx dy ( 4 y 0 ) f(x, y) dx dy, hvor f(x, y) 0. Skisser integrasjonsområdet i xy-planet, og uttrykk V med integrasjonsrekkefølgen byttet om.

5 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B 5 Oppgave 8 ( : 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) La D være en tynn plate i xy-planet begrenset av de rette linjene x =0,x =,y = og kurven x = 4 y. Finn massen til D når tettheten i (x, y) ergittved ρ(x, y) = xy (x ) ex. Oppgave 9 ( : 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) a) La S være den del av kuleflata ρ = a der φ φ φ og θ θ θ.her betegner ρ, φ og θ kulekoordinater, slik at S har parametrisering x = a sin φ cos θ, y = a sin φ sin θ, z = a cos φ. Vis at arealet av S er gitt ved θ φ θ φ a sin φdφdθ. b) Finn arealet av Tromsøflaket i Barentshavet som er begrenset av breddesirklene på7 og 74 nord og lengdesirklene på 9 og øst. Sett jordradien til 6370 km. Oppgave 0 ( : 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) Figuren viser en modell av en idrettshall i et xyz-koordinatsystem. Modellen er slik at sideveggen er en del av sylinderflata x +y =, gulvet er den delen av xy-planet som ligger innenfor sylinderflata, og taket er den delen av grafen til z =+xy som ligger innenfor sylinderflata. z a) Beregn volumet av modellen. y b) Beregn arealet av taket av modellen. c) Beregn arealet av sideveggen av modellen. x Oppgave ( : 7500 oppgave ) Romlegemet T er beskrevet ved 0 x, x y 3 x, 0 z. Finn massen m av T når tettheten er gitt ved ρ(x, y, z) =(z +)e y.

6 6 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Oppgave ( : 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) Et legeme T med konstant tetthet lik og grunnflate i xy-planet er begrenset av flatene z = e (x +y ) og x + y = a der a er en positiv konstant. Bestem a slik at tyngdepunktet til T blir (0, 0, 3/8). Oppgave 3 ( : 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) Flaten S på figuren har parameterfremstilling z r(u, v) =(u +v ) ı + uv j +(u + v ) k der u og v. Vis at r u r v = (v u ) ı +uv j + (u v ) k og beregn arealet av S. x y Oppgave 4 ( : 750 oppgave 3) La T være området begrenset av z =+y x, x + y = og z =0,ogla F = y ı x j +(z +) k a) Finn volumet av T. La S være den sylindriske delen av overflaten til T,oglaS være den delen av overflaten til T som ligger på sadelflaten. b) Finn arealet av S. c) Finn F nds der n er enhetsnormal til S og oppfyller n k >0. S d) Finn F nds. S e) Finn F d r der er skjæringskurven mellom S og S orientert med klokka sett ovenfra. Oppgave 5 ( : 750 oppgave 4) La f(x, y) ha kontinuerlige partielle deriverte av første og annen orden i et område A i xy-planet som er begrenset av en stykkevis glatt, enkel lukket kurve. Vis at hvis f x + f y =0 i A, såer f x dy = f y dx.

7 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B 7 Oppgave 6 ( : 7500 oppgave 6, 750 oppgave 6) Gitt vektorfeltet F (x, y, z) = xye x,e x,z. a) Avgjør om F er et konservativt vektorfelt, dvs. om F er en gradient. b) Finn verdien av linjeintegralet F T ds når er romkurven med parameterfremstilling x =cost, y =sint, z = t, 0 t π. Oppgave 7 ( : 7500 oppgave 7, 750 oppgave 7) La være sirkelen x + y =,ogla være kurven med ligning r = 4 cos θ i polarkoordinater. og orienteres mot urviseren, og R betegner området mellom og. a) Bestem linjeintegralet, henholdsvis dobbeltintegralet y (x + y ) dx + x (x + y ) dy, R (x + y ) da. b) Bruk Greens teorem og resultatene i (a) til å finne verdien av linjeintegralet y (x + y ) dx + x (x + y ) dy. Oppgave 8 ( : 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) a) La være det rette linjestykket fra (x,y )til(x,y ). Vis at ydx+ xdy = (x y x y ). La (x,y ), (x,y ), (x 3,y 3 ),...,(x n,y n ) være hjørnene i en n-kant, nummerert mot urviseren. Vis at arealet A av n-kanten er gitt ved A = [(x y x y )+(x y 3 x 3 y )+ +(x n y x y n )]. b) Finn verdien av linjeintegralet (sin(x ) y) dx + +y dy der er randkurven, orienterert mot urviseren, til firkanten med hjørner i (, ), (, 4), ( 3, ) og (0, 4).

8 8 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Oppgave 9 ( : 7500 oppgave 6, 750 oppgave 6) La S være den del av paraboloiden z =4 x y der z 3, og la T være legemet begrenset av S og planet z =3. a) Anta at T har konstant massetetthet ρ =. Bestem massen til T og koordinatene til massesenteret. b) Gitt vektorfeltet F = g(x, y) ı + xh(x, y) j + z k der g og h har kontinuerlige partiellderiverte som oppfyller betingelsen g x + x h = 0 for alle x, y. y Finn verdien av flateintegralet F nds der n er enhetsnormalvektoren til S med positiv k-komponent. Oppgave 30 ( : 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) z S Figuren viser et romlig område T begrenset av flatene z =+x y og z = x + y og planene x = og x =. x y Dessuten er det gitt et vektorfelt F ved F (x, y, z) =(e x + y) j. a) Finn volumet av T. Finn verdien av flateintegralet F nds S der S er overflata til T og n er ytre enhetsnormal. b) Overflata S er sammensatt av to plane flatestykker Π (i planet x =)ogπ (i planet x = ) og to krumme flatestykker Σ (øverst) og Σ (nederst). Finn verdien av integralene F nds og Π Finn også verdien av integralene F nds og Σ F nds. Π F nds. Σ

9 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B 9 Oppgave 3 ( : 7500 oppgave 6, 750 oppgave 6) a) Beregn volumet som er begrenset av paraboloiden z = x y og xy-planet. Tegn figur. b) Blant alle stykkevis glatte, enkle, lukkede, positivt orienterte kurver i xyplanet, finn den som er slik at arbeidet W = F T ds utført av kraftfeltet F =( x y + 6 y3 ) ı +x j er størst. Hva blir maksimumsverdien av W? Oppgave 3 ( : 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) La T være legemet begrenset av sylinderen x + y =,flataz =cos(x + y )og planet z =0,ogla F (x, y, z) =( xz y) i +(x yz) j +(z +) k. a) Skisser T og beregn sentroiden (tyngdepunktet) til T. b) Finn F T ( ) ds = F d r der er skjæringskurven mellom sylinderen x +y =ogflataz =cos(x +y ), orientert mot urviseren sett ovenfra. Oppgave 33 ( : 750 oppgave 6) a) Bestem funksjonen h(x) slik at vektorfeltet F gitt ved F (x, y, z) =xyz ı + x z j + yh(x) k blir konservativt, og finn i dette tilfellet en potensialfunksjon f(x, y, z) for F. b) La K være romkurven med vektorfremstilling r(t) =t ı + t j + t3 3 k, 0 t. Beregn linjeintegralet K xyz dx + x zdy+ yh(x) dz når h(x) =x og når h(x) =x.

10 0 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Oppgave 34 ( : 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) La F være kraftfeltet gitt ved F (x, y) =(x +y) ı +(6xy +x cos y) j. a) Undersøk om F er et konservativt vektorfelt. Vis at arbeidet W L = F T ds L som F utfører ved å føre en partikkel langs det rette linjestykket L fra A(0, ) til B(, 0) er W L =sin. b) La R være området i første kvadrant begrenset av sirkelen x + y =ogden rette linje x+y =.La være randkurven til R orientert mot urviseren. Bruk Greens teorem til å beregne linjeintegralet (x +y) dx +(6xy +x cos y) dy. Hva blir arbeidet som F utfører ved å føre en partikkel langs sirkelen x +y = mot urviseren fra B(, 0) til A(0, )? Oppgave 35 ( : 7500 oppgave 6, 750 oppgave 6) z De to flatene z = x +3y og z = (3x + y ) skjærer hverandre langs en kurve. LaS være den (begrensede) delen av flata z = x +3y som begrenses av, oglas være den (begrensede) delen av flata z = (3x + y ) som begrenses av. La vektorfeltet G være definert ved G(x, y, z) =a j +3bx k y der a og b er konstanter. x a) Finn verdien av flateintegralene S G nds og S G nds der n i begge integralene er flatas oppoverrettete enhetsnormal. b) Hvilke vektorfelt av formen F (x, y, z) =P (x, z) ı + Q(x, y) j + R(y, z) k er slik at curl F = G? Finn verdien av linjeintegralet (kurveintegralet) az dx + b(x 3 + y 3 ) dy + z dz der er orientert mot urviseren sett ovenfra.

11 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Oppgave 36 ( : 7500 oppgave 6, 750 oppgave 5) La T være romlegemet begrenset av flata z = x + y + og planet z = 0. Videre er vektorfeltet F gitt ved F (x, y, z) =(x + y) ı +(4x y) j +(z + xy) k. a) Regn ut volumet av T, og finn sentroiden (massesenteret, tyngdepunktet) til T når tettheten antas å være konstant lik. b) Finn div F og curl F. Avgjør om F er gradienten til en skalarfunksjon. c) Regn ut flateintegralet F nds S når S er den delen av overflata til T som tilhører flata z = x + y +,og n er enhetsnormalen til S som peker nedover. d) La være skjæringskurven mellom flata z = x + y + og planet z = 0, orientert med omløpsretning mot urviseren, sett ovenfra. Finn verdien av linjeintegralet F T ds. Oppgave 37 ( : 7500 oppgave 6, 750 oppgave 6) La F være vektorfeltet gitt ved F (x, y, z) =xz ı +yz j +(x + y ) k. a) Undersøk om F er konservativt, og beregn linjeintegralet F T ds når er kurven gitt ved r(t) =e t ( t π ) ( tπ ) sin ı + e t cos j + e t t k, 0 t. b) La T være romlegemet begrenset av de to flatene x + y z =0 og x + z =0. Skjæringskurven mellom de to flatene ligger på en sirkulær sylinderflate. Finn en ligning til denne sylinderflata i sylinderkoordinater. La S være overflata til T og n den ytre enhetsnormalen på S. Beregn fluksen F nds S av F ut over S. Oppgitt formel: cos n θdθ= cosn θ sin θ n + n n cos n θdθ.

12 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Oppgave 38 ( : 7500 oppgave 6, 750 oppgave 6) Et vektorfelt F er gitt for (x, y, z) (0, 0, 0) ved F (x, y, z) = x ı + y j + z k, (x, y, z) (0, 0, 0). (x + y + z ) 3/ a) La S betegne kuleflaten med ligning x + y + z =, og la n være enhetsnormalen som peker mot origo. Vis at F n er konstant på S og beregn fluksen F n ds S av F gjennom S i retning av n. b) La S være ellipsoideflaten med ligning 9x +6y +36z = 44, og la T være det romlige området mellom S og S. Vis at div F = 0 for alle (x, y, z) T, og bruk dette til å finne fluksen F n ds S av F gjennom S i retning av ytre enhetsnormal n. Oppgave 39 ( : 7500 oppgave 7, 750 oppgave 7) La være skjæringskurven mellom paraboloiden z = x + y x + y og planet z =4 x + y. Omløpsretningen til skal være mot urviseren, sett ovenfra. La videre F være vektorfeltet gitt ved F (x, y, z) =x ı +(z +x y 4) j + y k. a) Vis at projeksjonen av kurven ned i xy-planet er en sirkel. Finn en parameterfremstilling for, og bruk parameterfremstillingen til å evaluere linjeintegralet F T ds. ( ) b) Finn curl F og kontroller svaret i a) vedå bruke Stokes teorem til åevaluere linjeintegralet ( ).

13 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B 3 Fasit Oppgave b) x =cost 0 t sin t 0, y =sint 0 + t cos t 0, z =t 0 +t, <t< (cos t 0 + t 0 sin t 0,sint 0 t 0 cos t 0, 0) Oppgave a) Grenseverdien eksisterer ikke 8 b) 445 5; 5, 6 Oppgave 3 (0, 0), (, ±), (, ±); f max =/e; f min = /e Oppgave 4 a) Lokalt minimumspunkt ( 4, 0) 3 b) f max = 6; f min = 56 7 Oppgave 5 arctan(/ 0) = 7,5 ; ± 7, 3 Oppgave 6 x =0,y =(V 0 /π) /3, z =(V 0 /π) /3, A max =3π /3 V /3 0 Oppgave 7 b) M ( + ln )( α + β) 4 Oppgave 8 a) ±(, ); 3, b) 9 8 ;, Oppgave 9 S = y + cos θ y sin θ S min = 3 /4 for x = 3 3/4, y =3 /4, θ = π/3 Oppgave 0 a) 0 b) f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 Oppgave 4 m3 Oppgave L =5,S =9,H =8 Oppgave 3 3 ( 3 ) Oppgave Oppgave 5 3 sin 8 Oppgave 6 3 π(6 6 8) Oppgave 7 4 x f(x, y) dy dx 0 3x

14 4 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Oppgave 8 (e ) 4 Oppgave 9 b) km Oppgave 0 a) π b) π( ) 3 c) π Oppgave e 4 Oppgave ln Oppgave Oppgave 4 a) π b) 5 ) 6 c) 3π d) 0 e) π Oppgave 5 (Greens teorem) Oppgave 6 a) F er konservativt b) π / 3 Oppgave 7 a) π; π 3 9 b) π 6 Oppgave 8 b) 9 Oppgave 9 a) π/; (0, 0, 0 3 b) 7 Oppgave 30 a) π 4 3 ; 4 3 b) 0, 0; 3, 3 Oppgave 3 a) 4π b) : x + y = 4, positivt orientert, W =4π Oppgave 3 a) x =0, ȳ =0, z =(+sin)/(8 sin ) b) π

15 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B 5 Oppgave 33 b) h(x) =x ; f(x, y, z) =x yz + c) 4 når h(x) =x; 6 når h(x) =x Oppgave 34 a) Ikke konservativt b) ; sin 3 Oppgave 35 a) b) P (x, z) =az + f(x), Q(x, y) =bx 3 + g(y), R(y,z) =h(z) 3 64 Oppgave 36 a) V =( )π; 3 x =ȳ =0, 43 z = 0 + ) 4 b) div F =z, curlf = x, y,3, F er ikke en gradient c) 99 π d) 7π Oppgave 37 a) e 3 b) r = cosθ; 0 3 π Oppgave 38 a) 4π b) 4π Oppgave 39 a) x =cost, y =sint, z =4 4cost +sint, 0 t π 8π b) k; 8π

16 6 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Oversikt over enkelteksamener For hver eksamen er listet oppgavenumrene i dette heftet som eksamen besto av. Hvis en eksamensoppgave ikke er med her (fordi den faller utenom pensum i SIF5005), er oppgavenummeret erstattet med en strek. For eksempel har oppgave 6 fra våreksamen 996 i 750 nummeret 35 i denne samlingen :, 3, 4, : 4,, 3,,, 6, 7 750:,,, 3, 4, 6, :, 4, 5, 6, 8, 9 750:, 4, 5, 6, 8, :, 5, 6,, 30, 3 750:, 5, 6,, 30, :,, 7, 7, 3,, 750:,, 7, 7, 3, 33, :,, 8, 34, 8, :,, 8, 34, 8, :,, 9, 9,, :,, 9, 9, :,, 0,, 0, :,, 0,, 0, :,,,, 3, 38, :,,,, 3, 38, 39